빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

다항함수의 미분법

xⁿ의 미분, 상수배·합·차·곱의 미분법으로 다항함수의 도함수를 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.3절 · 8번우리말 풀이

다음 문제에서 각 함수의 f′(x)f'(x) 를 구하세요.

f(x)=x2(2x2+5x3)f(x)=x^2\left(\frac{2}{x^2}+\frac{5}{x^3}\right)

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=x2(2x2+5x3)f(x)={x}^{2}\left(\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{5}{{x}^{3}}\right)

풀이 보기

곱의 미분법을 쓰기 전에 식을 먼저 정리하면 훨씬 간단해져요.

  1. 1

    식부터 정리해요. 곱의 미분법을 바로 써도 되지만, 괄호를 풀면 훨씬 쉬워요. x2x^2 를 각 항에 곱하면 f(x)=x2⋅2x2+x2⋅5x3=2+5x(x≠0)f(x)=x^2\cdot\frac{2}{x^2}+x^2\cdot\frac{5}{x^3}=2+\frac{5}{x}\quad(x\neq 0)

  2. 2

    미분하기 좋은 꼴로 써요. 5x=5x−1\dfrac{5}{x}=5x^{-1} 이므로 f(x)=2+5x−1f(x)=2+5x^{-1} 이에요.

  3. 3

    항별로 미분해요. 상수 22 의 도함수는 00, 5x−15x^{-1} 의 도함수는 5⋅(−1)x−2=−5x−25\cdot(-1)x^{-2}=-5x^{-2} 예요. 그러므로 f′(x)=−5x2f'(x)=-\frac{5}{x^2}

답

f′(x)=−5x2f'(x)=-\dfrac{5}{x^2}

자주 하는 실수

지수가 음수일 때 x−1x^{-1} 의 도함수를 −x0-x^{0} 으로 잘못 계산해요. 지수에서 1을 빼면 x−2x^{-2} 가 돼요.

원본 교재 풀이(영어)

f′(x)=−5x2{f}^{'}(x)=\frac{-5}{{x}^{2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 38번
# 다항함수의 미분법계산기본
2.OpenStax 1권 · 3.3절 · 38번우리말 풀이

다음 조건을 만족하는 이차다항식을 구하세요. f(1)=5, f′(1)=3, f′′(1)=−6f(1)=5,\ f'(1)=3,\ f''(1)=-6

영어 원문 보기

For the following exercises,

a. evaluate f′(a),{f}^{'}(a), and b. graph the function f(x)f(x) and the tangent line at x=a.x=a.

Find a quadratic polynomial such that f(1)=5,f′(1)=3f(1)=5,{f}^{'}(1)=3 and f′′(1)=−6.{f}^{''}(1)=-6.

답 쓰고 채점
풀이 보기

이차식을 ax2+bx+cax^2+bx+c 로 놓고 f′′f'', f′f', ff 순서로 조건을 대입하면 aa, bb, cc 가 차례로 정해져요.

  1. 1

    구하려는 함수를 f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c 로 놓아요. 미분하면

    f′(x)=2ax+b,f′′(x)=2af'(x)=2ax+b,\qquad f''(x)=2a

  2. 2

    가장 간단한 조건인 f′′(1)=−6f''(1)=-6 부터 써요. f′′f'' 는 상수 2a2a 이므로 2a=−62a=-6, 즉 a=−3a=-3 이에요.

  3. 3

    f′(1)=2a+b=3f'(1)=2a+b=3 이고 a=−3a=-3 이므로 −6+b=3-6+b=3, 즉 b=9b=9 예요.

  4. 4

    f(1)=a+b+c=5f(1)=a+b+c=5 에서 −3+9+c=5-3+9+c=5 이므로 c=−1c=-1 이에요.

    f(x)=−3x2+9x−1f(x)=-3x^2+9x-1

답

f(x)=−3x2+9x−1f(x)=-3x^{2}+9x-1

자주 하는 실수

f′′(1)=−6f''(1)=-6 을 a=−6a=-6 으로 읽어요. f′′=2af''=2a 이므로 a=−3a=-3 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

y=−3x2+9x−1y=-3{x}^{2}+9x-1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3장 복습 · 9번
# 다항함수의 미분법계산보통