직선과 평면의 방정식 연습문제

1.CLP-3 · 1.5절 · 16번대학 수준우리말 번역

$P,\ Q,\ R$ 와 $S$ 를 사면체의 꼭짓점이라 하자. 원점에서 $P,\ Q,\ R$ 와 $S$ 까지의 벡터를 각각 $\mathbf{p},\ \mathbf{q},\ \mathbf{r}$ , $\mathbf{s}$ 라 하자. 각 꼭짓점에서 그 마주 보는 면의 무게중심까지 직선을 그린다. 여기서 꼭짓점이 $\mathbf{a},\ \mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 인 삼각형의 무게중심은 $\frac{1}{3}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})$ 이다. 이 네 직선이 $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s}$ ) 에서 만남을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $P,\ Q,\ R$ and $S$ be the vertices of a tetrahedron. Denote by $\mathbf{p},\ \mathbf{q},\ \mathbf{r}$ and $\mathbf{s}$ the vectors from the origin to $P,\ Q,\ R$ and $S$ respectively. A line is drawn from each vertex to the centroid of the opposite face, where the centroid of a triangle with vertices $\mathbf{a},\ \mathbf{b}$ and $\mathbf{c}$ is $\frac{1}{3}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})$ . Show that these four lines meet at $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s}$ ).

정답·풀이 보기

$\mathbf{p}$ 의 맞은편 면은 꼭짓점이 $\mathbf{q}$ , $\mathbf{r}$ , $\mathbf{s}$ 인 삼각형이다. 이 삼각형의 무게중심은 $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 이다. $\mathbf{p}$ 와 무게중심 $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 를 지나는 직선의 방향 벡터는 $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}$ 이다. $\mathbf{p}$ 와 무게중심 $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 를 지나는 직선 위의 점은 어떤 실수 $t$ 에 대해 다음 꼴이다.

$\mathbf{x}=\mathbf{p}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}\right]$

$t=\frac{3}{4}$ 일 때 $\mathbf{p}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}\right] =\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 이므로 $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 는 이 직선 위에 있다. 나머지 세 직선의 벡터 매개변수 방정식은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \mathbf{x}&=\mathbf{q}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{q}\right] \\ \mathbf{x}&=\mathbf{r}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{s})-\mathbf{r}\right] \\ \mathbf{x}&=\mathbf{s}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r})-\mathbf{s}\right] \end{aligned}$

$t=\frac{3}{4}$ 일 때 세 식의 우변도 각각 $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 가 되므로 $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ 는 이 세 직선 위에도 각각 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The face opposite $\mathbf{p}$ is the triangle with vertices $\mathbf{q}$ , $\mathbf{r}$ and $\mathbf{s}$ . The centroid of this triangle is $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ . The direction vector of the line through $\mathbf{p}$ and the centroid $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ is $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}$ . The points on the line through $\mathbf{p}$ and the centroid $\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ are those of the form

$\mathbf{x}=\mathbf{p}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}\right]$

for some real number $t$ . Observe that when $t=\frac{3}{4}$ $\mathbf{p}+ t\left[\frac{1}{3}(\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})-\mathbf{p}\right] =\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ so that $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ is on the line. The other three lines have vector parametric equations

When $t=\frac{3}{4}$ , each of the three right hand sides also reduces to $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ so that $\frac{1}{4}(\mathbf{p}+\mathbf{q}+\mathbf{r}+\mathbf{s})$ is also on each of these three lines.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 13번

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