문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

평균변화율과 미분계수

평균변화율과 순간변화율(미분계수)의 뜻, 접선의 기울기로서의 미분계수를 이해한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 1번우리말 풀이

다음 문제에서는 $Q=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 써서 각 함수 $y=f(x)$ 의 $x_1$ 과 $x_2$ 사이 할선의 기울기를 구하세요.

$f(x)=4x+7;\ x_1=2,\ x_2=5$

영어 원문 보기

For the following exercises, use $Q=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ to find the slope of the secant line between the values ${x}_{1}$ and ${x}_{2}$ for each function $y=f(x).$

$f(x)=4x+7;{x}_{1}=2,{x}_{2}=5$

답 쓰고 채점

풀이 보기

할선의 기울기는 두 점 사이의 평균변화율, 즉 $\dfrac{y\text{의 변화량}}{x\text{의 변화량}}$ 이에요.

1
두 점의 $y$ 값을 구해요. $f(2)=4\cdot2+7=15$ , $f(5)=4\cdot5+7=27$ 이에요.
2
기울기 공식에 넣어요.

$\frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{27-15}{3}=\frac{12}{3}=4$
3
확인해요. 일차함수의 그래프는 직선이라 어느 두 점을 잡아도 기울기가 같아요. 계수 $4$ 와 같은 값이 나온 것이 맞아요.

답

$4$

자주 하는 실수

분자와 분모를 빼는 순서를 서로 다르게 해서 부호가 틀려요.

원본 교재 풀이(영어)

$4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 5번

# 평균변화율과 미분계수계산기본

2.OpenStax 1권 · 3.1절 · 5번우리말 풀이

다음 문제에서 $Q=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 이용해, 각 함수 $y=f(x)$ 에서 $x_1$ 과 $x_2$ 사이의 할선의 기울기를 구하세요.

$f(x)=\frac{4}{3x-1};\ x_1=1,\ x_2=3$

영어 원문 보기

For the following exercises, use $Q=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ to find the slope of the secant line between the values ${x}_{1}$ and ${x}_{2}$ for each function $y=f(x).$

$f(x)=\frac{4}{3x-1};{x}_{1}=1,{x}_{2}=3$

답 쓰고 채점

풀이 보기

두 점을 지나는 할선의 기울기는 두 점의 $y$ 좌표 차를 $x$ 좌표 차로 나눈 평균변화율이에요.

1
두 점의 함숫값을 구해요. $f(1)=\dfrac{4}{3-1}=2$ , $f(3)=\dfrac{4}{9-1}=\dfrac{1}{2}$ 예요. 따라서 두 점은 $(1,2)$ , $\left(3,\tfrac12\right)$ 이에요.
2
기울기 공식에 넣어요. $Q=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{\frac12-2}{2}=\frac{-\frac32}{2}=-\frac34$

답

$-\dfrac{3}{4}$

자주 하는 실수

분모 $3x-1$ 에 $x$ 를 넣을 때 $3\cdot 3-1=8$ 을 $3\cdot 3-1=6$ 처럼 계산 실수하는 경우가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{3}{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 37번

# 평균변화율과 미분계수계산기본