빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

롤의 정리와 평균값 정리

평균변화율과 같은 순간변화율을 갖는 점이 있음을 이용해 값을 구하거나 보인다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

43문제 · 1 / 3쪽

1.OpenStax 1권 · 4.4절 · 10번우리말 풀이

다음 문제에서 계산기로 함수의 그래프를 그리고, 양 끝점을 잇는 할선을 그려 보세요. f′(c)(b−a)=f(b)−f(a)f'(c)(b-a)=f(b)-f(a) 를 만족하는 점 cc 의 개수를 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 [−1,1][-1,1] 에서 y=3x3+2x+1y=3x^3+2x+1

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the functions on a calculator and draw the secant line that connects the endpoints. Estimate the number of points cc such that f′(c)(b−a)=f(b)−f(a).{f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a).

[T] y=3x3+2x+1y=3{x}^{3}+2x+1 over [−1,1][-1,1]

답 쓰고 채점
점
풀이 보기

평균값 정리는 구간의 평균변화율과 같은 기울기(도함수 값)를 갖는 점 cc 가 있다는 정리예요. 방정식 f′(c)=평균변화율f'(c)=\text{평균변화율} 을 풀면 개수까지 알 수 있어요.

  1. 1

    평균변화율을 구해요. f(1)=3+2+1=6f(1)=3+2+1=6, f(−1)=−3−2+1=−4f(-1)=-3-2+1=-4 이므로 f(1)−f(−1)1−(−1)=6−(−4)2=5\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=\frac{6-(-4)}{2}=5 즉 양 끝점을 잇는 할선의 기울기는 55 예요.

  2. 2

    도함수가 5가 되는 곳을 찾아요. f′(x)=9x2+2f'(x)=9x^2+2 이므로 f′(c)=5f'(c)=5 를 풀면 9c2+2=5 ⇒ c2=13 ⇒ c=±13≈±0.5779c^2+2=5\ \Rightarrow\ c^2=\tfrac13\ \Rightarrow\ c=\pm\frac{1}{\sqrt3}\approx\pm0.577

  3. 3

    구간 안에 있는지 확인해요. 두 값 모두 −1<c<1-1<c<1 이므로 조건에 맞아요. 따라서 점 cc 는 모두 2개예요. 그래프로 보면 할선과 나란한 접선을 곡선의 왼쪽과 오른쪽에서 각각 한 번씩 그을 수 있다는 뜻이에요.

답

22개 (c=±13c=\pm\dfrac{1}{\sqrt3})

자주 하는 실수

평균값 정리의 cc 는 구간 안의 점이어야 해요. 방정식의 해가 구간 밖이면 버려야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

2 points

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 20번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산보통
2.OpenStax 1권 · 4.4절 · 1번우리말 번역

평균값 정리를 적용하려면 왜 연속성이 필요한지 설명하세요. 반례를 만드세요.

영어 원문 보기

Why do you need continuity to apply the Mean Value Theorem? Construct a counterexample.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 6번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.OpenStax 1권 · 4.4절 · 2번우리말 번역

평균값 정리를 적용하려면 왜 미분가능성이 필요한지 설명하세요. 반례를 찾으세요.

영어 원문 보기

Why do you need differentiability to apply the Mean Value Theorem? Find a counterexample.

정답·풀이 보기

한 가지 예는 f(x)=∣x∣+3, −2≤x≤2f(x)=|x|+3,\,-2\le x\le 2 이다

원본 교재 풀이(영어)

One example is f(x)=∣x∣+3, −2≤x≤2f(x)=|x|+3,\,-2\le x\le 2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 4번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.OpenStax 1권 · 4.4절 · 3번우리말 번역

롤의 정리와 평균값 정리는 언제 서로 동치인가요?

영어 원문 보기

When are Rolle’s theorem and the Mean Value Theorem equivalent?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 4번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.OpenStax 1권 · 4.4절 · 14번우리말 번역

다음 연습문제에서, f(2)−f(0)=f′(c)(2−0)f(2)-f(0)={f}^{'}(c)(2-0) 을 만족하면서 평균값 정리가 예측하는 모든 점 0<c<20<c<2 를 구하세요.

f(x)=x3f(x)={x}^{3}

영어 원문 보기

For the following exercises, find all points 0<c<20<c<2 predicted by the Mean Value Theorem satisfying f(2)−f(0)=f′(c)(2−0).f(2)-f(0)={f}^{'}(c)(2-0).

f(x)=x3f(x)={x}^{3}

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

c=233c=\frac{2\sqrt{3}}{3}

원본 교재 풀이(영어)

c=233c=\frac{2\sqrt{3}}{3}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 16번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.OpenStax 1권 · 4.4절 · 15번우리말 번역

다음 연습문제에서 f(2)−f(0)=f′(c)(2−0)f(2)-f(0)={f}^{'}(c)(2-0) 을 만족하는, 평균값 정리가 보장하는 모든 점 0<c<20<c<2 를 구하세요.

f(x)=sin⁡(πx)f(x)=\sin (\pi x)

영어 원문 보기

For the following exercises, find all points 0<c<20<c<2 predicted by the Mean Value Theorem satisfying f(2)−f(0)=f′(c)(2−0).f(2)-f(0)={f}^{'}(c)(2-0).

f(x)=sin⁡(πx)f(x)=\sin (\pi x)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 24번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.OpenStax 1권 · 4.4절 · 16번우리말 번역

다음 연습문제에서 f(2)−f(0)=f′(c)(2−0)f(2)-f(0)={f}^{'}(c)(2-0) 을 만족하는, 평균값 정리가 보장하는 모든 점 0<c<20<c<2 를 구하세요.

f(x)=cos⁡(2πx)f(x)=\cos (2\pi x)

영어 원문 보기

For the following exercises, find all points 0<c<20<c<2 predicted by the Mean Value Theorem satisfying f(2)−f(0)=f′(c)(2−0).f(2)-f(0)={f}^{'}(c)(2-0).

f(x)=cos⁡(2πx)f(x)=\cos (2\pi x)

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

c=12,1,32c=\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}

원본 교재 풀이(영어)

c=12,1,32c=\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 20번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.OpenStax 1권 · 4.4절 · 17번우리말 번역

다음 연습문제에서 f(2)−f(0)=f′(c)(2−0)f(2)-f(0)={f}^{'}(c)(2-0) 을 만족하는, 평균값 정리가 보장하는 모든 점 0<c<20<c<2 를 구하세요.

f(x)=1+x+x2f(x)=1+x+{x}^{2}

영어 원문 보기

For the following exercises, find all points 0<c<20<c<2 predicted by the Mean Value Theorem satisfying f(2)−f(0)=f′(c)(2−0).f(2)-f(0)={f}^{'}(c)(2-0).

f(x)=1+x+x2f(x)=1+x+{x}^{2}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 28번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
9.OpenStax 1권 · 4.4절 · 18번우리말 번역

다음 연습문제에서 f(2)−f(0)=f′(c)(2−0)f(2)-f(0)={f}^{'}(c)(2-0) 을 만족하는, 평균값 정리가 보장하는 모든 점 0<c<20<c<2 를 구하세요.

f(x)=(x−1)10f(x)={(x-1)}^{10}

영어 원문 보기

For the following exercises, find all points 0<c<20<c<2 predicted by the Mean Value Theorem satisfying f(2)−f(0)=f′(c)(2−0).f(2)-f(0)={f}^{'}(c)(2-0).

f(x)=(x−1)10f(x)={(x-1)}^{10}

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

c=1c=1

원본 교재 풀이(영어)

c=1c=1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 46번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
10.OpenStax 1권 · 4.4절 · 19번우리말 번역

다음 연습문제에서 f(2)−f(0)=f′(c)(2−0)f(2)-f(0)={f}^{'}(c)(2-0) 을 만족하는, 평균값 정리가 보장하는 모든 점 0<c<20<c<2 를 구하세요.

f(x)=(x−1)9f(x)={(x-1)}^{9}

영어 원문 보기

For the following exercises, find all points 0<c<20<c<2 predicted by the Mean Value Theorem satisfying f(2)−f(0)=f′(c)(2−0).f(2)-f(0)={f}^{'}(c)(2-0).

f(x)=(x−1)9f(x)={(x-1)}^{9}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 9번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
11.OpenStax 1권 · 4.4절 · 21번우리말 번역

다음 연습문제에서 f(1)−f(−1)=f′(c)(2)f(1)-f(-1)={f}^{'}(c)(2) 를 만족하는 cc 가 존재하지 않음을 보이세요. 구간 [−1,1][-1,1] 에서 평균값 정리가 적용되지 않는 이유를 설명하세요.

f(x)=1x2f(x)=\frac{1}{{x}^{2}}

영어 원문 보기

For the following exercises, show there is no cc such that f(1)−f(−1)=f′(c)(2).f(1)-f(-1)={f}^{'}(c)(2). Explain why the Mean Value Theorem does not apply over the interval [−1,1].[-1,1].

f(x)=1x2f(x)=\frac{1}{{x}^{2}}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 22번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
12.OpenStax 1권 · 4.4절 · 22번우리말 번역

다음 연습문제에서 f(1)−f(−1)=f′(c)(2)f(1)-f(-1)={f}^{'}(c)(2) 를 만족하는 cc 가 존재하지 않음을 보이세요. 구간 [−1,1][-1,1] 에서 평균값 정리가 적용되지 않는 이유를 설명하세요.

f(x)=∣x∣f(x)=\sqrt{|x|}

영어 원문 보기

For the following exercises, show there is no cc such that f(1)−f(−1)=f′(c)(2).f(1)-f(-1)={f}^{'}(c)(2). Explain why the Mean Value Theorem does not apply over the interval [−1,1].[-1,1].

f(x)=∣x∣f(x)=\sqrt{|x|}

정답·풀이 보기

미분가능하지 않다

원본 교재 풀이(영어)

Not differentiable

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 24번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
13.OpenStax 1권 · 4.4절 · 23번우리말 번역

f(x)=⌊x⌋f(x)=\lfloor x\rfloor (힌트: 이것을 바닥 함수라고 하며, f(x)f(x) 는 x.)x.) 보다 작거나 같은 가장 큰 정수가 되도록 정의된다.

영어 원문 보기

f(x)=⌊x⌋f(x)=\lfloor x\rfloor (Hint: This is called the floor function and it is defined so that f(x)f(x) is the largest integer less than or equal to x.)x.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 8번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
14.OpenStax 1권 · 4.4절 · 36번우리말 번역

방정식 y=x2+bx+cy={x}^{2}+bx+c 가 근을 정확히 하나(중근) 가지기 위한 조건을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the conditions for exactly one root (double root) for the equation y=x2+bx+cy={x}^{2}+bx+c

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

b=±2cb=\pm 2\sqrt{c}

원본 교재 풀이(영어)

b=±2cb=\pm 2\sqrt{c}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 14번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
15.OpenStax 1권 · 4.4절 · 37번우리말 번역

y=ex−by={e}^{x}-b 가 하나의 근을 갖기 위한 조건을 구하세요. 근이 둘 이상일 수 있나요?

영어 원문 보기

Find the conditions for y=ex−by={e}^{x}-b to have one root. Is it possible to have more than one root?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 24번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
16.APEX · 3.2절 · 3번우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 f(x)f(x) 와 구간 [a,b][a,b] 가 주어져 있습니다. 구간 [a,b][a,b] 에서 ff 에 롤의 정리를 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있다면 f ′(c)=0f\,'(c)=0 인 cc 를 (a,b)(a,b) 에서 구하세요.

구간 [−1,1][-1,1] 에서 f(x)=6f(x) = 6.

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function f(x)f(x) and interval [a,b][a,b] are given. Check if Rolle's Theorem can be applied to ff on [a,b][a,b]; if so, find cc in (a,b)(a,b) such that f ′(c)=0f\,'(c)=0.

f(x)=6f(x) = 6 on [−1,1][-1,1].

정답·풀이 보기

[−1,1][-1,1] 안의 모든 cc 가 조건을 만족한다.

원본 교재 풀이(영어)

Any cc in [−1,1][-1,1] is valid.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 4번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
17.APEX · 3.2절 · 4번우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 f(x)f(x) 와 구간 [a,b][a,b] 가 주어져 있습니다. 구간 [a,b][a,b] 에서 ff 에 롤의 정리를 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있다면 f ′(c)=0f\,'(c)=0 인 cc 를 (a,b)(a,b) 에서 구하세요.

구간 [−1,1][-1,1] 에서 f(x)=6xf(x) = 6x.

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function f(x)f(x) and interval [a,b][a,b] are given. Check if Rolle's Theorem can be applied to ff on [a,b][a,b]; if so, find cc in (a,b)(a,b) such that f ′(c)=0f\,'(c)=0.

f(x)=6xf(x) = 6x on [−1,1][-1,1].

정답·풀이 보기

롤의 정리를 적용할 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Rolle's Thm. does not apply.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.2절 · 2번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
18.APEX · 3.2절 · 5번우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 f(x)f(x) 와 구간 [a,b][a,b] 가 주어져 있습니다. 구간 [a,b][a,b] 에서 ff 에 롤의 정리를 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있다면 f ′(c)=0f\,'(c)=0 인 cc 를 (a,b)(a,b) 에서 구하세요.

구간 [−3,2][-3,2] 에서 f(x)=x2+x−6f(x) = x^2+x-6.

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function f(x)f(x) and interval [a,b][a,b] are given. Check if Rolle's Theorem can be applied to ff on [a,b][a,b]; if so, find cc in (a,b)(a,b) such that f ′(c)=0f\,'(c)=0.

f(x)=x2+x−6f(x) = x^2+x-6 on [−3,2][-3,2].

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

c=−1/2c=-1/2

원본 교재 풀이(영어)

c=−1/2c=-1/2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 8번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
19.APEX · 3.2절 · 6번우리말 번역

연습문제 3–10번에서 함수 f(x)f(x) 와 구간 [a,b][a,b] 가 주어져 있습니다. [a,b][a,b] 에서 ff 에 롤의 정리를 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있으면 f ′(c)=0f\,'(c)=0 인 cc 를 (a,b)(a,b) 에서 구하세요.

f(x)=x2+x−2f(x) = x^2+x-2, 구간 [−3,2][-3,2].

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function f(x)f(x) and interval [a,b][a,b] are given. Check if Rolle's Theorem can be applied to ff on [a,b][a,b]; if so, find cc in (a,b)(a,b) such that f ′(c)=0f\,'(c)=0.

f(x)=x2+x−2f(x) = x^2+x-2 on [−3,2][-3,2].

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

c=−1/2c=-1/2

원본 교재 풀이(영어)

c=−1/2c=-1/2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 32번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
20.APEX · 3.2절 · 7번우리말 번역

연습문제 3–10번에서 함수 f(x)f(x) 와 구간 [a,b][a,b] 가 주어져 있습니다. [a,b][a,b] 에서 ff 에 롤의 정리를 적용할 수 있는지 확인하고, 적용할 수 있으면 f ′(c)=0f\,'(c)=0 인 cc 를 (a,b)(a,b) 에서 구하세요.

f(x)=x2+xf(x) = x^2+x, 구간 [−2,2][-2,2].

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function f(x)f(x) and interval [a,b][a,b] are given. Check if Rolle's Theorem can be applied to ff on [a,b][a,b]; if so, find cc in (a,b)(a,b) such that f ′(c)=0f\,'(c)=0.

f(x)=x2+xf(x) = x^2+x on [−2,2][-2,2].

정답·풀이 보기

롤의 정리를 적용할 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Rolle's Thm. does not apply.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 2번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)