다항함수의 미분법 연습문제

1.OpenStax 1권 · 3.4절 · 12번우리말 풀이

어떤 디지털 시계 라디오의 가격 $p$ (달러)와 수요량 $x$ 사이의 관계가 $p=10-0.001x$ 로 주어져요.

a. 수입 함수 $R(x)$ 를 구하세요. b. 한계수입 함수를 구하세요. c. $x=2000$ 과 $x=5000$ 에서의 한계수입을 구하세요.

영어 원문 보기

The price $p$ (in dollars) and the demand $x$ for a certain digital clock radio is given by the price–demand function $p=10-0.001x.$

a. Find the revenue function $R(x).$ b. Find the marginal revenue function. c. Find the marginal revenue at $x=2000$ and $5000.$

풀이 보기

수입은 (가격)×(판매량)이고, 한계수입은 수입 함수를 미분한 값(한 개 더 팔 때 늘어나는 수입)이에요.

1
(a) 수입은 가격에 판매량을 곱한 값이에요. $R(x)=x\cdot p=x(10-0.001x)=10x-0.001x^2$ 이에요.
2
(b) 한계수입은 수입 함수의 도함수예요. $R'(x)=10-0.002x$ 예요.
3
(c) 값을 대입해요. $R'(2000)=10-0.002\cdot2000=6$ , $R'(5000)=10-0.002\cdot5000=0$ 이에요. 즉 2000개를 판매한 시점에서는 한 개 더 팔면 수입이 약 6달러 늘고, 5000개에서는 더 늘지 않아요.

답

(a) $R(x)=10x-0.001x^2$ (b) $R'(x)=10-0.002x$ (c) $x=2000$ 에서 $6$ , $x=5000$ 에서 $0$ (단위: 달러/개)

자주 하는 실수

수입 $R(x)$ 를 구하지 않고 가격 $p$ 를 그대로 미분해 $-0.001$ 이라고 답하는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $R(x)=10x-0.001{x}^{2}$ b. ${R}^{'}(x)=10-0.002x$ c. $6 per item, $0 per item

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 8번

# 다항함수의 미분법활용기본

2.OpenStax 1권 · 3.3절 · 39번우리말 번역

고속도로에서 교통 흐름을 따라 달리는 자동차가 $t$ 초 동안 $s(t)={t}^{3}-6{t}^{2}+9t$ m 를 이동했다.

a. 자동차의 속도가 0이 되는 시각(초)을 구하세요. b. 속도가 0일 때 자동차의 가속도를 구하세요.

영어 원문 보기

A car driving along a freeway with traffic has traveled $s(t)={t}^{3}-6{t}^{2}+9t$ meters in $t$ seconds.

a. Determine the time in seconds when the velocity of the car is 0. b. Determine the acceleration of the car when the velocity is 0.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 20번

# 다항함수의 미분법활용자동 분류

3.OpenStax 1권 · 3.3절 · 40번우리말 번역

[계산기 사용] 일직선을 따라 헤엄치는 청어가 $t$ 초 동안 $s(t)=\frac{{t}^{2}}{{t}^{2}+2}$ 피트를 이동했다.

청어가 3초 동안 이동했을 때 청어의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A herring swimming along a straight line has traveled $s(t)=\frac{{t}^{2}}{{t}^{2}+2}$ feet in $t$ seconds.

Determine the velocity of the herring when it has traveled 3 seconds.

정답·풀이 보기

$\frac{12}{121}$ or 0.0992 ft/s

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{12}{121}$ or 0.0992 ft/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 36번

# 다항함수의 미분법활용자동 분류

4.OpenStax 1권 · 3.3절 · 41번우리말 번역

대서양에 서식하는 북극 가자미의 개체 수(백만 마리)는 함수 $P(t)=\frac{8t+3}{0.2{t}^{2}+1}$ 로 모델링된다. 여기서 $t$ 는 년 단위로 측정한다.

a. 가자미의 처음 개체 수를 구하세요. b. ${P}^{'}(10)$ 을 구하고 그 결과를 간단히 해석하세요.

영어 원문 보기

The population in millions of arctic flounder in the Atlantic Ocean is modeled by the function $P(t)=\frac{8t+3}{0.2{t}^{2}+1},$ where $t$ is measured in years.

a. Determine the initial flounder population. b. Determine ${P}^{'}(10)$ and briefly interpret the result.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.6절 · 6번

# 다항함수의 미분법활용자동 분류

5.OpenStax 1권 · 3.3절 · 42번우리말 번역

[계산기 사용] 항생제를 주사한 지 $t$ 시간 후 혈류 속 항생제의 농도는 함수 $C(t)=\frac{2{t}^{2}+t}{{t}^{3}+50}$ 으로 주어진다. 여기서 $C$ 는 혈액 1리터당 밀리그램으로 측정한다.

a. $C(t)$ 의 변화율을 구하세요. b. $t=8,12,24$ , 그리고 $36$ 일 때의 변화율을 구하세요. c. 시간이 늘어남에 따라 어떤 일이 일어나는 것으로 보이는지 간단히 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] The concentration of antibiotic in the bloodstream $t$ hours after being injected is given by the function $C(t)=\frac{2{t}^{2}+t}{{t}^{3}+50},$ where $C$ is measured in milligrams per liter of blood.

a. Find the rate of change of $C(t).$ b. Determine the rate of change for $t=8,12,24,$ and $36.$ c. Briefly describe what seems to be occurring as the number of hours increases.

정답·풀이 보기

a. $\frac{-2{t}^{4}-2{t}^{3}+200t+50}{{({t}^{3}+50)}^{2}}$ b. $-0.02395$ mg/L-hr, −0.01344 mg/L-hr, −0.003566 mg/L-hr, −0.001579 mg/L-hr c. 시간이 지날수록 혈류 속 약물 농도가 감소하는 비율이 0으로 느려진다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $\frac{-2{t}^{4}-2{t}^{3}+200t+50}{{({t}^{3}+50)}^{2}}$ b. $-0.02395$ mg/L-hr, −0.01344 mg/L-hr, −0.003566 mg/L-hr, −0.001579 mg/L-hr c. The rate at which the concentration of drug in the bloodstream decreases is slowing to 0 as time increases.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 30번

# 다항함수의 미분법활용자동 분류

6.OpenStax 1권 · 3.3절 · 43번우리말 번역

한 출판사의 비용 함수가 $C(x)=\frac{{x}^{3}+2x+3}{{x}^{2}}$ 으로 주어진다. 여기서 x 는 책의 부수(단위: 천 부)이고 C 는 책 한 권당 비용(단위: 달러)이다. ${C}^{'}(2)$ 의 값을 구하고 그 의미를 설명하세요.

영어 원문 보기

A book publisher has a cost function given by $C(x)=\frac{{x}^{3}+2x+3}{{x}^{2}},$ where x is the number of copies of a book in thousands and C is the cost, per book, measured in dollars. Evaluate ${C}^{'}(2)$ and explain its meaning.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 15번

# 다항함수의 미분법활용자동 분류

7.OpenStax 1권 · 3.3절 · 44번우리말 번역

[계산기 사용] 뉴턴의 만유인력 법칙에 따르면, 질량이 각각 상수 ${m}_{1}$ , ${m}_{2}$ 인 두 물체 사이의 힘 $F$ 는 공식 $F=\frac{G{m}_{1}{m}_{2}}{{d}^{2}}$ 으로 주어진다. 여기서 $G$ 는 중력 상수이고 $d$ 는 두 물체 사이의 거리이다.

a. $G,{m}_{1},\text{및}\,{m}_{2}$ 가 상수라고 가정합니다. 거리 $d$ 에 대한 힘 $F$ 의 변화율을 구하세요. b. 중력 상수 $G=6.67\,\times \,{10}^{-11}$ ${\text{Nm}}^{2}/{\text{kg}}^{2}$ 일 때, 10미터 떨어져 있고 질량이 각각 1000킬로그램인 두 물체에 대하여 힘 $F$ 의 변화율을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] According to Newton’s law of universal gravitation, the force $F$ between two bodies of constant mass ${m}_{1}$ and ${m}_{2}$ is given by the formula $F=\frac{G{m}_{1}{m}_{2}}{{d}^{2}},$ where $G$ is the gravitational constant and $d$ is the distance between the bodies.

a. Suppose that $G,{m}_{1},\text{and}\,{m}_{2}$ are constants. Find the rate of change of force $F$ with respect to distance $d.$ b. Find the rate of change of force $F$ with gravitational constant $G=6.67\,\times \,{10}^{-11}$ ${\text{Nm}}^{2}/{\text{kg}}^{2},$ on two bodies 10 meters apart, each with a mass of 1000 kilograms.

정답·풀이 보기

a. $F'(d)=\frac{-2G{m}_{1}{m}_{2}}{{d}^{3}}$ b. $-1.33\,\times \,{10}^{-7}$ N/m

원본 교재 풀이(영어)

a. $F'(d)=\frac{-2G{m}_{1}{m}_{2}}{{d}^{3}}$ b. $-1.33\,\times \,{10}^{-7}$ N/m

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 20번

# 다항함수의 미분법활용자동 분류

8.OpenStax 1권 · 3장 복습 · 17번우리말 번역

여러 차수의 다음 도함수를 구하세요.

$y={4}^{x}+{x}^{2}\sin (x)$ 의 이계도함수

영어 원문 보기

Find the following derivatives of various orders.

Second derivative of $y={4}^{x}+{x}^{2}\sin (x)$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

${4}^{x}{(\ln 4)}^{2}+2\sin x+4x\cos x-{x}^{2}\sin x$

원본 교재 풀이(영어)

${4}^{x}{(\ln 4)}^{2}+2\sin x+4x\cos x-{x}^{2}\sin x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 40번

# 다항함수의 미분법활용자동 분류

9.OpenStax 1권 · 3장 복습 · 25번우리말 번역

83시간째 풍속의 미분계수를 어림하세요. 물리적 의미는 무엇입니까?

영어 원문 보기

Estimate the derivative of the wind speed at hour 83. What is the physical meaning?

정답·풀이 보기

$-7.5$ . 풍속은 시간당 7.5 mph의 비율로 감소하고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

$-7.5.$ The wind speed is decreasing at a rate of 7.5 mph/hr

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 34번

# 다항함수의 미분법활용자동 분류

10.CLP-1 · 2.4절 · 12번우리말 번역

한 마을이 2000년에 세워졌다. $t$ 년이 지난 뒤 이 마을에서는 출생이 $b(t)$ 명, 사망이 $d(t)$ 명 있었다. 출생이나 사망 외에는 이 마을에 들어오거나 떠나는 사람이 없다(어이쿠). 이 마을의 인구가 증가하는 변화율을 나타내는 식을 쓰세요.

영어 원문 보기

A town is founded in the year 2000. After $t$ years, it has had $b(t)$ births and $d(t)$ deaths. Nobody enters or leaves the town except by birth or death (whoa). Give an expression for the rate the population of the town is growing.

정답·풀이 보기

인구 증가는 인구의 변화율이다. $2000+t$ 년의 인구는 $P(t)=P_0+b(t)-d(t)$ 로 주어진다. 여기서 $P_0$ 는 마을의 처음 인구이다. 그러면 $P'(t)$ 가 우리가 구하는 식이고, $P'(t)=b'(t)-d'(t)$ 이다.

처음 인구가 이 계산에 뚜렷하게 나타나지 않는다는 점은 흥미롭다. 처음 인구는 아마 $b(t)$ 와 $d(t)$ 에 영향을 주겠지만, 이 둘을 알고 있다면 문제에 답하기 위해 $P_0$ 를 알 필요는 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Population growth is rate of change of population. Population in year $2000+t$ is given by $P(t)=P_0+b(t)-d(t)$ , where $P_0$ is the initial population of the town. Then $P'(t)$ is the expression we're looking for, and $P'(t)=b'(t)-d'(t)$ .

It is interesting to note that the initial population does not obviously show up in this calculation. It would probably affect $b(t)$ and $d(t)$ , but if we know these we do not need to know $P_0$ to answer our question.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 12번

# 다항함수의 미분법활용도전자동 분류

11.CLP-1 · 2.4절 · 15번우리말 번역

직사각형이 커지고 있습니다. 시각 $t=0$ 일 때 이 직사각형은 한 변의 길이가 1미터인 정사각형입니다. 가로의 길이는 초당 2미터의 일정한 비율로 증가하고, 세로의 길이는 초당 5미터의 일정한 비율로 증가합니다. 시각 $t>0$ 일 때 이 직사각형의 넓이는 얼마나 빠르게 증가하고 있는지 구하세요.

영어 원문 보기

A rectangle is growing. At time $t=0$ , it is a square with side length 1 metre. Its width increases at a constant rate of 2 metres per second, and its length increases at a constant rate of 5 metres per second. How fast is its area increasing at time $t>0$ ?

답 쓰고 채점

m²/s

정답·풀이 보기

$w(t)$ 와 $l(t)$ 을 각각 직사각형의 가로와 세로의 길이라고 하자. 문제에서 $w'(t)=2$ 이고 $l'(t)=5$ 로 주어졌다. 두 함수의 기울기가 모두 상수이므로 두 함수는 모두 직선이다. 기울기는 주어져 있고 절편은 $w(0)=l(0)=1$ 이다. 따라서 $w(t)=2t+1$ 이고 $l(t)=5t+1$ 이다.

직사각형의 넓이는 $A(t)=w(t)\cdot l(t)$ 이므로, 곱의 미분법을 이용하면 넓이가 증가하는 비율은 $A'(t)=w'(t)l(t)+w(t)l'(t)=2(5t+1)+5(2t+1)=20t+7$ 제곱미터/초이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $w(t)$ and $l(t)$ be the width and length of the rectangle. Given in the problem is that $w'(t)=2$ and $l'(t)=5$ . Since both functions have constant slopes, both must be lines. Their slopes are given, and their intercepts are $w(0)=l(0)=1$ . So, $w(t)=2t+1$ and $l(t)=5t+1$ .

The area of the rectangle is $A(t)=w(t)\cdot l(t)$ , so using the product rule, the rate at which the area is increasing is $A'(t)=w'(t)l(t)+w(t)l'(t)=2(5t+1)+5(2t+1)=20t+7$ square metres per second.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 14번

# 다항함수의 미분법활용도전자동 분류