선형근사와 미분소 연습문제

1.CLP-1 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

아래 그래프에는 세 곡선이 있습니다. 검은 곡선은 $y=f(x)$ , 빨간 곡선은 $y=g(x)=1+2\sin(1+x)$ , 파란 곡선은 $y=h(x)=0.7$ 입니다. $f(0)$ 을 어림하려 할 때, 어떤 경우에 $g(0)$ 을 쓰게 될까요? 또 어떤 경우에 $h(0)$ 을 쓰게 될까요?

영어 원문 보기

The graph below shows three curves. The black curve is $y=f(x)$ , the red curve is $y=g(x)=1+2\sin(1+x)$ , and the blue curve is $y=h(x)=0.7$ . If you want to estimate $f(0)$ , what might cause you to use $g(0)$ ? What might cause you to use $h(0)$ ?

정답·풀이 보기

$f(0)$ 은 $h(0)$ 보다 $g(0)$ 에 더 가까우므로, $\sin(1)$ 의 값을 효율적으로 알아낼 수단이 있고 정확도가 중요하다면 $f(0) \approx g(0)=1+2\sin (1)$ 로 어림하는 것이 좋을 것이다. 계산기가 있다면 이 어림을 쓸 수 있다. 또한 이 단원의 뒷부분에서 계산기 없이 $\sin (1)$ 을 근사하는 방법을 배우지만, 그 방법에는 시간이 필요하다.

계산기가 없거나 시간이 많지 않다면 $f(0)\approx h(0)=0.7$ 을 쓰는 것이 가장 적절할 것이다. 이는 $f(0) \approx g(0)$ 만큼 정확하지는 않지만, $\sin(1)$ 의 값을 알아내려고 고민하지 않고도 매우 빠르게 어림값을 얻을 수 있다.

참고: 실생활에서 어떤 값을 어림할 때는 분명한 '정답' 방법이 없는 경우가 많다. 보통 정확도와 편리함 사이에서 균형을 잡아야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(0)$ is closer to $g(0)$ than it is to $h(0)$ , you would probably want to estimate $f(0) \approx g(0)=1+2\sin (1)$ if you had the means to efficiently figure out what $\sin(1)$ is, and if you were concerned with accuracy. If you had a calculator, you could use this estimation. Also, later in this chapter we will learn methods of approximating $\sin (1)$ that do not require a calculator, but they do require time.

Without a calculator, or without a lot of time, using $f(0)\approx h(0)=0.7$ probably makes the most sense. It isn't as accurate as $f(0) \approx g(0)$ , but you get an estimate very quickly, without worrying about figuring out what $\sin(1)$ is.

Remark: when you're approximating something in real life, there probably won't be an obvious “correct" way to do it. There's usually a trade-off between accuracy and ease.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.2절 · 18번

# 선형근사와 미분소그래프·표 해석기본자동 분류

2.CLP-1 · 3.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

곡선 $y=f(x)$ 가 아래에 나타나 있습니다. $x=2$ 에서 $f(x)$ 의 선형 근사의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

The curve $y=f(x)$ is shown below. Sketch the linear approximation of $f(x)$ about $x=2$ .

정답·풀이 보기

선형 근사는 점 $(2,f(2))$ 를 지나고 기울기가 $f'(2)$ 인 직선이다. 즉, $x=2$ 에서 $f(x)$ 의 선형 근사는 $x=2$ 에서 $f(x)$ 의 접선이다. 이를 아래에 빨간색으로 나타내었다.

원본 교재 풀이(영어)

The linear approximation is a line, passing through $(2,f(2))$ , with slope $f'(2)$ . That is, the linear approximation to $f(x)$ about $x=2$ is the tangent line to $f(x)$ at $x=2$ . It is shown below in red.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 1번

# 선형근사와 미분소그래프·표 해석기본자동 분류

3.CLP-1 · 3.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

선형 근사를 이용하여 $x=0.93$ 일 때 $\log(x)$ 의 값을 어림하세요. 곡선 $y=f(x)$ 와 선형 근사의 그래프를 그리세요.

(씨엘피-1 교재에서는 $\log x$ 가 $x$ 의 자연로그 $\log_e x$ 를 뜻한다는 점을 기억하세요.)

영어 원문 보기

Use a linear approximation to estimate $\log(x)$ when $x=0.93$ . Sketch the curve $y=f(x)$ and your linear approximation.

(Remember that in CLP-1 we use $\log x$ to mean the natural logarithm of $x$ , $\log_e x$ .)

정답·풀이 보기

$f(0.93)$ 이 얼마인지는 알 수 없지만, 0.93 은 1 에 매우 가깝고 $f(1)$ 은 분명히 알고 있다. $x=1$ 근처에서 $f(x)$ 의 선형 근사는 다음과 같이 주어진다.

$\begin{aligned} f(x) &\approx f(1)+f'(1)(x-1) \\ \text{따라서 다음을 계산한다:} \\ f(1)&=\log(1)=0\\ f'(x)&=\frac{1}{x}\\ f'(1)&=\frac{1}{1}=1 \\ \text{그러므로} \\ f(x) &\approx 0+1(x-1)=x-1 \\ \text{$x=0.93$ 일 때:} \\ f(0.93) &\approx 0.93-1=-0.07 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We have no idea what $f(0.93)$ is, but 0.93 is pretty close to 1, and we definitely know $f(1)$ . The linear approximation of $f(x)$ about $x=1$ is given by

$\begin{aligned} f(x) &\approx f(1)+f'(1)(x-1) \\ \text{So, we calculate:} \\ f(1)&=\log(1)=0\\ f'(x)&=\frac{1}{x}\\ f'(1)&=\frac{1}{1}=1 \\ \text{Therefore,} \\ f(x) &\approx 0+1(x-1)=x-1 \\ \text{When $x=0.93$:} \\ f(0.93) &\approx 0.93-1=-0.07 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 3번

# 선형근사와 미분소그래프·표 해석보통자동 분류

4.CLP-1 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

아래 그림에서 다음을 표시하세요. $f(x) \qquad f\left(x+\Delta x\right) \qquad \Delta x \qquad \Delta y$

영어 원문 보기

In the picture below, label the following: $f(x) \qquad f\left(x+\Delta x\right) \qquad \Delta x \qquad \Delta y$

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.2절 · 6번

# 선형근사와 미분소그래프·표 해석기본자동 분류

5.Active Calculus · 1.8절 · 7번대학 수준우리말 번역

어떤 함수 $y=p(x)$ 의 $a = 3$ 에서의 국소 선형화가 $L(x) = -2x + 5$ 로 주어져 있다.

(a) $p(3)$ 과 $p'(3)$ 의 값은 각각 얼마입니까? 그 이유는 무엇입니까? (b) $p(2.79)$ 의 값을 어림하세요. (c) $p''(3) = 0$ 이고 $x < 3$ 에서 $p''(x) < 0$ 이라고 가정합니다. (b)에서 구한 어림값은 너무 큽니까, 너무 작습니까? (d) $x > 3$ 에서 $p''(x) > 0$ 이라고 가정합니다. 이 사실과 위의 추가 정보를 이용하여 $x = 3$ 근처에서 $y = p(x)$ 의 정확한 그래프를 그리세요. 그래프에 $y = L(x)$ 의 그래프도 함께 그리세요.

영어 원문 보기

A certain function $y=p(x)$ has its local linearization at $a = 3$ given by $L(x) = -2x + 5$ .

(a) What are the values of $p(3)$ and $p'(3)$ ? Why? (b) Estimate the value of $p(2.79)$ . (c) Suppose that $p''(3) = 0$ and you know that $p''(x) < 0$ for $x < 3$ . Is your estimate in (b) too large or too small? (d) Suppose that $p''(x) > 0$ for $x > 3$ . Use this fact and the additional information above to sketch an accurate graph of $y = p(x)$ near $x = 3$ . Include a sketch of $y = L(x)$ in your work.

정답·풀이 보기

(a) 접점에서 접선의 값과 기울기는 함수의 값과 기울기와 같으므로 $p(3) = L(3) = -1$ 이고 $p'(3) = L'(3) = -2$ 이다. (b) 국소 선형화를 이용하면 $p(2.79) \approx L(2.79) = -2(2.79) + 5 = -0.58$ 이다. (c) $x < 3$ 에서 $p''(x) < 0$ 이므로 $x < 3$ 에서 $p$ 는 위로 볼록이다. 따라서 접점 $x = 3$ 의 왼쪽에서는 접선이 곡선보다 위에 놓이므로 (b)의 어림값은 너무 크다. (d) 다음 그림은 점 $(3,-1)$ 에서 접선의 값과 기울기가 일치하고, $x=3$ 의 왼쪽에서는 위로 볼록, 오른쪽에서는 아래로 볼록인 함수 $p$ 의 한 가지 예이다. 이 함수는 x 가 3보다 작을 때 위로 볼록이고 x 가 3보다 클 때 아래로 볼록인 삼차 다항식처럼 보인다. 그래프는 점 (3,-1)을 지나고, 대응하는 접선도 그 점을 지나며, 함께…

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since the value and slope of the tangent line match the value and slope of the function at the point of tangency, we know $p(3) = L(3) = -1$ and $p'(3) = L'(3) = -2$ . (b) Using the local linearization, $p(2.79) \approx L(2.79) = -2(2.79) + 5 = -0.58$ . (c) Since $p''(x) < 0$ for $x < 3$ , we know that $p$ is concave down for $x < 3$ . This means to the left of the point of tangency at $x = 3$ , the tangent line lies above the curve, and thus the estimate in (b) is too large. (d) In the following figure, we see a possible function $p$ that matches the value and slope of the tangent line at the point $(3,-1)$ and that is concave down to the left of $x=3$ and concave up to the right. This function appears to be a cubic polynomial that is concave down for x lt 3 and concave up for x gt 3; its graph passes through the point (3,-1) and the corresponding tangent line does as well, wit

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.8절 · 10번

# 선형근사와 미분소그래프·표 해석자동 분류

6.Active Calculus · 1.8절 · 8번대학 수준우리말 번역

감자를 오븐에 넣고, 여러 시점에서 감자의 온도 $F$ (화씨 도)를 측정하여 다음 표에 기록하였다. 시간 $t$ 는 분 단위로 측정한다.

감자의 온도 자료.

$t$	$0$	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$	$60$
$F(t)$	$65$	$94.7$	$141.7$	$167.6$	$182.4$	$197.9$	$209.3$

(a) 중심차분을 이용하여 $F'(30)$ 을 어림하세요. 이후의 문제에서는 필요한 경우 이 어림값을 사용하세요. (b) $a = 30$ 인 점에서 함수 $y = F(t)$ 의 국소선형근사 $y = L(t)$ 를 구하세요. (c) 국소선형근사를 이용하여 $F(33)$ 의 어림값을 구하세요. (d) (c)에서 구한 어림값이 실제보다 너무 크다고 생각하나요, 아니면 너무 작다고 생각하나요? 그 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

A potato is placed in an oven, and the potato's temperature $F$ (in degrees Fahrenheit) at various points in time is taken and recorded in the following table. Time $t$ is measured in minutes.

Temperature data for the potato.

$t$	$0$	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$	$60$
$F(t)$	$65$	$94.7$	$141.7$	$167.6$	$182.4$	$197.9$	$209.3$

(a) Use a central difference to estimate $F'(30)$ . Use this estimate as needed in subsequent questions. (b) Find the local linearization $y = L(t)$ to the function $y = F(t)$ at the point where $a = 30$ . (c) Determine an estimate for $F(33)$ by employing the local linearization. (d) Do you think your estimate in (c) is too large or too small? Why?

정답·풀이 보기

(a) $h=10$ 으로 중심차분 근사를 하면 $F'(30) \approx \frac{F(40)-F(20)}{20} = \frac{182.4-141.1}{20} = 2.065$ 이므로 분당 화씨 2.065도이다. (b) $a=30$ 에서의 국소선형근사는 $L(t) = F'(30)(t-30)+F(30) = L(t) \approx 2.065(t-30) + 167.6$ 이다. (c) (b)에서 구한 선형근사를 이용하면 $F(33) \approx L(33) \approx 2.065(3) + 167.6 = 173.795$ 화씨 도이다. (d) 표에 주어진 $F(t)$ 의 값은 $t = 30$ 근처에서 증가하되 증가하는 비율이 점점 줄어드는 것으로 보이므로, $F$ 의 그래프는 $t = 30$ 근처에서 위로 볼록하다. 따라서 $L(t)$ 의 그래프( $F$ 의 $t = 30)$ 에서의 접선)는 $F$ 의 그래프보다 위쪽에 놓인다. 그러므로 (c)에서 구한 어림값은 아마도 실제보다 크게 어림한 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The central difference approximation with $h=10$ gives $F'(30) \approx \frac{F(40)-F(20)}{20} = \frac{182.4-141.1}{20} = 2.065$ degrees per minute. (b) The local linearization at $a=30$ is $L(t) = F'(30)(t-30)+F(30) = L(t) \approx 2.065(t-30) + 167.6$ . (c) Using the linearization from (b), $F(33) \approx L(33) \approx 2.065(3) + 167.6 = 173.795$ degrees F. (d) Since the values of $F(t)$ given in the table appear to be increasing at a decreasing rate near $t = 30$ , it follows that the graph of $F$ is concave down near $t = 30$ . This implies that the graph of $L(t)$ (the tangent line to $F$ at $t = 30)$ lies above the graph of $F$ . Therefore, the approximation given in part (c) is probably an overestimate.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.8절 · 9번

# 선형근사와 미분소그래프·표 해석자동 분류