문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

롤의 정리와 평균값 정리

평균변화율과 같은 순간변화율을 갖는 점이 있음을 이용해 값을 구하거나 보인다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

5문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-1 · 2.13절 · 1번우리말 번역

어떤 순록의 최고 속력이 시속 70 km이고, 1년 동안 5000 km를 이동한다고 합시다. 이 순록이 이동하는 동안 걸은 시간에 대해 무엇을 알 수 있나요?

영어 원문 보기

Suppose a particular caribou has a top speed of 70 kph, and in one year it migrates 5000 km. What do you know about the amount of time the caribou spent travelling during its migration?

정답·풀이 보기

순록의 최고 속력을 알고 있으므로, 이를 이용하여 순록이 이동하는 데 쓴 시간의 가능한 최솟값을 구할 수 있다. 순록이 시속 70 km로 이동하면 5000킬로미터를 이동하는 데 $(5000 \mathrm{km})\left(\dfrac{1 \mathrm{hr}}{70 \mathrm{km}}\right) \approx 71.4 \mathrm{hrs}$ 가 걸린다. 순록이 내내 전속력으로 달리지는 않았을 것이므로 아마 그보다 더 오래 걸렸겠지만, 순록이 이동하는 데 적어도 약 71.4시간을 썼다는 것만은 확실하게 말할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

We know the top speed of the caribou, so we can use this to give the minimum possible number of hours the caribou spent travelling during its migration. If the caribou travels at 70kph, it will take $(5000 \mathrm{km})\left(\dfrac{1 \mathrm{hr}}{70 \mathrm{km}}\right) \approx 71.4 \mathrm{hrs}$ to travel 5000 kilometres. Probably the caribou wasn't sprinting the whole time, so probably it took it longer than that, but we can only say for sure that the caribou spent at least about 71.4 hours migrating.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 8번

# 롤의 정리와 평균값 정리활용기본자동 분류

2.CLP-1 · 2.13절 · 2번우리말 번역

이동하는 캐나다두루미 한 마리가 하루 동안 240 킬로미터를 날았다고 하자. 평균값 정리는 그날 이 두루미의 속력에 대해 무엇을 말해 주나요?

영어 원문 보기

Suppose a migrating sandhill crane flew 240 kilometres in one day. What does the mean value theorem tell you about its speed during that day?

정답·풀이 보기

$f(x)$ 가 시간 $x$ (단위: 시간)에서의 두루미의 위치라 하면, ( $x=0$ 을 그날의 시작으로 두면) $f(24)-f(0)=240$ 임을 알 수 있다. $f(x)$ 는 새의 위치이므로 $f(x)$ 는 연속이고 미분가능하다. 따라서 평균값 정리에 의해 $(0,24)$ 에 속하는 어떤 $c$ 가 존재하여 $f'(x)=\dfrac{f(24)-f(0)}{24-0}=\dfrac{240}{24}=10$ 이다. 즉, 그날 어느 한 시점 $c$ 에서 두루미의 속력은 정확히 시속 10 킬로미터였다.

원본 교재 풀이(영어)

If $f(x)$ is the position of the crane at time $x$ , measured in hours, then (if we let $x=0$ be the beginning of the day) we know that $f(24)-f(0)=240$ . Since $f(x)$ is the position of the bird, $f(x)$ is continuous and differentiable. So, the MVT says there is a $c$ in $(0,24)$ such that $f'(x)=\dfrac{f(24)-f(0)}{24-0}=\dfrac{240}{24}=10$ . That is, at some point $c$ during the day, the speed of the crane was exactly 10 kph.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 1번

# 롤의 정리와 평균값 정리활용기본자동 분류

3.CLP-1 · 2.13절 · 4번우리말 번역

다음 성질을 만족하는 함수 $f(x)$ 를 하나 제시하세요.

$f(x)$ 는 열린구간 $0<x<10$ 에서 미분가능하다.
$f(0)=0$ , $f(10)=10$

그러나 모든 $c \in (0,10)$ 에 대해 $f'(c)=0$ 이다.

영어 원문 보기

Give a function $f(x)$ with the properties that:

$f(x)$ is differentiable on the open interval $0<x<10$
$f(0)=0$ , $f(10)=10$

but for all $c \in (0,10)$ , $f'(c)=0$ .

정답·풀이 보기

$f(x)$ 가 모든 $x \in (0,10)$ 에서 미분가능하므로 $f(x)$ 는 모든 $x \in (0,10)$ 에서 연속이기도 하다. 만약 $f(x)$ 가 닫힌구간 $[0,10]$ 에서 연속이라면 평균값 정리에 의해 어떤 $c \in (0,10)$ 에 대해 $f'(x)=\dfrac{f(10)-f(0)}{10-0}=1$ 이 보장된다. 그러나 이 경우는 그렇지 않다. 따라서 $f(x)$ 는 모든 $x \in (0,10)$ 에서는 연속이지만, 모든 $x \in [0,10]$ 에서는 연속이 아니어야 한다.

$c \in (0,10)$ 에서 $f'(c)=0$ 이므로 $f$ 는 그 구간에서 상수함수이다. 따라서 $f(x)$ 는 다음과 같은 함수이다.

여기서 상수함수의 높이는 어떤 값이어도 된다.

따라서 가능한 답 중 하나는 $f(x) = \left\{\begin{array}{lr} 0&x \neq 10\\ 10&x=10 \end{array}\right.$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(x)$ is differentiable for all $x \in (0,10)$ , then $f(x)$ is also continuous for all $x \in (0,10)$ . If $f(x)$ were continuous on the closed interval $[0,10]$ , then the MVT would guarantee $f'(x)=\dfrac{f(10)-f(0)}{10-0}=1$ for some $c \in (0,10)$ ; however, this is not the case. So, it must be that $f(x)$ is continuous for all $x \in (0,10)$ , but not for all $x \in [0,10]$ .

Since $f'(c)=0$ for $c \in (0,10)$ , that means $f$ is constant on that interval. So, $f(x)$ is a function like this:

where the height of the constant function can be anything.

So, one possible answer is $f(x) = \left\{\begin{array}{lr} 0&x \neq 10\\ 10&x=10 \end{array}\right.$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 5번

# 롤의 정리와 평균값 정리계산기본자동 분류

4.CLP-1 · 2.13절 · 5번우리말 번역

아래 각 부분에 대해, 모든 실수에서 연속이고 미분가능하며 $f(1)=f(2)=0$ 이고 제시된 성질을 갖는 함수 $f(x)$ (각 부분마다 서로 다른 함수)의 그래프를 그리세요. 그런 함수가 존재하지 않는다면 그 이유를 설명하세요.

(a) $f'(c)=0$ 인 점 $c \in (1,2)$ 가 없다 (b) $f'(c)=0$ 인 점 $c \in (1,2)$ 가 정확히 하나 있다 (c) $f'(c)=0$ 인 점 $c \in (1,2)$ 가 정확히 다섯 개 있다 (d) $f'(c)=0$ 인 점 $c \in (1,2)$ 가 무수히 많이 있다

영어 원문 보기

For each of the parts below, sketch a function $f(x)$ (different in each part) that is continuous and differentiable over all real numbers, with $f(1)=f(2)=0$ , and with the listed property, or explain why no such function exists.

(a) $f'(c)=0$ for no point $c \in (1,2)$ (b) $f'(c)=0$ for exactly one point $c \in (1,2)$ (c) $f'(c)=0$ for exactly five points $c \in (1,2)$ (d) $f'(c)=0$ for infinitely many points $c \in (1,2)$

정답·풀이 보기

(a) 그런 함수는 존재할 수 없다. 롤의 정리에 의해 적어도 한 점 $c \in (1,2)$ 에서 $f'(c)=0$ 이 보장된다.

나머지 함수들의 예는 아래와 같으나, 가능한 답은 많다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) No such function is possible: Rolle's Theorem guarantees $f'(c)=0$ for at least one point $c \in (1,2)$ .

For the other functions, examples are below, but many answers are possible.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 2번

# 롤의 정리와 평균값 정리그래프·표 해석기본자동 분류

5.CLP-1 · 2.13절 · 6번우리말 번역

함수 $f(x)=\sqrt{|x|}$ 가 기울기 $\frac{1}{13}$ 인 접선을 갖는 점이 존재함을 보이려고 한다. 다음 풀이에서 잘못된 부분을 모두 찾고, 올바른 증명을 쓰세요.

함수 $f(x)$ 는 모든 실수에서 연속이고 미분가능하므로 평균값 정리를 적용할 수 있다. $f(-4)=2$ 이고 $f(9)=3$ 이므로, 평균값 정리에 의해 다음을 만족하는 $c \in (-4,9)$ 가 존재한다. $f'(x) = \dfrac{3-2}{9-(-4)}=\dfrac{1}{13}$ .

영어 원문 보기

Suppose you want to show that a point exists where the function $f(x)=\sqrt{|x|}$ has a tangent line with slope $\frac{1}{13}$ . Find the mistake(s) in the following work, and give a correct proof.

The function $f(x)$ is continuous and differentiable over all real numbers, so the mean value theorem applies. $f(-4)=2$ and $f(9)=3$ , so by the mean value theorem, there exists some $c \in (-4,9)$ such that $f'(x) = \dfrac{3-2}{9-(-4)}=\dfrac{1}{13}$ .

정답·풀이 보기

함수 $f(x)$ 는 모든 실수에서 연속이지만, $x \neq 0$ 일 때만 미분가능하다. 따라서 평균값 정리를 적용하려면 구간이 양수만으로 또는 음수만으로 이루어져야 한다. 구간 $(-4,13)$ 은 적절하지 않다.

평균값 정리를 이용해서 원하는 것을 증명할 수 있다. $a=1$ , $b=144$ 이면 구간 $(1,144)$ 에 0이 포함되지 않으므로 $f(x)$ 는 이 구간에서 미분가능하고, $f(x)$ 는 모든 곳에서 연속이다. 따라서 평균값 정리에 의해 $f'(x)=\dfrac{\sqrt{|144|}-\sqrt{|1|}}{144-1}=\dfrac{11}{143}=\dfrac{1}{13}$ 인 점 $c$ 가 존재한다.

그렇지만 그런 점이 존재함을 보이는 더 쉬운 방법은 평균값 정리를 쓰지 않고 그 점을 직접 찾는 것이다. $x>0$ 일 때 $f(x)=\sqrt{x}$ 이므로 $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt {x}}$ 이다. 그러면 $f'\left(\dfrac{169}{4}\right)=\dfrac{1}{13}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function $f(x)$ is continuous over all real numbers, but it is only differentiable when $x \neq 0$ . So, if we want to apply the MVT, our interval must consist of only positive numbers or only negative numbers: the interval $(-4,13)$ is not valid.

It is possible to use the mean value theorem to prove what we want: if $a=1$ and $b=144$ , then $f(x)$ is differentiable over the interval $(1,144)$ (since 0 is not contained in that interval), and $f(x)$ is continuous everywhere, so by the mean value theorem there exists some point $c$ where $f'(x)=\dfrac{\sqrt{|144|}-\sqrt{|1|}}{144-1}=\dfrac{11}{143}=\dfrac{1}{13}$ .

That being said, an easier way to prove that a point exists is to simply find it–without using the MVT. When $x>0$ , $f(x)=\sqrt{x}$ , so $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt {x}}$ . Then $f'\left(\dfrac{169}{4}\right)=\dfrac{1}{13}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 7번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술기본자동 분류