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문제 은행 · 기초 수학 · 대수 · 지수함수와 로그함수

지수함수와 로그함수 전체 문제

이 단원의 모든 연습문제입니다. 소단원으로 좁혀 보려면 아래 꼬리표를 누르세요.

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

13문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax Intermediate Algebra · 10.4절 · 69번우리말 번역

예를 하나 들어 다음 부등식이 성립함을 보이세요. log⁡(a+b)≠log⁡a+log⁡b.\log (a+b)\ne \log a+\log b.

영어 원문 보기

Use an example to show that log⁡(a+b)≠log⁡a+log⁡b.\log (a+b)\ne \log a+\log b.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 6장 복습 · 31번
# 로그의 뜻과 성질증명·논술자동 분류
2.OpenStax Intermediate Algebra · 10장 복습 · 12번우리말 번역

다음 연습 문제에서 두 함수가 서로 역함수임을 확인하세요.

f(x)=3x+7f(x)=3x+7 그리고 g(x)=x−73g(x)=\frac{x-7}{3}

영어 원문 보기

In the following exercises, verify that the functions are inverse functions.

f(x)=3x+7f(x)=3x+7 and g(x)=x−73g(x)=\frac{x-7}{3}

정답·풀이 보기

g(f(x))=xg(f(x))=x, 그리고 f(g(x))=xf(g(x))=x 이므로 두 함수는 서로 역함수이다.

원본 교재 풀이(영어)

g(f(x))=x,g(f(x))=x, and f(g(x))=x,f(g(x))=x, so they are inverses.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10장 복습 · 12번
증명·논술자동 분류
3.OpenStax Intermediate Algebra · 10장 복습 · 13번우리말 번역

다음 연습 문제에서 두 함수가 서로 역함수임을 확인하세요.

f(x)=2x+9f(x)=2x+9 그리고 g(x)=x+92g(x)=\frac{x+9}{2}

영어 원문 보기

In the following exercises, verify that the functions are inverse functions.

f(x)=2x+9f(x)=2x+9 and g(x)=x+92g(x)=\frac{x+9}{2}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.2절 · 7번
증명·논술자동 분류
4.OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.1절 · 56번우리말 번역

투자 계좌의 연 수익률(APY)은 복리 계좌에서 실제로 얻는 이자율을 나타낸 것이다. 이는 복리 기간이 1년인 것을 기준으로 한다. 매월 복리로 계산되는 계좌의 APY는 공식 APY=(1+r12)12−1\text{APY}={\left(1+\frac{r}{12}\right)}^{12}-1 로 구할 수 있음을 보이세요.

영어 원문 보기

The annual percentage yield (APY) of an investment account is a representation of the actual interest rate earned on a compounding account. It is based on a compounding period of one year. Show that the APY of an account that compounds monthly can be found with the formula APY=(1+r12)12−1.\text{APY}={\left(1+\frac{r}{12}\right)}^{12}-1.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.2절 · 5번
# 지수함수증명·논술자동 분류
5.OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.1절 · 59번우리말 번역

지수 감소 함수에서 지수의 밑은 0과 1 사이의 값이다. 따라서 어떤 수 b>1b>1 에 대해 지수 감소 함수는 f(x)=a⋅(1b)xf(x)=a\cdot {\left(\frac{1}{b}\right)}^{x} 로 쓸 수 있다. 이 식과 b=enb={e}^{n} 이라는 사실을 이용하여, 지수 감소 함수가 어떤 양수 nn 에 대해 f(x)=a(e)−nxf(x)=a{(e)}^{-nx} 의 꼴임을 보이세요.

영어 원문 보기

In an exponential decay function, the base of the exponent is a value between 0 and 1. Thus, for some number b>1,b>1, the exponential decay function can be written as f(x)=a⋅(1b)x.f(x)=a\cdot {\left(\frac{1}{b}\right)}^{x}. Use this formula, along with the fact that b=en,b={e}^{n}, to show that an exponential decay function takes the form f(x)=a(e)−nxf(x)=a{(e)}^{-nx} for some positive number nn .

정답·풀이 보기

ff 를 b>1b>1 인 지수 감소 함수 f(x)=a⋅(1b)xf(x)=a\cdot {\left(\frac{1}{b}\right)}^{x} 라 하자. 그러면 어떤 수 n>0n>0 에 대해 f(x)=a⋅(1b)x=a(b−1)x=a((en)−1)x=a(e−n)x=a(e)−nxf(x)=a\cdot {\left(\frac{1}{b}\right)}^{x}=a{({b}^{-1})}^{x}=a{({({e}^{n})}^{-1})}^{x}=a{({e}^{-n})}^{x}=a{(e)}^{-nx} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let ff be the exponential decay function f(x)=a⋅(1b)xf(x)=a\cdot {\left(\frac{1}{b}\right)}^{x} such that b>1.b>1. Then for some number n>0,n>0, f(x)=a⋅(1b)x=a(b−1)x=a((en)−1)x=a(e−n)x=a(e)−nx.f(x)=a\cdot {\left(\frac{1}{b}\right)}^{x}=a{({b}^{-1})}^{x}=a{({({e}^{n})}^{-1})}^{x}=a{({e}^{-n})}^{x}=a{(e)}^{-nx}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.1절 · 45번
# 지수함수증명·논술자동 분류
6.OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.1절 · 60번우리말 번역

명목 이자율이 rr 인 투자 계좌에서 임의의 시간 tt 에서의 금액 AA 는 A(t)=a(e)rtA(t)=a{(e)}^{rt} 로 주어진다. 여기서 aa 는 연속 복리로 계산되는 계좌에 처음 예금한 원금이다. 임의의 시간 tt 에서 원금에 대한 이자의 비율이 공식 I(t)=ert−1I(t)={e}^{rt}-1 로 계산될 수 있음을 증명하세요.

영어 원문 보기

The formula for the amount AA in an investment account with a nominal interest rate rr at any time tt is given by A(t)=a(e)rt,A(t)=a{(e)}^{rt}, where aa is the amount of principal initially deposited into an account that compounds continuously. Prove that the percentage of interest earned to principal at any time tt can be calculated with the formula I(t)=ert−1.I(t)={e}^{rt}-1.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.7절 · 7번
# 지수함수증명·논술자동 분류
7.OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.2절 · 52번우리말 번역

앞의 문제에서 세운 추측을 증명하세요.

영어 원문 보기

Prove the conjecture made in the previous exercise.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.8절 · 57번
# 지수함수증명·논술자동 분류
8.OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.2절 · 54번우리말 번역

앞의 문제에서 세운 추측을 증명하세요.

영어 원문 보기

Prove the conjecture made in the previous exercise.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.2절 · 6번
# 지수함수증명·논술자동 분류
9.OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.4절 · 58번우리말 번역

앞의 문제에서 세운 추측을 증명하세요.

영어 원문 보기

Prove the conjecture made in the previous exercise.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.3절 · 8번
# 로그함수증명·논술자동 분류
10.OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.5절 · 41번우리말 번역

b>1b>1, n>1n>1 인 모든 양의 정수 bb, nn 에 대해 log⁡b(n)=1log⁡n(b){\log }_{b}(n)=\frac{1}{{\log }_{n}(b)} 임을 증명하세요.

영어 원문 보기

Prove that log⁡b(n)=1log⁡n(b){\log }_{b}(n)=\frac{1}{{\log }_{n}(b)} for any positive integers b>1b>1 and n>1.n>1.

정답·풀이 보기

bb 와 nn 을 11 보다 큰 양의 정수라 하자. 그러면 밑 변환 공식에 의해 log⁡b(n)=log⁡n(n)log⁡n(b)=1log⁡n(b){\log }_{b}(n)=\frac{{\log }_{n}(n)}{{\log }_{n}(b)}=\frac{1}{{\log }_{n}(b)} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let bb and nn be positive integers greater than 1.1. Then, by the change-of-base formula, log⁡b(n)=log⁡n(n)log⁡n(b)=1log⁡n(b).{\log }_{b}(n)=\frac{{\log }_{n}(n)}{{\log }_{n}(b)}=\frac{1}{{\log }_{n}(b)}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.4절 · 14번
# 로그의 뜻과 성질증명·논술자동 분류
11.OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.6절 · 78번우리말 번역

로그의 정의와 로그의 일대일 성질을 이용하여 blog⁡bx=x{b}^{{\log }_{b}x}=x 임을 증명하세요.

영어 원문 보기

Use the definition of a logarithm along with the one-to-one property of logarithms to prove that blog⁡bx=x.{b}^{{\log }_{b}x}=x.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 6장 복습 · 41번
# 로그함수증명·논술자동 분류
12.OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.7절 · 22번우리말 번역

다음 문제에서, 그래프 계산기와 다음 상황을 이용하세요. 어떤 양어장의 물고기 개체 수는 tt년 후 방정식 P(t)=10001+9e−0.6tP(t)=\frac{1000}{1+9{e}^{-0.6t}} 으로 모델링됩니다.

물고기 개체 수의 환경수용력은 얼마인가요? PP 의 그래프를 이용하여 답이 타당함을 설명하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, use a graphing calculator and this scenario: the population of a fish farm in tt years is modeled by the equation P(t)=10001+9e−0.6t.P(t)=\frac{1000}{1+9{e}^{-0.6t}}.

What is the carrying capacity for the fish population? Justify your answer using the graph of P.P.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.2절 · 27번
# 지수함수증명·논술자동 분류
13.OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.7절 · 27번우리말 번역

b≠1b\ne 1 인 양수 bb 에 대해 bx=exln⁡(b){b}^{x}={e}^{x\ln (b)} 임을 증명하세요.

영어 원문 보기

Prove that bx=exln⁡(b){b}^{x}={e}^{x\ln (b)} for positive b≠1.b\ne 1.

정답·풀이 보기

b≠1b\ne 1 인 어떤 음이 아닌 실수 bb 에 대해 y=bxy={b}^{x} 라 하자. 그러면,

ln⁡(y)=ln⁡(bx)ln⁡(y)=xln⁡(b)eln⁡(y)=exln⁡(b)y=exln⁡(b)\begin{array}{c}\ln (y)=\ln ({b}^{x}) \\ \ln (y)=x\ln (b) \\ {e}^{\ln (y)}={e}^{x\ln (b)} \\ y={e}^{x\ln (b)}\end{array}

원본 교재 풀이(영어)

Let y=bxy={b}^{x} for some non-negative real number bb such that b≠1.b\ne 1. Then,

ln⁡(y)=ln⁡(bx)ln⁡(y)=xln⁡(b)eln⁡(y)=exln⁡(b)y=exln⁡(b)\begin{array}{c}\ln (y)=\ln ({b}^{x}) \\ \ln (y)=x\ln (b) \\ {e}^{\ln (y)}={e}^{x\ln (b)} \\ y={e}^{x\ln (b)}\end{array}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.2절 · 21번
# 지수함수증명·논술자동 분류