빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

다항함수의 미분법

xⁿ의 미분, 상수배·합·차·곱의 미분법으로 다항함수의 도함수를 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
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풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.3절 · 8번우리말 풀이

다음 문제에서 각 함수의 f′(x)f'(x) 를 구하세요.

f(x)=x2(2x2+5x3)f(x)=x^2\left(\frac{2}{x^2}+\frac{5}{x^3}\right)

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=x2(2x2+5x3)f(x)={x}^{2}\left(\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{5}{{x}^{3}}\right)

풀이 보기

곱의 미분법을 쓰기 전에 식을 먼저 정리하면 훨씬 간단해져요.

  1. 1

    식부터 정리해요. 곱의 미분법을 바로 써도 되지만, 괄호를 풀면 훨씬 쉬워요. x2x^2 를 각 항에 곱하면 f(x)=x2⋅2x2+x2⋅5x3=2+5x(x≠0)f(x)=x^2\cdot\frac{2}{x^2}+x^2\cdot\frac{5}{x^3}=2+\frac{5}{x}\quad(x\neq 0)

  2. 2

    미분하기 좋은 꼴로 써요. 5x=5x−1\dfrac{5}{x}=5x^{-1} 이므로 f(x)=2+5x−1f(x)=2+5x^{-1} 이에요.

  3. 3

    항별로 미분해요. 상수 22 의 도함수는 00, 5x−15x^{-1} 의 도함수는 5⋅(−1)x−2=−5x−25\cdot(-1)x^{-2}=-5x^{-2} 예요. 그러므로 f′(x)=−5x2f'(x)=-\frac{5}{x^2}

답

f′(x)=−5x2f'(x)=-\dfrac{5}{x^2}

자주 하는 실수

지수가 음수일 때 x−1x^{-1} 의 도함수를 −x0-x^{0} 으로 잘못 계산해요. 지수에서 1을 빼면 x−2x^{-2} 가 돼요.

원본 교재 풀이(영어)

f′(x)=−5x2{f}^{'}(x)=\frac{-5}{{x}^{2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 38번
# 다항함수의 미분법계산기본
2.OpenStax 1권 · 3.3절 · 38번우리말 풀이

다음 조건을 만족하는 이차다항식을 구하세요. f(1)=5, f′(1)=3, f′′(1)=−6f(1)=5,\ f'(1)=3,\ f''(1)=-6

영어 원문 보기

For the following exercises,

a. evaluate f′(a),{f}^{'}(a), and b. graph the function f(x)f(x) and the tangent line at x=a.x=a.

Find a quadratic polynomial such that f(1)=5,f′(1)=3f(1)=5,{f}^{'}(1)=3 and f′′(1)=−6.{f}^{''}(1)=-6.

답 쓰고 채점
풀이 보기

이차식을 ax2+bx+cax^2+bx+c 로 놓고 f′′f'', f′f', ff 순서로 조건을 대입하면 aa, bb, cc 가 차례로 정해져요.

  1. 1

    구하려는 함수를 f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c 로 놓아요. 미분하면

    f′(x)=2ax+b,f′′(x)=2af'(x)=2ax+b,\qquad f''(x)=2a

  2. 2

    가장 간단한 조건인 f′′(1)=−6f''(1)=-6 부터 써요. f′′f'' 는 상수 2a2a 이므로 2a=−62a=-6, 즉 a=−3a=-3 이에요.

  3. 3

    f′(1)=2a+b=3f'(1)=2a+b=3 이고 a=−3a=-3 이므로 −6+b=3-6+b=3, 즉 b=9b=9 예요.

  4. 4

    f(1)=a+b+c=5f(1)=a+b+c=5 에서 −3+9+c=5-3+9+c=5 이므로 c=−1c=-1 이에요.

    f(x)=−3x2+9x−1f(x)=-3x^2+9x-1

답

f(x)=−3x2+9x−1f(x)=-3x^{2}+9x-1

자주 하는 실수

f′′(1)=−6f''(1)=-6 을 a=−6a=-6 으로 읽어요. f′′=2af''=2a 이므로 a=−3a=-3 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

y=−3x2+9x−1y=-3{x}^{2}+9x-1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3장 복습 · 9번
# 다항함수의 미분법계산보통
3.OpenStax 1권 · 3.4절 · 12번우리말 풀이

어떤 디지털 시계 라디오의 가격 pp(달러)와 수요량 xx 사이의 관계가 p=10−0.001xp=10-0.001x로 주어져요.

a. 수입 함수 R(x)R(x)를 구하세요. b. 한계수입 함수를 구하세요. c. x=2000x=2000과 x=5000x=5000에서의 한계수입을 구하세요.

영어 원문 보기

The price pp (in dollars) and the demand xx for a certain digital clock radio is given by the price–demand function p=10−0.001x.p=10-0.001x.

a. Find the revenue function R(x).R(x). b. Find the marginal revenue function. c. Find the marginal revenue at x=2000x=2000 and 5000.5000.

풀이 보기

수입은 (가격)×(판매량)이고, 한계수입은 수입 함수를 미분한 값(한 개 더 팔 때 늘어나는 수입)이에요.

  1. 1

    (a) 수입은 가격에 판매량을 곱한 값이에요. R(x)=x⋅p=x(10−0.001x)=10x−0.001x2R(x)=x\cdot p=x(10-0.001x)=10x-0.001x^2이에요.

  2. 2

    (b) 한계수입은 수입 함수의 도함수예요. R′(x)=10−0.002xR'(x)=10-0.002x예요.

  3. 3

    (c) 값을 대입해요. R′(2000)=10−0.002⋅2000=6R'(2000)=10-0.002\cdot2000=6, R′(5000)=10−0.002⋅5000=0R'(5000)=10-0.002\cdot5000=0이에요. 즉 2000개를 판매한 시점에서는 한 개 더 팔면 수입이 약 6달러 늘고, 5000개에서는 더 늘지 않아요.

답

(a) R(x)=10x−0.001x2R(x)=10x-0.001x^2 (b) R′(x)=10−0.002xR'(x)=10-0.002x (c) x=2000x=2000에서 66, x=5000x=5000에서 00 (단위: 달러/개)

자주 하는 실수

수입 R(x)R(x)를 구하지 않고 가격 pp를 그대로 미분해 −0.001-0.001이라고 답하는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

a. R(x)=10x−0.001x2R(x)=10x-0.001{x}^{2} b. R′(x)=10−0.002x{R}^{'}(x)=10-0.002x c. $6 per item, $0 per item

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 8번
# 다항함수의 미분법활용기본