문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

도함수의 뜻

정의를 써서 도함수를 구하고, f의 그래프와 f'의 그래프를 연결한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.2절 · 12번우리말 풀이

다음 문제에서 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용해 도함수 $f'(x)$ 의 그래프를 그려 보세요.

함수 f(x)는 (−1.5, 20) 근처에서 시작해 감소하여 (0, 10)을 지나는데 이곳에서 기울기가 0인 것처럼 보인다. 이어서 계속 감소하여 (1.7, 0)을 지나 (3, −17)에서 최솟값을 갖고, 그 뒤 빠르게 증가하여 (3.8, 0)을 지나 (4, 20)에 이른다.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the graph of $y=f(x)$ to sketch the graph of its derivative ${f}^{'}(x).$

The function f(x) starts at (−1.5, 20) and decreases to pass through (0, 10), where it appears to have a derivative of 0. Then it further decreases, passing through (1.7, 0) and achieving a minimum at (3, −17), at which point it increases rapidly through (3.8, 0) to (4, 20).

풀이 보기

$f$ 의 그래프에서 각 점의 접선의 기울기가 곧 $f'(x)$ 의 값이에요. 기울기를 읽어 점으로 찍으면 도함수 그래프가 돼요.

1
기울기가 0인 곳을 먼저 찾아요. 도함수의 값은 접선의 기울기예요. 그래프를 보면 $x=0$ 근처(높이 10)에서 평평하게 눌려 있고, $x=3$ 에서 가장 낮아요(극솟점). 따라서 $f'(0)=0$ , $f'(3)=0$ 이에요. 즉 $f'$ 의 그래프는 $x=0$ 과 $x=3$ 에서 $x$ 축과 만나요.
2
부호를 구간별로 살펴요. $x<3$ 에서는 (평평한 $x=0$ 을 제외하고) $f$ 가 계속 내려가므로 기울기가 음수, 즉 $f'(x)<0$ 이에요. $x=0$ 에서는 0이 되지만 앞뒤 모두 음수라서 $x$ 축에 닿기만 하고 통과하지 않아요. $x>3$ 에서는 $f$ 가 올라가므로 $f'(x)>0$ 이에요.
3
크기를 어림해요. 왼쪽 끝 $x=-1.5$ 근처에서는 내려가는 정도가 아주 가팔라서 $f'$ 는 큰 음수예요. 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 기울기가 완만해져 $x=0$ 에서 0이 돼요. 그 뒤 다시 가팔라져서 $x=2$ 근처에서 가장 가파르게 내려가므로 $f'$ 는 여기서 가장 작은 값(약 $-16$ )을 가져요. 이후 기울기가 완만해져 $x=3$ 에서 0이 되고, 그 뒤로는 양수로 빠르게 커져요.
4
그래프를 이어요. 위 점들을 매끄럽게 이으면 $f'$ 의 그래프는 '왼쪽 위에서 음수로 내려오다가 $x=0$ 에서 $x$ 축에 닿고, $x=2$ 근처에서 최저가 되었다가 $x=3$ 에서 $x$ 축을 통과해 위로 올라가는' 삼차함수 모양이에요.

답

$f'$ 의 그래프는 $x=0$ 에서 $x$ 축에 닿고(접하고), $x=2$ 근처에서 최솟값 약 $-16$ , $x=3$ 에서 $x$ 축을 지나 위로 올라가는 곡선

자주 하는 실수

$f$ 의 값이 큰 곳에서 $f'$ 도 크다고 생각하는 실수가 많아요. $f'$ 는 높이가 아니라 기울기예요.

원본 교재 풀이(영어)

The function starts in the third quadrant and increases to touch the origin, then decreases to a minimum at (2, −16), before increasing through the x axis at x = 3, after which it continues increasing.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 8번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석보통

2.OpenStax 1권 · 3.2절 · 36번우리말 풀이

다음 문제에서 계산기로 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요. 도함수 $f'(x)$ 를 구한 뒤 계산기로 $f'(x)$ 의 그래프도 그리세요.

[계산기 사용] $f(x)=x^3+1$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph $f(x).$ Determine the function ${f}^{'}(x),$ then use a calculator to graph ${f}^{'}(x).$

[T] $f(x)={x}^{3}+1$

풀이 보기

$x^n$ 의 도함수는 $nx^{n-1}$ 이고, 상수의 도함수는 0이에요.

1
도함수를 구해요. $x^3$ 은 $3x^2$ 으로 미분되고, 상수 $1$ 은 미분하면 $0$ 이에요. 따라서 $f'(x)=3x^2+0=3x^2$
2
$f$ 의 그래프를 생각해요. $y=x^3+1$ 은 $y=x^3$ 의 그래프를 위로 1만큼 평행이동한 곡선이에요. 위로 옮겨도 기울기는 변하지 않으므로 $f'$ 가 $x^3$ 의 도함수와 같은 것과 맞아요.
3
$f'$ 의 그래프를 생각해요. $y=3x^2$ 은 꼭짓점이 원점인 아래로 볼록한 포물선이에요. $y=x^2$ 보다 3배 가파르게 올라가요. 또 $f'(0)=0$ 이어서 $f$ 는 $x=0$ 에서 접선이 수평이고(그림에서 평평하게 눌린 부분), $f'\ge 0$ 이므로 $f$ 는 늘 증가해요. 주어진 그림에서도 점선(포물선)이 $f'$ 이고 실선이 $f$ 예요.

답

$f'(x)=3x^2$ (그래프: 원점을 꼭짓점으로 하는 아래로 볼록한 포물선)

자주 하는 실수

상수항 $1$ 이 미분 후에도 남는다고 착각하는 실수가 있어요. 상수의 도함수는 0이에요.

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{'}(x)=3{x}^{2}$

The function f(x) starts is the graph of the cubic function shifted up by 1. The function f’(x) is the graph of a parabola that is slightly steeper than the normal squared function.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 12번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석기본