선적분 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 3권 · 6.2절 · 1번대학 수준우리말 번역

참 또는 거짓? 선적분 ${\int }_{C}^{}f(x,y)ds$ 는 C 가 $[a,b]$ 에서 정의된 매끄러운 곡선이고 함수 $f$ 가 곡선 C 를 포함하는 어떤 영역에서 연속이면 정적분과 같다.

영어 원문 보기

True or False? Line integral ${\int }_{C}^{}f(x,y)ds$ is equal to a definite integral if C is a smooth curve defined on $[a,b]$ and if function $f$ is continuous on some region that contains curve C.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

참

원본 교재 풀이(영어)

True

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 9번

# 선적분개념 확인자동 분류

2.OpenStax 3권 · 6.2절 · 2번대학 수준우리말 번역

참 또는 거짓? 벡터 함수 ${\text{r}}_{1}=t\text{i}+{t}^{2}\text{j},$ $0\le t\le 1$ 와 ${\text{r}}_{2}=(1-t)\text{i}+{(1-t)}^{2}\text{j},$ $0\le t\le 1$ 은 같은 유향곡선(방향이 주어진 같은 곡선)을 정의한다.

영어 원문 보기

True or False? Vector functions ${\text{r}}_{1}=t\text{i}+{t}^{2}\text{j},$ $0\le t\le 1,$ and ${\text{r}}_{2}=(1-t)\text{i}+{(1-t)}^{2}\text{j},$ $0\le t\le 1,$ define the same oriented curve.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.4절 · 35번

# 선적분개념 확인자동 분류

3.OpenStax 3권 · 6.2절 · 3번대학 수준우리말 번역

참 또는 거짓? ${\int }_{-C}^{}(Pdx+Qdy)={\int }_{C}^{}(Pdx-Qdy)$

영어 원문 보기

True or False? ${\int }_{-C}^{}(Pdx+Qdy)={\int }_{C}^{}(Pdx-Qdy)$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

거짓

원본 교재 풀이(영어)

False

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 1번

# 선적분개념 확인자동 분류

4.OpenStax 3권 · 6.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

참 또는 거짓? 구간별로 매끄러운 곡선 C 는 유한개의 매끄러운 곡선이 끝과 끝으로 이어 붙여진 것으로 이루어진다.

영어 원문 보기

True or False? A piecewise smooth curve C consists of a finite number of smooth curves that are joined together end to end.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 7번

# 선적분개념 확인자동 분류

5.OpenStax 3권 · 6.2절 · 5번대학 수준우리말 번역

참 또는 거짓? C 가 $x(t)=t,\,y(t)=t, 0\le \text{t}\le 1$ 로 주어지면 ${\int }_{C}^{}xyds={\int }_{0}^{1}{t}^{2}dt$ 이다.

영어 원문 보기

True or False? If C is given by $x(t)=t,\,y(t)=t, 0\le \text{t}\le 1,$ then ${\int }_{C}^{}xyds={\int }_{0}^{1}{t}^{2}dt.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

거짓

원본 교재 풀이(영어)

False

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 3번

# 선적분개념 확인자동 분류

6.OpenStax 3권 · 6장 복습 · 1번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명 또는 반례로 답을 뒷받침하세요.

벡터장 $\text{F}(x,y)={x}^{2}y\text{i}+{y}^{2}x\text{j}$ 는 보존적이다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

Vector field $\text{F}(x,y)={x}^{2}y\text{i}+{y}^{2}x\text{j}$ is conservative.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

거짓

원본 교재 풀이(영어)

False

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6장 복습 · 25번

# 선적분개념 확인자동 분류

7.OpenStax 3권 · 6장 복습 · 4번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명 또는 반례로 답을 뒷받침하세요.

$\text{curl}\,\text{F}=0$ 이면 $\text{F}$ 는 보존적 벡터장이다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

If $\text{curl}\,\text{F}=0,$ then $\text{F}$ is a conservative vector field.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 39번

# 선적분개념 확인자동 분류

8.APEX · 14.1절 · 1번대학 수준우리말 번역

선적분을 이용하여 곡선 아래의 넓이를 구하는 방법을 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain how a line integral can be used to find the area under a curve.

정답·풀이 보기

$C$ 가 평면 위의 곡선이고 $f$ 가 $C$ 위에서 정의된 곡면일 때, $\int_C f(s)\ ds$ 는 $C$ 위에서 $f$ 위에 놓인 공간곡선 아래의 넓이를 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

When $C$ is a curve in the plane and $f$ is a surface defined over $C$ , then $\int_C f(s)\ ds$ describes the area under the spatial curve that lies on $f$ , over $C$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.1절 · 2번

# 선적분개념 확인자동 분류

9.APEX · 14.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

$\int_C f(s)\ ds$ 로 주어진 선적분의 계산은 $\oint_C f(s)\ ds$ 로 주어진 선적분의 계산과 어떻게 다릅니까?

영어 원문 보기

How does the evaluation of a line integral given as $\int_C f(s)\ ds$ differ from a line integral given as $\oint_C f(s)\ ds$ ?

정답·풀이 보기

계산 방법은 같다. $\oint$ 기호는 곡선 $C$ 가 닫힌곡선임을 나타낼 뿐, 계산 방법은 같다.

원본 교재 풀이(영어)

The evaluation is the same. The $\oint$ notation signifies that the curve $C$ is a closed curve, though the evaluation is the same.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 57번

# 선적분개념 확인자동 분류

10.APEX · 14.1절 · 4번대학 수준우리말 번역

세 개의 부분곡선으로 이루어진, 구간별로 매끄러운 닫힌곡선을 그리세요.

영어 원문 보기

Sketch a closed, piecewise smooth curve composed of three subcurves.

정답·풀이 보기

답은 다양하다

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.1절 · 1번

# 선적분개념 확인자동 분류

11.APEX · 14.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 실제로 벡터장에 대한 선적분을 계산할 때에는 벡터함수의 크기를 계산하게 된다.

영어 원문 보기

T/F: In practice, the evaluation of line integrals over vector fields involves computing the magnitude of a vector–valued function.

정답·풀이 보기

거짓. 다만 스칼라장에 대한 선적분에서는 참이다.

원본 교재 풀이(영어)

False. It is true for line integrals over scalar fields, though.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.3절 · 6번

# 선적분개념 확인자동 분류

12.APEX · 14.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

$\vec F(x,y)$ 를 평면 위의 벡터장, $\vec r(t)$ 를 2차원 벡터함수라 하자. “ $\vec F\big(\vec r(t)\big)$ ” 가 왜 “표기의 남용”인지 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $\vec F(x,y)$ be a vector field in the plane and let $\vec r(t)$ be a two–dimensional vector–valued function. Why is “ $\vec F\big(\vec r(t)\big)$ ” an “abuse of notation”?

정답·풀이 보기

$\vec F$ 의 입력은 평면 위의 점이어야 하며, 2차원 벡터가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

The input of $\vec F$ should be a point in the plane, not a two dimensional vector.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.3절 · 3번

# 선적분개념 확인자동 분류

13.APEX · 14.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 벡터장에 대한 선적분을 계산할 때 곡선 $C$ 의 방향은 중요하다.

영어 원문 보기

T/F: The orientation of a curve $C$ matters when computing a line integral over a vector field.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

참.

원본 교재 풀이(영어)

True.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.3절 · 1번

# 선적분개념 확인자동 분류

14.APEX · 14.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 스칼라장에 대한 선적분을 계산할 때 곡선 $C$ 의 방향은 중요하다.

영어 원문 보기

T/F: The orientation of a curve $C$ matters when computing a line integral over a scalar field.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

거짓.

원본 교재 풀이(영어)

False.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.3절 · 5번

# 선적분개념 확인자동 분류

15.APEX · 14.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

"적당한 조건" 아래에서 $\operatorname{curl} \vec F = \vec 0$ 이면 벡터장 $\vec F$ 에 대해 무엇을 결론지을 수 있는가?

영어 원문 보기

Under “reasonable conditions,” if $\operatorname{curl} \vec F = \vec 0$ , what can we conclude about the vector field $\vec F$ ?

정답·풀이 보기

$\vec F$ 가 보존적이라고 결론지을 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

We can conclude that $\vec F$ is conservative.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.1절 · 4번

# 선적분개념 확인자동 분류

16.APEX · 14.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

$\vec F$ 가 보존장이고 $C$ 가 닫힌 곡선이라 하자. $\oint _C \vec F\cdot d\vec r = 0$ 이라고 결론지을 수 있는 이유는 무엇인가?

영어 원문 보기

Let $\vec F$ be a conservative field and let $C$ be a closed curve. Why are we able to conclude that $\oint _C \vec F\cdot d\vec r = 0$ ?

정답·풀이 보기

선적분의 기본 정리에 의해, $\vec F$ 가 보존장이므로 $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = f(B) - f(A)$ 이다. 여기서 $f$ 는 $\vec F$ 의 퍼텐셜 함수이고 $A$ 와 $B$ 는 각각 $C$ 의 시점과 종점이다. $C$ 가 닫힌 곡선이므로 $A = B$ 이고, 따라서 $f(B) - f(A) = 0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

By the Fundamental Theorem of Line Integrals, since $\vec F$ is conservative, $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = f(B) - f(A)$ , where $f$ is a potential function for $\vec F$ and $A$ and $B$ are the initial and terminal points of $C$ , respectively. Since $C$ is a closed curve, $A = B$ , and hence $f(B) - f(A) = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.3절 · 4번

# 선적분개념 확인자동 분류

17.CLP-4 · 17번대학 수준우리말 번역

참 또는 거짓을 판단하세요(이유를 반드시 쓰세요):

(a) $\mathbb{R}^3$ 위의 매끄러운 벡터장이 컬이 0이고 발산이 0이면, 그 퍼텐셜은 조화함수이다. 정의에 따라 $\phi(x,y,z)$ 가 조화함수라는 것은 $\big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}\big) \phi(x,y,z)=0$ 이라는 뜻이다. (b) $\mathbf{F}$ 가 $\mathbb{R}^3$ 위의 매끄러운 보존 벡터장이면, 매끄러운 임의의 닫힌 곡면을 지나는 플럭스는 0이다.

영어 원문 보기

True or false (reasons must be given):

(a) If a smooth vector field on $\mathbb{R}^3$ is curl free and divergence free, then its potential is harmonic. By definition, $\phi(x,y,z)$ is harmonic if $\big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}\big) \phi(x,y,z)=0$ . (b) If $\mathbf{F}$ is a smooth conservative vector field on $\mathbb{R}^3$ , then its flux through any smooth closed surface is zero.

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) 참이다. $\mathbf{F}$ 를 주어진 벡터장이라 하자. $\mathbb{R}^3$ 전체에서 $\nabla\times\mathbf{F}=0$ 이라고 가정하였다. 따라서 어떤 퍼텐셜 함수 $\phi$ 에 대해 $\mathbf{F}=\nabla\phi$ 이다. 또한 $0=\nabla\cdot\mathbf{F} =\nabla\cdot\nabla\phi =\big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}\big)\phi$ 라고 가정하였다. 이것이 “ $\phi$ 는 조화함수이다”의 정의이다.

(b) 거짓이다. $\mathbf{F}$ 를 주어진 벡터장이라 하자. 어떤 퍼텐셜 함수 $\phi$ 에 대해 $\mathbf{F}=\nabla\phi$ 라고 가정하였다. $S$ 가 매끄러운 임의의 닫힌 곡면이고 $S$ 가 입체 $V$ 의 경계이면, 발산 정리에 의해 $S$ 를 지나는 $\mathbf{F}$ 의 바깥쪽 플럭스는 다음과 같다.

$\iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S =\iiint _V \nabla\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V =\iiint _V \nabla\cdot\nabla \phi\ \mathrm{d}V =\iiint _V \big(\tfrac{\partial^2}{\partial x^2} +\tfrac{\partial^2}{\partial y^2} +\tfrac{\partial^2}{\partial z^2}\big)\phi\ \mathrm{d}V$

예를 들어 $\phi=x^2$ 이면 $\big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}\big)\phi=2$ 이고, $S$ 를 지나는 $\mathbf{F}$ 의 플럭스는 $V$ 의 부피의 2배이므로 0이 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) True. Let $\mathbf{F}$ be the vector field. We are assuming that $\nabla\times\mathbf{F}=0$ on all of $\mathbb{R}^3$ . As a result, $\mathbf{F}=\nabla\phi$ for some potential function $\phi$ . We are also assuming that $0=\nabla\cdot\mathbf{F} =\nabla\cdot\nabla\phi =\big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}\big)\phi$ . This is the definition of “ $\phi$ is harmonic”.

(b) False. Let $\mathbf{F}$ be the vector field. We are assuming that $\mathbf{F}=\nabla\phi$ for some potential function $\phi$ . If $S$ is any smooth closed surface, with $S$ being the boundary of the solid $V$ , then, by the divergence theorem, the outward flux of $\mathbf{F}$ through $S$ is

$\iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S =\iiint _V \nabla\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V =\iiint _V \nabla\cdot\nabla \phi\ \mathrm{d}V =\iiint _V \big(\tfrac{\partial^2}{\partial x^2} +\tfrac{\partial^2}{\partial y^2} +\tfrac{\partial^2}{\partial z^2}\big)\phi\ \mathrm{d}V$

If, for example, $\phi=x^2$ , then $\big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}\big)\phi=2$ and the flux of $\mathbf{F}$ through $S$ is twice the volume of $V$ , which is not zero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 7번

# 선적분개념 확인자동 분류