미분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.CLP-1 · 2.4절 · 4번우리말 번역

$f$ 를 미분가능한 함수라 하자. 적어도 세 가지 서로 다른 규칙을 사용하여 $g(x)=3f(x)$ 를 미분하고, 모두 같은 답을 주는지 확인하세요.

영어 원문 보기

Let $f$ be a differentiable function. Use at least three different rules to differentiate $g(x)=3f(x)$ , and verify that they all give the same answer.

정답·풀이 보기

창의적으로 생각하면 미분하는 방법을 많이 찾을 수 있다!

상수배: $g'(x)=3f'(x)$ .

곱의 미분법: $g'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{3\}f(x)+3f'(x)=0f(x)+3f'(x)=3f'(x)$ .

합의 미분법: $g'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+f(x)+f(x)\}=f'(x)+f'(x)+f'(x)=3f'(x)$ .

몫의 미분법: $g'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{f(x)}{\frac{1}{3}}\right\}= \frac{\frac{1}{3}f'(x)-f(x)(0)}{\frac{1}{9}}=\frac{\frac{1}{3}f'(x)}{\frac{1}{9}}=9\left(\frac{1}{3}\right)f'(x)=3f'(x)$ .

모든 규칙이 $g'(x)=3f'(x)$ 를 준다.

원본 교재 풀이(영어)

If you're creative, you can find lots of ways to differentiate!

Constant multiple: $g'(x)=3f'(x)$ .

Product rule: $g'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{3\}f(x)+3f'(x)=0f(x)+3f'(x)=3f'(x)$ .

Sum rule: $g'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+f(x)+f(x)\}=f'(x)+f'(x)+f'(x)=3f'(x)$ .

Quotient rule: $g'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{f(x)}{\frac{1}{3}}\right\}= \frac{\frac{1}{3}f'(x)-f(x)(0)}{\frac{1}{9}}=\frac{\frac{1}{3}f'(x)}{\frac{1}{9}}=9\left(\frac{1}{3}\right)f'(x)=3f'(x)$ .

All rules give $g'(x)=3f'(x)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 16번

# 다항함수의 미분법증명·논술기본자동 분류

2.CLP-1 · 2.13절 · 6번우리말 번역

함수 $f(x)=\sqrt{|x|}$ 가 기울기 $\frac{1}{13}$ 인 접선을 갖는 점이 존재함을 보이려고 한다. 다음 풀이에서 잘못된 부분을 모두 찾고, 올바른 증명을 쓰세요.

함수 $f(x)$ 는 모든 실수에서 연속이고 미분가능하므로 평균값 정리를 적용할 수 있다. $f(-4)=2$ 이고 $f(9)=3$ 이므로, 평균값 정리에 의해 다음을 만족하는 $c \in (-4,9)$ 가 존재한다. $f'(x) = \dfrac{3-2}{9-(-4)}=\dfrac{1}{13}$ .

영어 원문 보기

Suppose you want to show that a point exists where the function $f(x)=\sqrt{|x|}$ has a tangent line with slope $\frac{1}{13}$ . Find the mistake(s) in the following work, and give a correct proof.

The function $f(x)$ is continuous and differentiable over all real numbers, so the mean value theorem applies. $f(-4)=2$ and $f(9)=3$ , so by the mean value theorem, there exists some $c \in (-4,9)$ such that $f'(x) = \dfrac{3-2}{9-(-4)}=\dfrac{1}{13}$ .

정답·풀이 보기

함수 $f(x)$ 는 모든 실수에서 연속이지만, $x \neq 0$ 일 때만 미분가능하다. 따라서 평균값 정리를 적용하려면 구간이 양수만으로 또는 음수만으로 이루어져야 한다. 구간 $(-4,13)$ 은 적절하지 않다.

평균값 정리를 이용해서 원하는 것을 증명할 수 있다. $a=1$ , $b=144$ 이면 구간 $(1,144)$ 에 0이 포함되지 않으므로 $f(x)$ 는 이 구간에서 미분가능하고, $f(x)$ 는 모든 곳에서 연속이다. 따라서 평균값 정리에 의해 $f'(x)=\dfrac{\sqrt{|144|}-\sqrt{|1|}}{144-1}=\dfrac{11}{143}=\dfrac{1}{13}$ 인 점 $c$ 가 존재한다.

그렇지만 그런 점이 존재함을 보이는 더 쉬운 방법은 평균값 정리를 쓰지 않고 그 점을 직접 찾는 것이다. $x>0$ 일 때 $f(x)=\sqrt{x}$ 이므로 $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt {x}}$ 이다. 그러면 $f'\left(\dfrac{169}{4}\right)=\dfrac{1}{13}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function $f(x)$ is continuous over all real numbers, but it is only differentiable when $x \neq 0$ . So, if we want to apply the MVT, our interval must consist of only positive numbers or only negative numbers: the interval $(-4,13)$ is not valid.

It is possible to use the mean value theorem to prove what we want: if $a=1$ and $b=144$ , then $f(x)$ is differentiable over the interval $(1,144)$ (since 0 is not contained in that interval), and $f(x)$ is continuous everywhere, so by the mean value theorem there exists some point $c$ where $f'(x)=\dfrac{\sqrt{|144|}-\sqrt{|1|}}{144-1}=\dfrac{11}{143}=\dfrac{1}{13}$ .

That being said, an easier way to prove that a point exists is to simply find it–without using the MVT. When $x>0$ , $f(x)=\sqrt{x}$ , so $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt {x}}$ . Then $f'\left(\dfrac{169}{4}\right)=\dfrac{1}{13}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 7번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술기본자동 분류

미분 전체 문제