롤의 정리와 평균값 정리 연습문제

1.CLP-1 · 2.13절 · 4번우리말 번역

다음 성질을 만족하는 함수 $f(x)$ 를 하나 제시하세요.

$f(x)$ 는 열린구간 $0<x<10$ 에서 미분가능하다.
$f(0)=0$ , $f(10)=10$

그러나 모든 $c \in (0,10)$ 에 대해 $f'(c)=0$ 이다.

영어 원문 보기

Give a function $f(x)$ with the properties that:

$f(x)$ is differentiable on the open interval $0<x<10$
$f(0)=0$ , $f(10)=10$

but for all $c \in (0,10)$ , $f'(c)=0$ .

정답·풀이 보기

$f(x)$ 가 모든 $x \in (0,10)$ 에서 미분가능하므로 $f(x)$ 는 모든 $x \in (0,10)$ 에서 연속이기도 하다. 만약 $f(x)$ 가 닫힌구간 $[0,10]$ 에서 연속이라면 평균값 정리에 의해 어떤 $c \in (0,10)$ 에 대해 $f'(x)=\dfrac{f(10)-f(0)}{10-0}=1$ 이 보장된다. 그러나 이 경우는 그렇지 않다. 따라서 $f(x)$ 는 모든 $x \in (0,10)$ 에서는 연속이지만, 모든 $x \in [0,10]$ 에서는 연속이 아니어야 한다.

$c \in (0,10)$ 에서 $f'(c)=0$ 이므로 $f$ 는 그 구간에서 상수함수이다. 따라서 $f(x)$ 는 다음과 같은 함수이다.

여기서 상수함수의 높이는 어떤 값이어도 된다.

따라서 가능한 답 중 하나는 $f(x) = \left\{\begin{array}{lr} 0&x \neq 10\\ 10&x=10 \end{array}\right.$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(x)$ is differentiable for all $x \in (0,10)$ , then $f(x)$ is also continuous for all $x \in (0,10)$ . If $f(x)$ were continuous on the closed interval $[0,10]$ , then the MVT would guarantee $f'(x)=\dfrac{f(10)-f(0)}{10-0}=1$ for some $c \in (0,10)$ ; however, this is not the case. So, it must be that $f(x)$ is continuous for all $x \in (0,10)$ , but not for all $x \in [0,10]$ .

Since $f'(c)=0$ for $c \in (0,10)$ , that means $f$ is constant on that interval. So, $f(x)$ is a function like this:

where the height of the constant function can be anything.

So, one possible answer is $f(x) = \left\{\begin{array}{lr} 0&x \neq 10\\ 10&x=10 \end{array}\right.$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 5번

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