다항함수의 미분법 연습문제

1.CLP-1 · 2.4절 · 13번우리말 번역

곡선 $y=3x^2$ 위의 점 중에서 접선이 $(2,9)$ 를 지나는 점을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

Find all points on the curve $y=3x^2$ where the tangent line passes through $(2,9)$ .

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이미 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2=2x$ 임을 알고 있다. 따라서 $y=3x^2$ 의 $x=a$ 에서의 기울기는 $6a$ 이다. $y=3x^2$ 의 $x=a, y=3a^2$ 에서의 접선은 $y-3a^2=6a(x-a)$ 이다. 이 접선이 $(2,9)$ 를 지나는 경우는 다음과 같다.

$\begin{aligned} 9-3a^2&=6a(2-a)\\ 3a^2-12a+9&=0\\ a^2-4a+3&=0\\ (a-3)(a-1)&=0\\ \implies~~a&=1,3 \end{aligned}$

구하는 점은 $(1,3),\ (3,27)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We already know that $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2=2x$ . So the slope of $y=3x^2$ at $x=a$ is $6a$ . The tangent line to $y=3x^2$ at $x=a, y=3a^2$ is $y-3a^2=6a(x-a)$ . This tangent line passes through $(2,9)$ if

$\begin{aligned} 9-3a^2&=6a(2-a)\\ 3a^2-12a+9&=0\\ a^2-4a+3&=0\\ (a-3)(a-1)&=0\\ \implies~~a&=1,3 \end{aligned}$

The points are $(1,3),\ (3,27)$ .

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# 다항함수의 미분법계산도전자동 분류

2.CLP-1 · 2.4절 · 14번우리말 번역

극한을 미분계수로 해석하여 $\displaystyle \lim_{y\rightarrow 0}\left( \dfrac{\sqrt{100180+y}-\sqrt{100180}}{y}\right)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \lim_{y\rightarrow 0}\left( \dfrac{\sqrt{100180+y}-\sqrt{100180}}{y}\right)$ by interpreting the limit as a derivative.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

이 극한은 함수 $f(x)=\sqrt{x}$ 의 $x=100180$ 에서의 미분계수를 나타낸다. $f(x)$ 의 도함수가 $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ 이므로, $x=100180$ 에서의 값은 정확히 $\dfrac{1}{2\sqrt{100180}}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This limit represents the derivative computed at $x=100180$ of the function $f(x)=\sqrt{x}$ . Since the derivative of $f(x)$ is $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , then its value at $x=100180$ is exactly $\dfrac{1}{2\sqrt{100180}}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 7번

# 다항함수의 미분법계산도전자동 분류

3.CLP-1 · 2.4절 · 16번우리말 번역

어떤 미분가능한 함수 $g(x)$ 에 대해 $f(x)=x^2g(x)$ 라 하자. $f'(0)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=x^2g(x)$ for some differentiable function $g(x)$ . What is $f'(0)$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

곱의 미분법을 쓰면 $f'(x)=(2x)g(x)+x^2g'(x)$ 이므로 $f'(0)=0\cdot g(x)+0\cdot g'(x)=0$ 이다. ( $g$ 가 미분가능하므로 $g'$ 가 존재한다.)

원본 교재 풀이(영어)

Using the product rule, $f'(x)=(2x)g(x)+x^2g'(x)$ , so $f'(0)=0\cdot g(x)+0\cdot g'(x)=0$ . (Since $g$ is differentiable, $g'$ exists.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 13번

# 다항함수의 미분법계산도전자동 분류

4.CLP-1 · 2.6절 · 17번우리말 번역

두 곡선 $y = x^2$ 과 $y = x^2 - 2x + 2$ 에 (서로 다른 점에서) 모두 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find an equation of a line that is tangent to both of the curves $y = x^2$ and $y = x^2 - 2x + 2$ (at different points).

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

공통접선의 기울기를 $m$ , $y=x^2$ 과의 접점을 $(x_1,y_1)$ , $y=x^2-2x+2$ 와의 접점을 $(x_2,y_2)$ 라 하자. 그러면 다음이 성립해야 한다. $y_1=x_1^2\qquad y_2=x_2^2-2x_2+2\qquad m=2x_1=2x_2-2=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ “ $m$ ” 에 관한 등식들로부터 $x_1=\frac{m}{2}$ , $x_2=\frac{m}{2}+1$ 이고

$\begin{aligned} m&=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=y_2-y_1\\ &=x_2^2-2x_2+2-x_1^2\\ \\& =(x_2-x_1)(x_2+x_1)-2(x_2-1)\\ &=\left(\frac{m}{2}+1-\frac{m}{2}\right)\left(\frac{m}{2}+1+\frac{m}{2}\right) -2\left(\frac{m}{2}+1-1\right) \\ &=(1)(m+1)-2\frac{m}{2}\\ &=1\\ \text{따라서,}~~~m&=1,\qquad x_1=\tfrac{1}{2},\qquad y_1=\frac{1}{4},\qquad x_2=\frac{3}{2},\qquad y_2=\frac{9}{4}-3+2=\frac{5}{4} \end{aligned}$

공통접선의 방정식은 $y=x-\frac{1}{4}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Denote by $m$ the slope of the common tangent, by $(x_1,y_1)$ the point of tangency with $y=x^2$ , and by $(x_2,y_2)$ the point of tangency with $y=x^2-2x+2$ . Then we must have $y_1=x_1^2\qquad y_2=x_2^2-2x_2+2\qquad m=2x_1=2x_2-2=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ From the “ $m$ ” equations we get $x_1=\frac{m}{2}$ , $x_2=\frac{m}{2}+1$ and

$\begin{aligned} m&=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=y_2-y_1\\ &=x_2^2-2x_2+2-x_1^2\\ \\& =(x_2-x_1)(x_2+x_1)-2(x_2-1)\\ &=\left(\frac{m}{2}+1-\frac{m}{2}\right)\left(\frac{m}{2}+1+\frac{m}{2}\right) -2\left(\frac{m}{2}+1-1\right) \\ &=(1)(m+1)-2\frac{m}{2}\\ &=1\\ \text{So,}~~~m&=1,\qquad x_1=\tfrac{1}{2},\qquad y_1=\frac{1}{4},\qquad x_2=\frac{3}{2},\qquad y_2=\frac{9}{4}-3+2=\frac{5}{4} \end{aligned}$

An equation of the common tangent is $y=x-\frac{1}{4}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.6절 · 1번

# 다항함수의 미분법계산도전자동 분류

5.CLP-1 · 2.6절 · 19번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x\to 2}\left( \dfrac{x^{2015}-2^{2015}}{x-2}\right)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \lim_{x\to 2}\left( \dfrac{x^{2015}-2^{2015}}{x-2}\right).$

정답·풀이 보기

이 극한은 함수 $f(x)=x^{2015}$ 의 $x=2$ 에서의 미분계수를 나타낸다. 이는 $a=2$ , $f(x)=x^{2015}$ 에 미분계수의 정의를 그대로 적용하면 확인할 수 있다.

$\begin{aligned} \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}\right|_{a} &= \lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\ \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{x^{2015}\}\right|_{2} &=\lim_{x\to2} \frac{x^{2015}-2^{2015}}{x-2} \end{aligned}$

$f(x)$ 의 도함수는 $2015\cdot x^{2014}$ 이므로 $x=2$ 에서의 값은 정확히 $2015\cdot 2^{2014}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This limit represents the derivative computed at $x=2$ of the function $f(x)=x^{2015}$ . To see this, simply use the definition of the derivative at $a=2$ with $f(x)=x^{2015}$ :

$\begin{aligned} \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}\right|_{a} &= \lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\ \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{x^{2015}\}\right|_{2} &=\lim_{x\to2} \frac{x^{2015}-2^{2015}}{x-2} \end{aligned}$

Since the derivative of $f(x)$ is $2015\cdot x^{2014}$ , then its value at $x=2$ is exactly $2015\cdot 2^{2014}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.6절 · 18번

# 다항함수의 미분법계산도전자동 분류