호의 길이와 곡률 연습문제

1.CLP-4 · 1.2절 · 2번대학 수준우리말 번역

함수 $\mathbf{r}(s)=\sin\left(\frac{s+1}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\cos\left(\frac{s+1}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{\sqrt3}{2}(s+1)\hat{\mathbf{k}}$ 는 점 $P$ 에서 시작하여 호의 길이로 매개화되어 있다. $P$ 는 어디인지 구하세요.

영어 원문 보기

The function $\mathbf{r}(s)=\sin\left(\frac{s+1}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\cos\left(\frac{s+1}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{\sqrt3}{2}(s+1)\hat{\mathbf{k}}$ is parametrized in terms of arclength, starting from the point $P$ . What is $P$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$P$ 에서 $P$ 까지의 호의 길이는 0이므로, $P$ 는 $s=0$ 인 점이다. 즉, $\mathbf{r}(0)$ , 곧 $\left( \sin(1/2),\cos(1/2),\sqrt{3}/2\right)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The arclength from $P$ to $P$ will be 0, so $P$ is the point where $s=0$ . That is, $\mathbf{r}(0)$ , or $\left( \sin(1/2),\cos(1/2),\sqrt{3}/2\right)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 40번

# 호의 길이와 곡률계산기본자동 분류

2.CLP-4 · 1.2절 · 3번대학 수준우리말 번역

곡선 $\mathbf{R}=\mathbf{a}(t)$ 를 호의 길이로 다시 매개변수화하여 $\mathbf{R}=\mathbf{b}(s)=\mathbf{a}(t(s))$ 로 나타냈습니다. $t(s_0)=t_0$ 일 때, 다음 보기 중 벡터 $\mathbf{a}'(t_0)$ 와 $\mathbf{b}'(s_0)$ 사이의 관계를 가장 잘 설명하는 것은 무엇인지 고르세요.

모든 $t,s\ge0$ 에 대해 $\mathbf{a}'(t)$ 와 $\mathbf{b}'(s)$ 가 존재하고 영벡터가 아니라고 가정해도 됩니다.

A. 두 벡터는 평행하고 같은 방향을 향한다 B. 두 벡터는 평행하고 반대 방향을 향한다 C. 두 벡터는 수직이다 D. 두 벡터는 크기가 같다 E. 두 벡터는 서로 같다

영어 원문 보기

A curve $\mathbf{R}=\mathbf{a}(t)$ is reparametrized in terms of arclength as $\mathbf{R}=\mathbf{b}(s)=\mathbf{a}(t(s))$ . Of the following options, which best describes the relationship between the vectors $\mathbf{a}'(t_0)$ and $\mathbf{b}'(s_0)$ , where $t(s_0)=t_0$ ?

You may assume $\mathbf{a}'(t)$ and $\mathbf{b}'(s)$ exist and are nonzero for all $t,s\ge0$ .

A. they are parallel and point in the same direction B. they are parallel and point in opposite directions C. they are perpendicular D. they have the same magnitude E. they are equal

정답·풀이 보기

풀이 1: 상황을 기하학적으로 살펴보자. $\mathbf{R}$ 을 (해당 차원의) 공간에 그리면, 매개변수화 방법에 관계없이 한 점에서의 미분계수는 $\mathbf{R}$ 에 접하는 벡터를 주며, 이 벡터는 매개변수가 증가할 때 곡선이 움직이는 방향을 향한다. $\mathbf{a}(t_0)$ 와 $\mathbf{b}(s_0)$ 는 곡선 위의 같은 점을 나타내므로 $\mathbf{a}'(t_0)$ 와 $\mathbf{b}'(s_0)$ 는 평행하다. (미분계수가 영벡터가 아니라고 정했으므로, 영벡터와 평행한지를 따지는 번거로움은 없다.) 두 벡터는 모두 곡선의 같은 부분에 접한다. 또한 $t$ 가 증가하면 $s$ 도 증가하므로, $t$ 가 증가하는 방향은 $s$ 가 증가하는 방향과 같다. 따라서 A가 성립한다.

이제 E를 제외하기 위해 두 벡터의 크기를 살펴보자. $|\mathbf{a}'(t)|$ 는 $t$ 에 대해 곡선이 변하는 속력이며, 이는 (음이 아닌) 어떤 수도 될 수 있다. 마찬가지로 $|\mathbf{b}'(s)|=1$ 이다. 따라서 $\mathbf{b}'(s_0)$ 는 단위벡터이지만 $\mathbf{a}'(t_0)$ 는 단위벡터일 수도, 아닐 수도 있다. 그러므로 두 벡터가 반드시 같은 것은 아니다. (같을 수는 있다.)

따라서 가장 알맞은 답은 A이다.

풀이 2: 합성함수의 미분법으로 $\mathbf{b}'(s)$ 와 $\mathbf{a}'(t)$ 사이의 관계를 얻는다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{b}}{\mathrm{d}s}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}[\mathbf{a}(t(s))]=\frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}\,\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s} \end{aligned}$

따라서 벡터 $\frac{\mathrm{d}\mathbf{b}}{\mathrm{d}s}$ 와 $\frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}$ 는 스칼라 함수 $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}$ 만큼만 차이가 난다. 그러므로 곡선 위의 어느 점에서든 이 두 벡터는 평행하다.

또한 $t$ 와 $s$ 는 양의 상관관계에 있다. $t$ 가 증가하면 호의 길이가 더 늘어나므로 $s$ 도 증가한다. 따라서 $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}$ 는 음이 아니다. 게다가 미분계수가 영벡터가 아니므로 $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}$ 는 0이 아니다. 그러므로 $\mathbf{b}'(s_0)$ 와 $\mathbf{a}'(t_0)$ 는 서로 양의 스칼라 배수이다. 즉, 두 벡터는 평행하고 같은 방향을 향한다. 그러나 $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}=1$ (즉, 어떤 상수 $C$ 에 대해 $t(s)=s+C$ ) 이 아닌 한 두 벡터의 크기는 같지 않으며, 따라서 서로 같지 않다.

따라서 가장 알맞은 답은 A이다.

원본 교재 풀이(영어)

Solution 1: We consider the situation geometrically. If we plot $\mathbf{R}$ in space (of the relevant dimension), regardless of its parametrization, the derivative at a point will give a vector tangent to $\mathbf{R}$ , in the direction the curve moves when the parameter is increasing. Since $\mathbf{a}(t_0)$ and $\mathbf{b}(s_0)$ describe the same spot on the curve, $\mathbf{a}'(t_0)$ and $\mathbf{b}'(s_0)$ will be parallel (Since we specified the derivatives are nonzero, there's no messiness about vectors being parallel to a zero vector.) — they're both tangent to the same piece of curve. Furthermore, as $t$ increases, so does $s$ , so the direction of increasing $t$ is the same as the direction of increasing $s$ . Therefore, A. holds.

Now we consider the magnitudes of the vectors, to rule out E. Recall $|\mathbf{a}'(t)|$ is the speed at which the curve changes relative to $t$ ; this could be any (nonnegative) number. By the same token, $|\mathbf{b}'(s)|=1$ . So, $\mathbf{b}'(s_0)$ is a unit vector, while $\mathbf{a}'(t_0)$ may or may not be. Then the two vectors are not necessarily equal (although they could be).

So, the best answer is A.

Solution 2: The chain rule gives us a relationship between $\mathbf{b}'(s)$ and $\mathbf{a}'(t)$ .

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{b}}{\mathrm{d}s}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}[\mathbf{a}(t(s))]=\frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}\,\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s} \end{aligned}$

So, the vectors $\frac{\mathrm{d}\mathbf{b}}{\mathrm{d}s}$ and $\frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}$ differ only by the scalar function $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}$ . So, at any point along the curve, these vectors are parallel.

Furthermore, we know that $t$ and $s$ are positively correlated: as $t$ increases, so does $s$ , because we're covering more arclength. So, $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}$ is nonnegative. Furthermore, since the derivatives are nonzero, $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}$ is nonzero. So, $\mathbf{b}'(s_0)$ and $\mathbf{a}'(t_0)$ are positive scalar multiples of each other. That is, they are parallel, and pointing in the same direction. However, unless $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}=1$ (that is, $t(s)=s+C$ for some constant $C$ ), the vectors do not have the same magnitude, and hence are not equal.

So, A is the best solution.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.3절 · 42번

# 호의 길이와 곡률계산기본자동 분류