문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

다항함수의 미분법

xⁿ의 미분, 상수배·합·차·곱의 미분법으로 다항함수의 도함수를 구한다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-1 · 2.4절 · 12번우리말 번역

한 마을이 2000년에 세워졌다. $t$ 년이 지난 뒤 이 마을에서는 출생이 $b(t)$ 명, 사망이 $d(t)$ 명 있었다. 출생이나 사망 외에는 이 마을에 들어오거나 떠나는 사람이 없다(어이쿠). 이 마을의 인구가 증가하는 변화율을 나타내는 식을 쓰세요.

영어 원문 보기

A town is founded in the year 2000. After $t$ years, it has had $b(t)$ births and $d(t)$ deaths. Nobody enters or leaves the town except by birth or death (whoa). Give an expression for the rate the population of the town is growing.

정답·풀이 보기

인구 증가는 인구의 변화율이다. $2000+t$ 년의 인구는 $P(t)=P_0+b(t)-d(t)$ 로 주어진다. 여기서 $P_0$ 는 마을의 처음 인구이다. 그러면 $P'(t)$ 가 우리가 구하는 식이고, $P'(t)=b'(t)-d'(t)$ 이다.

처음 인구가 이 계산에 뚜렷하게 나타나지 않는다는 점은 흥미롭다. 처음 인구는 아마 $b(t)$ 와 $d(t)$ 에 영향을 주겠지만, 이 둘을 알고 있다면 문제에 답하기 위해 $P_0$ 를 알 필요는 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Population growth is rate of change of population. Population in year $2000+t$ is given by $P(t)=P_0+b(t)-d(t)$ , where $P_0$ is the initial population of the town. Then $P'(t)$ is the expression we're looking for, and $P'(t)=b'(t)-d'(t)$ .

It is interesting to note that the initial population does not obviously show up in this calculation. It would probably affect $b(t)$ and $d(t)$ , but if we know these we do not need to know $P_0$ to answer our question.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 12번

# 다항함수의 미분법활용도전자동 분류

2.CLP-1 · 2.4절 · 15번우리말 번역

직사각형이 커지고 있습니다. 시각 $t=0$ 일 때 이 직사각형은 한 변의 길이가 1미터인 정사각형입니다. 가로의 길이는 초당 2미터의 일정한 비율로 증가하고, 세로의 길이는 초당 5미터의 일정한 비율로 증가합니다. 시각 $t>0$ 일 때 이 직사각형의 넓이는 얼마나 빠르게 증가하고 있는지 구하세요.

영어 원문 보기

A rectangle is growing. At time $t=0$ , it is a square with side length 1 metre. Its width increases at a constant rate of 2 metres per second, and its length increases at a constant rate of 5 metres per second. How fast is its area increasing at time $t>0$ ?

답 쓰고 채점

m²/s

정답·풀이 보기

$w(t)$ 와 $l(t)$ 을 각각 직사각형의 가로와 세로의 길이라고 하자. 문제에서 $w'(t)=2$ 이고 $l'(t)=5$ 로 주어졌다. 두 함수의 기울기가 모두 상수이므로 두 함수는 모두 직선이다. 기울기는 주어져 있고 절편은 $w(0)=l(0)=1$ 이다. 따라서 $w(t)=2t+1$ 이고 $l(t)=5t+1$ 이다.

직사각형의 넓이는 $A(t)=w(t)\cdot l(t)$ 이므로, 곱의 미분법을 이용하면 넓이가 증가하는 비율은 $A'(t)=w'(t)l(t)+w(t)l'(t)=2(5t+1)+5(2t+1)=20t+7$ 제곱미터/초이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $w(t)$ and $l(t)$ be the width and length of the rectangle. Given in the problem is that $w'(t)=2$ and $l'(t)=5$ . Since both functions have constant slopes, both must be lines. Their slopes are given, and their intercepts are $w(0)=l(0)=1$ . So, $w(t)=2t+1$ and $l(t)=5t+1$ .

The area of the rectangle is $A(t)=w(t)\cdot l(t)$ , so using the product rule, the rate at which the area is increasing is $A'(t)=w'(t)l(t)+w(t)l'(t)=2(5t+1)+5(2t+1)=20t+7$ square metres per second.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 14번

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