문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

롤의 정리와 평균값 정리

평균변화율과 같은 순간변화율을 갖는 점이 있음을 이용해 값을 구하거나 보인다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

5문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.4절 · 20번우리말 풀이

다음 문제에서 $f(1)-f(-1)=f'(c)(2)$ 를 만족하는 $c$ 가 없음을 보이세요. 구간 $[-1,1]$ 에서 평균값 정리가 적용되지 않는 이유를 설명하세요.

$f(x)=\left|x-\dfrac12\right|$

영어 원문 보기

For the following exercises, show there is no $c$ such that $f(1)-f(-1)={f}^{'}(c)(2).$ Explain why the Mean Value Theorem does not apply over the interval $[-1,1].$

$f(x)=|x-\frac{1}{2}|$

풀이 보기

평균값 정리는 '닫힌 구간에서 연속, 열린 구간에서 미분가능'일 때만 쓸 수 있어요. 한 곳이라도 미분이 안 되면 결론이 보장되지 않아요.

1
평균변화율을 구해요. $f(1)=\tfrac12$ , $f(-1)=\tfrac32$ 이므로 $f(1)-f(-1)=-1\ \Rightarrow\ f'(c)\cdot 2=-1\ \Rightarrow\ f'(c)=-\tfrac12$ 이 되는 $c$ 가 있는지 보면 돼요.
2
도함수의 값을 살펴요. $x>\tfrac12$ 에서는 $f(x)=x-\tfrac12$ 이므로 $f'(x)=1$ , $x<\tfrac12$ 에서는 $f(x)=-x+\tfrac12$ 이므로 $f'(x)=-1$ 이에요. 도함수가 가질 수 있는 값은 $1$ 과 $-1$ 뿐이라서 $-\tfrac12$ 은 될 수 없어요. 그러므로 조건을 만족하는 $c$ 가 없어요.
3
왜 평균값 정리가 안 되는지 말해요. $x=\tfrac12$ 은 구간 $(-1,1)$ 안에 있는데, 이곳에서 좌미분계수는 $-1$ , 우미분계수는 $1$ 로 서로 달라 미분가능하지 않아요(그래프가 뾰족한 점). 따라서 열린 구간에서 미분가능하다는 조건이 깨져 평균값 정리를 쓸 수 없어요.

답

$f$ 는 $x=\tfrac12$ 에서 미분가능하지 않아서 평균값 정리의 조건을 만족하지 않으므로, 조건을 만족하는 $c$ 가 없다

자주 하는 실수

연속이기만 하면 평균값 정리를 쓸 수 있다고 생각하는 실수가 많아요. 열린 구간에서 미분가능해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Not differentiable

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 38번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술보통

2.CLP-1 · 2.13절 · 7번우리말 번역

$f(x)=x^2-2\pi x+ \cos(x)-1$ 이라 하자. $f'(c)=0$ 인 실수 $c$ 가 존재함을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=x^2-2\pi x+ \cos(x)-1$ . Show that there exists a real number $c$ such that $f'(c)=0$ .

정답·풀이 보기

$f(0)=f(2\pi)=0$ 임에 주목한다. 그러면 평균값 정리를 이용하여(이 함수는 모든 실수에서 미분가능하다) 다음을 만족하는 $c$ 가 $(0,2\pi)$ 에 존재한다고 결론지을 수 있다. $f'(c)=\frac{f(2\pi)- f(0)}{2\pi - 0} = 0.$

원본 교재 풀이(영어)

We note that $f(0)=f(2\pi)=0$ . Then using the Mean Value Theorem (note that the function is differentiable for all real numbers), we conclude that there exists $c$ in $(0,2\pi)$ such that $f'(c)=\frac{f(2\pi)- f(0)}{2\pi - 0} = 0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 4번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술보통자동 분류

3.CLP-1 · 2.13절 · 8번우리말 번역

$f(x)=e^x + (1-e)x^2 - 1$ 이라 하자. $f'(c)=0$ 인 실수 $c$ 가 존재함을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=e^x + (1-e)x^2 - 1$ . Show that there exists a real number $c$ such that $f'(c)=0$ .

정답·풀이 보기

$f(0)=f(1)=0$ 임에 주목한다. 그러면 평균값 정리를 이용하여(이 함수는 모든 실수에서 미분가능하다) 다음을 만족하는 $c\in (0,1)$ 이 존재함을 얻는다. $f'(c)=\frac{f(1)- f(0)}{1 - 0} = 0.$

원본 교재 풀이(영어)

We note that $f(0)=f(1)=0$ . Then using the Mean Value Theorem (note that the function is differentiable for all real numbers), we get that there exists $c\in (0,1)$ such that $f'(c)=\frac{f(1)- f(0)}{1 - 0} = 0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 9번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술보통자동 분류

4.CLP-1 · 2.13절 · 9번우리말 번역

$f(x)=\sqrt{3 + \sin(x)} + (x - \pi)^2$ 이라 하자. $f'(c)=0$ 인 실수 $c$ 가 존재함을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=\sqrt{3 + \sin(x)} + (x - \pi)^2$ . Show that there exists a real number $c$ such that $f'(c)=0$ .

정답·풀이 보기

$f(0)=f(2\pi)=\sqrt{3} + \pi^2$ 임에 주목한다. 그러면 평균값 정리를 이용하여( $3+\sin x>0$ 이므로 이 함수는 모든 실수에서 미분가능하다) 다음을 만족하는 $c\in (0,2\pi)$ 가 존재함을 얻는다. $f'(c)=\frac{f(2\pi)- f(0)}{2\pi - 0} = 0.$

원본 교재 풀이(영어)

We note that $f(0)=f(2\pi)=\sqrt{3} + \pi^2$ . Then using the Mean Value Theorem (note that the function is differentiable for all real numbers since $3+\sin x>0$ ), we get that there exists $c\in (0,2\pi)$ such that $f'(c)=\frac{f(2\pi)- f(0)}{2\pi - 0} = 0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 6번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술보통자동 분류

5.CLP-1 · 2.13절 · 10번우리말 번역

$f(x)=x\cos(x) - x\sin(x)$ 라 하자. $f'(c)=0$ 인 실수 $c$ 가 존재함을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=x\cos(x) - x\sin(x)$ . Show that there exists a real number $c$ such that $f'(c)=0$ .

정답·풀이 보기

$f(0)=0$ 이고 $f(\pi/4)=0$ 임에 주목한다. 그러면 평균값 정리를 이용하여(이 함수는 모든 실수에서 미분가능함에 유의한다) $c\in (0,\pi/4)$ 이고 $f'(c)=\frac{f(\pi/4)- f(0)}{\pi/4 - 0} = 0.$ 인 $c$ 가 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

We note that $f(0)=0$ and $f(\pi/4)=0$ . Then using the Mean Value Theorem (note that the function is differentiable for all real numbers), we get that there exists $c\in (0,\pi/4)$ such that $f'(c)=\frac{f(\pi/4)- f(0)}{\pi/4 - 0} = 0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 30번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술보통자동 분류