선형근사와 미분소 연습문제

1.OpenStax 1권 · 4.2절 · 2번대학 수준우리말 번역

선형 근사 함수가 상수가 되기 위한 필요조건을 구하세요. 그래프를 이용하여 결과를 증명하세요.

영어 원문 보기

Determine the necessary conditions such that the linear approximation function is constant. Use a graph to prove your result.

정답·풀이 보기

${f}^{'}(a)=0$

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{'}(a)=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 3번

# 선형근사와 미분소증명·논술자동 분류

2.OpenStax 1권 · 4.2절 · 3번대학 수준우리말 번역

$x$ 와 $a$ 사이의 거리가 멀어질수록 선형 근사가 덜 정확해지는 이유를 설명하세요. 그래프를 이용하여 주장을 증명하세요.

영어 원문 보기

Explain why the linear approximation becomes less accurate as you increase the distance between $x$ and $a.$ Use a graph to prove your argument.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 1번

# 선형근사와 미분소증명·논술자동 분류

3.Active Calculus · 1.8절 · 10번대학 수준우리말 번역

어떤 함수 $f$ 의 도함수가 $f'(x) = (x-1)e^{-x^2}$ 임이 알려져 있습니다. $y = f(x)$ 의 식은 알지 못한다는 점에 유의하세요.

(a) $f'(x) = 0$ 이 되는 $x$ 의 값을 모두 구하세요. 대수적으로 답을 정당화하되, 결론을 뒷받침하도록 $f'$ 의 그래프를 포함하세요. (b) 그래프를 이용하여 추론하여, $f''(x) > 0$ 인 $x$ 의 값의 구간을 구하세요. 이것이 원래 함수 $f$ 의 거동에 대해 무엇을 말해 주는지 설명하세요. (c) $f(2) = -3$ 이라고 가정하고, $x=2$ 에서 $f$ 의 접선을 구하여 이를 이용한 근삿값으로 $f(1.88)$ 의 값을 어림하세요. 어림한 값이 $f(1.88)$ 의 참값보다 큰지 작은지 판단하고, 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

For a certain function $f$ , its derivative is known to be $f'(x) = (x-1)e^{-x^2}$ . Note that you do not know a formula for $y = f(x)$ .

(a) At what $x$ -value(s) is $f'(x) = 0$ ? Justify your answer algebraically, but include a graph of $f'$ to support your conclusion. (b) Reasoning graphically, for what intervals of $x$ -values is $f''(x) > 0$ ? What does this tell you about the behavior of the original function $f$ ? Explain. (c) Assuming that $f(2) = -3$ , estimate the value of $f(1.88)$ by finding and using the tangent line approximation to $f$ at $x=2$ . Is your estimate larger or smaller than the true value of $f(1.88)$ ? Justify your answer.

정답·풀이 보기

(a) $e$ 의 거듭제곱은 항상 양수이므로(따라서 $0$ 이 될 수 없으므로), $f'(x) = (x-1)e^{-x^2} = 0$ 이 되게 하는 값은 $x=1$ 뿐이다. 이는 $f'$ 의 그래프를 그려 보면 $x$ 축과 $x=1$ 에서만 만남을 볼 수 있다는 점에서도 확인된다( $x$ 가 한없이 커지거나 작아질 때 그래프가 $x$ 축에 가까워지는 것은 볼 수 있다). (b) $f'$ 이 증가하는 곳에서는 $f''(x) > 0$ 임을 안다. $f'$ 의 그래프에서 $f'$ 은 대략 구간 $-0.37 < x < 1.37$ 에서 증가함을 알 수 있고, 따라서 $f$ 는 이 구간에서 아래로 볼록이다. (c) $a = 2$ 에서의 접선을 이용한 근삿값은 $L(x) = f(2) + f'(2)(x-2) \approx -3 + 0.01832(x-2)$ 이다. 따라서 $f(1.88) \approx L(1.88) \approx -3 + 0.01832(1.88-2) = -3.00022$ 이다. $x = 2$ 및 그 근처에서 $f''(x) < 0$ 이므로 $f$ 는 그곳에서 위로 볼록이고, 따라서 접선은 곡선 위쪽에 놓인다. 그러므로 우리가 어림한 값은 $f(1.88)$ 의 참값보다 크다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since $e$ raised to any power is always positive (and thus never $0$ ), it follows that the only value that makes $f'(x) = (x-1)e^{-x^2} = 0$ is $x=1$ . This is confirmed by plotting $f'$ where we only see the graph cross the $x$ -axis at $x=1$ (though we do see the graph approach the $x$ -axis) as $x$ increases or decreases without bound). (b) We know that $f''(x) > 0$ wherever $f'$ is increasing. From the graph of $f'$ , we see that $f'$ is increasing approximately on the interval $-0.37 < x < 1.37$ , and thus $f$ is concave up on this interval. (c) The tangent line approximation at $a = 2$ is $L(x) = f(2) + f'(2)(x-2) \approx -3 + 0.01832(x-2)$ . Thus, $f(1.88) \approx L(1.88) \approx -3 + 0.01832(1.88-2) = -3.00022$ . Since $f''(x) < 0$ at and around $x = 2$ , $f$ is concave down there, and therefore the tangent line lies above the curve. This makes our estimate larger than the true value of $f(1.88)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.4절 · 1번

# 선형근사와 미분소증명·논술자동 분류