미분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 41번우리말 풀이

다음 문제에서 미분계수의 정의(극한식)를 이용해, 주어진 각 함수가 $x=a$ 에서 도함수가 존재하지 않음을 보이세요.

$f(x)=x^{1/3},\ x=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the limit definition of derivative to show that the derivative does not exist at $x=a$ for each of the given functions.

$f(x)={x}^{1/3},x=0$

풀이 보기

미분계수의 정의 식을 쓴 극한이 한 값으로 정해지지 않고 $\infty$ 로 커지면 미분계수가 존재하지 않아요.

1
정의 식을 써요. $x=0$ 에서의 미분계수는 $f(0)=0$ 이므로 $f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{x^{1/3}}{x}$ 이 극한이 존재하는지 보면 돼요.
2
식을 정리해요. $\dfrac{x^{1/3}}{x}=x^{1/3-1}=x^{-2/3}=\dfrac{1}{x^{2/3}}$ 예요.
3
좌극한을 구해요. $x\to 0^-$ 일 때 $x^{2/3}=\left(x^{1/3}\right)^2$ 은 항상 양수이면서 $0$ 에 가까워지므로 $\dfrac{1}{x^{2/3}}\to\infty$ 예요. 우극한도 같은 이유로 $\infty$ 예요.
4
결론을 내려요. 극한이 유한한 값이 아니라 $\infty$ 로 발산하므로 $f'(0)$ 은 존재하지 않아요. 그래프로 보면 $x=0$ 에서 접선이 $y$ 축과 나란한 수직선이 되어 기울기를 정할 수 없는 거예요.

답

$\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac{x^{1/3}-0}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^{2/3}}=\infty$ 이므로 $f'(0)$ 은 존재하지 않는다

자주 하는 실수

$x^{1/3}$ 이 $x=0$ 에서 연속이라서 미분도 된다고 생각하는 실수가 많아요. 연속이어도 미분가능하지 않을 수 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\to {0}^{-}}\frac{{x}^{1/3}-0}{x-0}=\lim_{x\to {0}^{-}}\frac{1}{{x}^{2/3}}=\infty$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.7절 · 10번

# 미분가능성과 연속성증명·논술보통

2.OpenStax 1권 · 4.4절 · 20번우리말 풀이

다음 문제에서 $f(1)-f(-1)=f'(c)(2)$ 를 만족하는 $c$ 가 없음을 보이세요. 구간 $[-1,1]$ 에서 평균값 정리가 적용되지 않는 이유를 설명하세요.

$f(x)=\left|x-\dfrac12\right|$

영어 원문 보기

For the following exercises, show there is no $c$ such that $f(1)-f(-1)={f}^{'}(c)(2).$ Explain why the Mean Value Theorem does not apply over the interval $[-1,1].$

$f(x)=|x-\frac{1}{2}|$

풀이 보기

평균값 정리는 '닫힌 구간에서 연속, 열린 구간에서 미분가능'일 때만 쓸 수 있어요. 한 곳이라도 미분이 안 되면 결론이 보장되지 않아요.

1
평균변화율을 구해요. $f(1)=\tfrac12$ , $f(-1)=\tfrac32$ 이므로 $f(1)-f(-1)=-1\ \Rightarrow\ f'(c)\cdot 2=-1\ \Rightarrow\ f'(c)=-\tfrac12$ 이 되는 $c$ 가 있는지 보면 돼요.
2
도함수의 값을 살펴요. $x>\tfrac12$ 에서는 $f(x)=x-\tfrac12$ 이므로 $f'(x)=1$ , $x<\tfrac12$ 에서는 $f(x)=-x+\tfrac12$ 이므로 $f'(x)=-1$ 이에요. 도함수가 가질 수 있는 값은 $1$ 과 $-1$ 뿐이라서 $-\tfrac12$ 은 될 수 없어요. 그러므로 조건을 만족하는 $c$ 가 없어요.
3
왜 평균값 정리가 안 되는지 말해요. $x=\tfrac12$ 은 구간 $(-1,1)$ 안에 있는데, 이곳에서 좌미분계수는 $-1$ , 우미분계수는 $1$ 로 서로 달라 미분가능하지 않아요(그래프가 뾰족한 점). 따라서 열린 구간에서 미분가능하다는 조건이 깨져 평균값 정리를 쓸 수 없어요.

답

$f$ 는 $x=\tfrac12$ 에서 미분가능하지 않아서 평균값 정리의 조건을 만족하지 않으므로, 조건을 만족하는 $c$ 가 없다

자주 하는 실수

연속이기만 하면 평균값 정리를 쓸 수 있다고 생각하는 실수가 많아요. 열린 구간에서 미분가능해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Not differentiable

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 38번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술보통

3.OpenStax 1권 · 4.5절 · 56번우리말 풀이

$f(x)$ 가 세 개의 근을 가지면 변곡점이 $1$ 개 있다.

영어 원문 보기

If $f(x)$ has three roots, then it has $1$ inflection point.

풀이 보기

근이 3개이면 롤의 정리를 두 번 써서 $f''$ 의 근이 있음을 알 수 있지만, 변곡점의 개수까지는 함수의 종류에 따라 달라요.

1
롤의 정리를 두 번 써 봐요. 근이 $a<b<c$ 이면 $f(a)=f(b)=0$ 이므로 $(a,b)$ 에서 $f'$ 의 근이 하나, $(b,c)$ 에서도 하나 있어요. 이 두 근 사이에 다시 롤의 정리를 쓰면 $f''$ 의 근이 적어도 하나 있어요.
2
삼차함수라면 맞아요. $f$ 가 삼차함수이면 $f''$ 는 일차식이라 근이 정확히 하나이고 그 앞뒤에서 부호가 바뀌어요. 그러므로 변곡점이 정확히 $1$ 개예요. 원본 답의 '참, 도함수를 살펴보세요'는 이 경우를 말해요.
3
일반 함수에서는 틀려요. $f(x)=x^4-x^2=x^2(x-1)(x+1)$ 은 근이 $0,\pm1$ 의 3개지만 $f''(x)=12x^2-2$ 의 부호가 $x=\pm\frac{1}{\sqrt6}$ 에서 바뀌어 변곡점이 $2$ 개예요. 또 $\sin x$ 처럼 근이 많은 함수도 있어요. 그래서 함수에 대한 조건 없이는 '변곡점이 정확히 1개'라고 할 수 없어요.

답

일반적으로는 거짓(반례 $y=x^4-x^2$ : 근 3개, 변곡점 2개). 삼차함수라면 참이다

자주 하는 실수

근의 개수와 변곡점의 개수가 늘 같다고 생각하는 실수가 있어요. 변곡점은 $f''$ 의 부호 변화로 정해져요.

참고: 원본 교재의 답과 다르게 풀었어요 — 원본은 '참'인데, 함수의 종류(삼차함수 등)가 문제에 적혀 있지 않아 일반 함수로는 반례가 있어요. 원문에 '삼차함수'라는 전제가 있었는지 확인이 필요해요.

원본 교재 풀이(영어)

True, examine derivative

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.4절 · 8번

# 함수의 그래프 그리기증명·논술도전

4.OpenStax 1권 · 3.1절 · 42번우리말 번역

다음 문제에서, 도함수의 극한 정의를 이용하여 주어진 각 함수의 $x=a$ 에서의 미분계수가 존재하지 않음을 보이세요.

$f(x)={x}^{2/3},x=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the limit definition of derivative to show that the derivative does not exist at $x=a$ for each of the given functions.

$f(x)={x}^{2/3},x=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 15번

# 평균변화율과 미분계수증명·논술자동 분류

5.OpenStax 1권 · 3.1절 · 43번우리말 번역

다음 문제에서, 도함수의 극한 정의를 이용하여 주어진 각 함수의 $x=a$ 에서의 미분계수가 존재하지 않음을 보이세요.

$f(x)=\{\begin{array}{c}1,x<1 \\ x,x\ge 1\end{array},x=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the limit definition of derivative to show that the derivative does not exist at $x=a$ for each of the given functions.

$f(x)=\{\begin{array}{c}1,x<1 \\ x,x\ge 1\end{array},x=1$

정답·풀이 보기

$\lim_{x\to {1}^{-}}\frac{1-1}{x-1}=0\ne 1=\lim_{x\to {1}^{+}}\frac{x-1}{x-1}$

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\to {1}^{-}}\frac{1-1}{x-1}=0\ne 1=\lim_{x\to {1}^{+}}\frac{x-1}{x-1}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 11번

# 평균변화율과 미분계수증명·논술자동 분류

6.OpenStax 1권 · 3.1절 · 44번우리말 번역

다음 연습문제에서, 미분계수의 극한 정의를 사용하여 주어진 각 함수에 대해 $x=a$ 에서 미분계수가 존재하지 않음을 보이세요.

$f(x)=\frac{|x|}{x},x=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the limit definition of derivative to show that the derivative does not exist at $x=a$ for each of the given functions.

$f(x)=\frac{|x|}{x},x=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 14번

# 평균변화율과 미분계수증명·논술자동 분류

7.OpenStax 1권 · 3.2절 · 21번우리말 번역

다음 함수에 대하여,

a. 그래프를 그리고 b. 미분계수의 정의를 이용하여 함수가 $x=1$ 에서 미분가능하지 않음을 보이세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{x},0\le x\le 1 \\ 3x-1,x>1\end{array}\right.$

영어 원문 보기

For the following functions,

a. sketch the graph and b. use the definition of a derivative to show that the function is not differentiable at $x=1.$

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{x},0\le x\le 1 \\ 3x-1,x>1\end{array}\right.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 24번

# 도함수의 뜻증명·논술자동 분류

8.OpenStax 1권 · 3.2절 · 22번우리말 번역

다음 함수에 대하여,

a. 그래프를 그리고 b. 미분계수의 정의를 이용하여 함수가 $x=1$ 에서 미분가능하지 않음을 보이세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}3,x<1 \\ 3x,x\ge 1\end{array}\right.$

영어 원문 보기

For the following functions,

a. sketch the graph and b. use the definition of a derivative to show that the function is not differentiable at $x=1.$

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}3,x<1 \\ 3x,x\ge 1\end{array}\right.$

정답·풀이 보기

a.

함수는 점 (1, 3)에 이르기까지 y = 3인 직선이고, 그 점부터는 기울기가 3인 직선으로 증가한다.

b. $\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{3-3}{h}=0$ $\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{3(1+h)-3(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{3h}{h}=3$ $\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\ne \lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ 이므로 $\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ 은 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

a.

The function is linear at y = 3 until it reaches (1, 3), at which point it increases as a line with slope 3.

b. $\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{3-3}{h}=0$ $\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{3(1+h)-3(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{3h}{h}=3$ $\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\ne \lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ , so $\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 2번

# 도함수의 뜻증명·논술자동 분류

9.OpenStax 1권 · 3.2절 · 23번우리말 번역

다음 함수에 대하여,

a. 그래프를 그리고 b. 미분계수의 정의를 이용하여 함수가 $x=1$ 에서 미분가능하지 않음을 보이세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+2,x\le 1 \\ x,x>1\end{array}\right.$

영어 원문 보기

For the following functions,

a. sketch the graph and b. use the definition of a derivative to show that the function is not differentiable at $x=1.$

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+2,x\le 1 \\ x,x>1\end{array}\right.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 6번

# 도함수의 뜻증명·논술자동 분류

10.OpenStax 1권 · 3.2절 · 24번우리말 번역

다음 함수에 대하여,

a. 그래프를 그리고 b. 미분계수의 정의를 이용하여 함수가 $x=1$ 에서 미분가능하지 않음을 보이세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}2x,x\le 1 \\ \frac{2}{x},x>1\end{array}\right.$

영어 원문 보기

For the following functions,

a. sketch the graph and b. use the definition of a derivative to show that the function is not differentiable at $x=1.$

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}2x,x\le 1 \\ \frac{2}{x},x>1\end{array}\right.$

정답·풀이 보기

a.

함수는 제3사분면에서 직선으로 시작하여 기울기 2로 원점을 지나고, 이어서 (1, 2)에서부터는 2/x를 따라 아래로 볼록하게 감소한다.

b. $\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{2(1+h)-2}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{2h}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}2=2$ $\begin{array}{cc}\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{\frac{2}{1+h}-\frac{2}{1}}{h} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{\frac{2-2(1+h)}{1+h}}{h} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{-2h}{h(1+h)} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{-2}{1+h} \\ & =-2\end{array}$ $\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\ne \lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ 이므로 $\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ 은 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

a.

The function starts in the third quadrant as a straight line and passes through the origin with slope 2; then at (1, 2) it decreases convexly as 2/x.

b. $\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{2(1+h)-2}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{2h}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}2=2$ $\begin{array}{cc}\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{\frac{2}{1+h}-\frac{2}{1}}{h} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{\frac{2-2(1+h)}{1+h}}{h} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{-2h}{h(1+h)} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{-2}{1+h} \\ & =-2\end{array}$ $\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\ne \lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ , so $\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 1번

# 도함수의 뜻증명·논술자동 분류

11.OpenStax 1권 · 3.4절 · 23번우리말 번역

[계산기 사용] 홀링 II형 방정식은 $f(x)=\frac{ax}{n+x}$ 로 나타내며, 여기서 $x$ 는 이용할 수 있는 먹이의 양이고 $a>0$ 는 포식자의 최대 섭취율이다.

a. $a=0.5$ 이고 $n=5$ 일 때 홀링 II형 방정식의 그래프를 그리세요. 홀링 I형 방정식과 II형 방정식의 차이점은 무엇인가요? b. 홀링 II형 방정식의 1계 도함수를 구하고, 그 도함수의 물리적 의미를 해석하세요. c. $f(n)=\frac{1}{2}a$ 임을 보이고, 매개변수 $n$ 의 의미를 해석하세요. d. 2계 도함수를 구하고 그 의미를 해석하세요. 홀링 II형 함수가 홀링 I형 함수보다 더 현실적인 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

[T] The Holling type II equation is described by $f(x)=\frac{ax}{n+x},$ where $x$ is the amount of prey available and $a>0$ is the maximum consumption rate of the predator.

a. Graph the Holling type II equation given $a=0.5$ and $n=5.$ What are the differences between the Holling type I and II equations? b. Take the first derivative of the Holling type II equation and interpret the physical meaning of the derivative. c. Show that $f(n)=\frac{1}{2}a$ and interpret the meaning of the parameter $n.$ d. Find and interpret the meaning of the second derivative. What makes the Holling type II function more realistic than the Holling type I function?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.1절 · 13번

# 속도와 가속도증명·논술자동 분류

12.OpenStax 1권 · 4.3절 · 1번우리말 번역

수학Ⅱ 이전에 이차방정식 $y=a{x}^{2}+bx+c$ 의 최댓값 또는 최솟값의 위치를 구하는 공식 $h=-\frac{b}{(2a)}$ 를 배웠습니다. 미적분을 이용하여 이 공식을 증명하세요.

영어 원문 보기

In precalculus, you learned a formula for the position of the maximum or minimum of a quadratic equation $y=a{x}^{2}+bx+c,$ which was $h=-\frac{b}{(2a)}.$ Prove this formula using calculus.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 28번

# 극대와 극소증명·논술자동 분류

13.OpenStax 1권 · 4.3절 · 8번우리말 번역

최댓값이 둘 이상 있을 수 있나요? 그래프를 이용한 논증으로 가설을 증명하세요.

영어 원문 보기

Is it possible to have more than one absolute maximum? Use a graphical argument to prove your hypothesis.

정답·풀이 보기

최댓값은 $x$ 값이 아니라 함숫값(출력값)이므로 답은 '아니요'이다. 답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Since the absolute maximum is the function (output) value rather than the x value, the answer is no; answers will vary

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 6번

# 극대와 극소증명·논술자동 분류

14.OpenStax 1권 · 4.4절 · 4번우리말 번역

불연속인 함수가 있을 때에도 ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a)?$ 를 만족하는 $c$ 가 존재하는 것이 여전히 가능한가요? 그런 예를 그리거나 불가능한 이유를 증명하세요.

영어 원문 보기

If you have a function with a discontinuity, is it still possible to have ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a)?$ Draw such an example or prove why not.

정답·풀이 보기

예, 그러나 평균값 정리는 여전히 적용되지 않는다

원본 교재 풀이(영어)

Yes, but the Mean Value Theorem still does not apply

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 6번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

15.OpenStax 1권 · 4.4절 · 5번우리말 번역

다음 연습문제에서 평균값 정리가 적용되는 구간이 있다면 어떤 구간인지 구하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y=\sin (\pi x)$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine over what intervals (if any) the Mean Value Theorem applies. Justify your answer.

$y=\sin (\pi x)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 2번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

16.OpenStax 1권 · 4.4절 · 6번우리말 번역

다음 연습문제에서 평균값 정리가 적용되는 구간이 (있다면) 어느 구간인지 구하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y=\frac{1}{{x}^{3}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine over what intervals (if any) the Mean Value Theorem applies. Justify your answer.

$y=\frac{1}{{x}^{3}}$

정답·풀이 보기

$(-\infty ,0) \text{또는} (0,\infty )$ 안에 있는 모든 닫힌구간

원본 교재 풀이(영어)

Any closed interval in $(-\infty ,0) \text{or} (0,\infty )$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 22번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

17.OpenStax 1권 · 4.4절 · 7번우리말 번역

다음 연습문제에서 평균값 정리가 적용되는 구간이 있다면 어떤 구간인지 구하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y=\sqrt{4-{x}^{2}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine over what intervals (if any) the Mean Value Theorem applies. Justify your answer.

$y=\sqrt{4-{x}^{2}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 8번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

18.OpenStax 1권 · 4.4절 · 8번우리말 번역

다음 연습문제에서 평균값 정리가 적용되는 구간이 (있다면) 어디인지 판단하세요. 답의 근거를 밝히세요.

$y=\sqrt{{x}^{2}-4}$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine over what intervals (if any) the Mean Value Theorem applies. Justify your answer.

$y=\sqrt{{x}^{2}-4}$

정답·풀이 보기

$(-\infty ,-2) \text{또는} (2,\infty )$ 에 포함되는 모든 닫힌구간

원본 교재 풀이(영어)

Any closed interval in $(-\infty ,-2) \text{or} (2,\infty )$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 2번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

19.OpenStax 1권 · 4.4절 · 9번우리말 번역

다음 연습문제에서 평균값 정리가 적용되는 구간이 있다면 어떤 구간인지 구하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y=\ln (3x-5)$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine over what intervals (if any) the Mean Value Theorem applies. Justify your answer.

$y=\ln (3x-5)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 14번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

20.OpenStax 1권 · 4.4절 · 24번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 함수에 평균값 정리가 적용되는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y={e}^{x}$ ( $[0,1]$ 에서)

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval $[a,b].$ Justify your answer.

$y={e}^{x}$ over $[0,1]$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

예

원본 교재 풀이(영어)

Yes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 26번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

미분 전체 문제