지수함수와 로그함수 전체 연습문제 (대수)

1.OpenStax Intermediate Algebra · 10.4절 · 14번우리말 풀이

로그의 곱셈 성질을 이용하여 $\log_3 (81xy)$ 를 로그의 합으로 나타내고, 가능하면 간단히 하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, use the Product Property of Logarithms to write each logarithm as a sum of logarithms. Simplify if possible.

${\log }_{3}81xy$

풀이 보기

$\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN$ 이에요. 곱을 합으로 쪼갠 뒤 숫자 부분은 값을 바로 구해요.

1
곱을 합으로 쪼개요. $\log_3(81xy)=\log_3 81+\log_3 x+\log_3 y$ 예요.
2
숫자 부분을 구해요. $81=3^4$ 이니까 $\log_3 81=4$ 예요.
3
합쳐서 써요. $4+\log_3 x+\log_3 y$ 예요.

답

$4+\log_3 x+\log_3 y$

자주 하는 실수

$\log_3(81xy)$ 를 $\log_3 81\cdot\log_3 x\cdot\log_3 y$ 처럼 곱으로 쓰면 안 돼요. 곱은 합으로 바뀌어요.

원본 교재 풀이(영어)

$4+{\log }_{3}x+{\log }_{3}y$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.4절 · 1번

# 로그의 뜻과 성질계산기본

2.OpenStax Intermediate Algebra · 10.5절 · 22번우리말 풀이

지수방정식 $4^x=112$ 의 정확한 해를 구하고, 소수 셋째 자리까지 어림하세요.

영어 원문 보기

Solve Exponential Equations Using Logarithms

In the following exercises, solve each exponential equation. Find the exact answer and then approximate it to three decimal places.

${4}^{x}=112$

답 쓰고 채점

풀이 보기

지수에 있는 미지수는 양변에 로그를 취해서 앞으로 내릴 수 있어요. $\log(4^x)=x\log 4$ 예요.

1
양변에 상용로그를 취해요. $\log 4^x=\log 112$ 예요.
2
지수를 앞으로 내려요. $x\log 4=\log112$ 예요.
3
나눠서 $x$ 를 구해요. $x=\dfrac{\log112}{\log4}$ 가 정확한 해예요.
4
어림해요. $\log112\approx2.0492$ , $\log4\approx0.6021$ 이니까 $x\approx3.404$ 예요.
5
확인해요. $4^3=64$ , $4^4=256$ 이라 $112$ 는 그 사이이고 $x$ 가 $3$ 과 $4$ 사이인 것과 맞아요.

답

$x=\dfrac{\log112}{\log4}\approx3.404$

자주 하는 실수

$\dfrac{\log112}{\log4}$ 를 $\log\dfrac{112}{4}=\log28$ 로 바꾸면 안 돼요. 로그의 나눗셈과 로그끼리의 나눗셈은 달라요.

원본 교재 풀이(영어)

$x=\frac{\log 112}{\log 4}\approx 3.404$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.1절 · 19번

# 지수함수계산보통

3.OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.1절 · 19번우리말 풀이

두 점 $(0,2000)$ 과 $(2,20)$ 을 지나는 지수함수의 식을 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the formula for an exponential function that passes through the two points given.

$(0,2000)$ and $(2,20)$

풀이 보기

지수함수를 $f(x)=a\,b^{x}$ 로 놓고, $x=0$ 인 점에서 $a$ 를, 다른 점에서 $b$ 를 구해요.

1
식을 놓아요. $f(x)=a\,b^{x}$ ( $b>0$ ) 라 해요.
2
$x=0$ 인 점으로 $a$ 를 구해요. $f(0)=a\,b^{0}=a=2000$ 이에요.
3
$x=2$ 인 점으로 $b$ 를 구해요. $2000\,b^{2}=20$ 이므로 $b^{2}=\dfrac{20}{2000}=0.01$ 이고, $b>0$ 이라서 $b=0.1$ 이에요.
4
식을 완성하고 확인해요. $f(x)=2000\,(0.1)^{x}$ . $f(2)=2000\times 0.01=20$ 으로 맞아요.

답

$f(x)=2000\,(0.1)^{x}$

자주 하는 실수

$b^2=0.01$ 에서 $b=\pm0.1$ 로 두 값을 다 쓰는 실수가 있어요. 지수함수의 밑은 양수여야 해서 $b=0.1$ 만 가능해요.

원본 교재 풀이(영어)

$f(x)=2000{(0.1)}^{x}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.2절 · 5번

# 지수함수계산보통

4.OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.6절 · 45번우리말 풀이

방정식 $\ln(x)+\ln(x-3)=\ln(7x)$ 를 $x$ 에 대해 푸세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, solve each equation for $x.$

$\ln (x)+\ln (x-3)=\ln (7x)$

답 쓰고 채점

풀이 보기

로그의 합을 하나의 로그로 묶고, 양변이 같은 로그면 진수끼리 같다는 성질을 써요. 푼 뒤에는 진수가 양수인지 꼭 확인해요.

1
진수 조건부터 확인해요. 로그는 진수가 양수일 때만 정의되니까 $x>0,\ x-3>0,\ 7x>0$ 에서 $x>3$ 이어야 해요.
2
왼쪽을 하나로 묶어요. $\ln(x)+\ln(x-3)=\ln\big(x(x-3)\big)$ 이므로 식은 $\ln\big(x(x-3)\big)=\ln(7x)$ 예요.
3
진수끼리 같다고 놓아요. $x(x-3)=7x$ 이므로 $x^{2}-3x-7x=0$ , 즉 $x^{2}-10x=0$ , $x(x-10)=0$ 이에요. 그래서 $x=0$ 또는 $x=10$ 이에요.
4
진수 조건으로 거르기. $x=0$ 은 $x>3$ 에 맞지 않아서 버려요. $x=10$ 은 $\ln 10+\ln 7=\ln 70=\ln(7\cdot 10)$ 로 맞아요.

답

$x=10$

자주 하는 실수

$x$ 로 양변을 나눠 $x-3=7$ 로 풀어 버리면 $x=0$ 이 해가 아닌 이유를 놓칠 수 있고, 반대로 $x=0$ 을 답에 넣는 실수도 있어요. 진수가 양수인지 꼭 확인하세요.

원본 교재 풀이(영어)

$x=10$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.3절 · 30번

# 로그함수계산도전

5.OpenStax Elementary Algebra · 9.7절 · 1번우리말 번역

간단히 하세요: ${y}^{5}{y}^{4}$ .

영어 원문 보기

Simplify: ${y}^{5}{y}^{4}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

${y}^{9}$

원본 교재 풀이(영어)

${y}^{9}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 9.7절 · 2번


	$\sqrt[4]{-16}$
${(?)}^{4}=-16$ 이 되는 수를 생각해 보자. 어떤 실수도 네제곱하면 음수가 될 수 없다.	실수가 아니다.


	$\sqrt[4]{-16}$
Think, ${(?)}^{4}=-16.$ No real number raised to the fourth power is negative.	Not a real number.


	$\sqrt{{x}^{2}}$
${(x)}^{2}={x}^{2}$ 이고 양의 제곱근을 구하려 하므로	$\\|x\\|$


	$\sqrt[3]{{n}^{3}}$
${(n)}^{3}={n}^{3}$ 이다. 홀수 거듭제곱근이므로 절댓값 기호가 필요 없다.	$n$


	$\sqrt[4]{{p}^{4}}$
${(p)}^{4}={p}^{4}$ 이고 양의 네제곱근을 구하려 하므로	$\\|p\\|$


	$\sqrt[5]{{y}^{5}}$
${(y)}^{5}={y}^{5}$ 이다. 홀수 거듭제곱근이므로 절댓값 기호가 필요 없다.	$y$


	$\sqrt{{x}^{2}}$
Since ${(x)}^{2}={x}^{2}$ and we want the positive root.	$\\|x\\|$


	$\sqrt[3]{{n}^{3}}$
Since ${(n)}^{3}={n}^{3}.$ It is an odd root so there is no need for an absolute value sign.	$n$


	$\sqrt[4]{{p}^{4}}$
Since ${(p)}^{4}={p}^{4}$ and we want the positive root.	$\\|p\\|$


	$\sqrt[5]{{y}^{5}}$
Since ${(y)}^{5}={y}^{5}.$ It is an odd root so there is no need for an absolute value sign.	$y$


	$\sqrt[3]{8}$
${(2)}^{3}=8$ 이므로	$2$


	$\sqrt[4]{81}$
${(3)}^{4}=81$ 이므로	$3$


	$\sqrt[5]{32}$
${(2)}^{5}=32$ 이므로	$2$


	$\sqrt[3]{8}$
Since ${(2)}^{3}=8.$	$2$


	$\sqrt[3]{{y}^{18}}$
${({y}^{6})}^{3}={y}^{18}$ 이므로	$\sqrt[3]{{({y}^{6})}^{3}}$
	${y}^{6}$


	$\sqrt[4]{{z}^{8}}$
${({z}^{2})}^{4}={z}^{8}$ 이므로	$\sqrt[4]{{({z}^{2})}^{4}}$
${z}^{2}$ 은 양수이므로 절댓값 기호가 필요 없다.	${z}^{2}$


	$\sqrt[3]{{y}^{18}}$
Since ${({y}^{6})}^{3}={y}^{18}.$	$\sqrt[3]{{({y}^{6})}^{3}}$
	${y}^{6}$


	$\sqrt[4]{{z}^{8}}$
Since ${({z}^{2})}^{4}={z}^{8}.$	$\sqrt[4]{{({z}^{2})}^{4}}$
Since ${z}^{2}$ is positive, we do not need an absolute value sign.	${z}^{2}$


	$\sqrt[3]{64{p}^{6}}$
$64{p}^{6}\,\text{을}\,{(4{p}^{2})}^{3}$ 으로 바꿔 쓴다.	$\sqrt[3]{{(4{p}^{2})}^{3}}$
세제곱근을 구한다.	$4{p}^{2}$


	$\sqrt[4]{16{q}^{12}}$
근호 안을 네제곱으로 바꿔 쓴다.	$\sqrt[4]{{(2{q}^{3})}^{4}}$
네제곱근을 구한다.	$2\\|{q}^{3}\\|$


	$\sqrt[3]{64{p}^{6}}$
Rewrite $64{p}^{6}\,\text{as}\,{(4{p}^{2})}^{3}.$	$\sqrt[3]{{(4{p}^{2})}^{3}}$
Take the cube root.	$4{p}^{2}$


	$\sqrt[4]{16{q}^{12}}$
Rewrite the radicand as a fourth power.	$\sqrt[4]{{(2{q}^{3})}^{4}}$
Take the fourth root.	$2\\|{q}^{3}\\|$

지수함수와 로그함수 전체 문제