평균변화율과 미분계수 연습문제

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 1번우리말 풀이

다음 문제에서는 $Q=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 써서 각 함수 $y=f(x)$ 의 $x_1$ 과 $x_2$ 사이 할선의 기울기를 구하세요.

$f(x)=4x+7;\ x_1=2,\ x_2=5$

영어 원문 보기

For the following exercises, use $Q=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ to find the slope of the secant line between the values ${x}_{1}$ and ${x}_{2}$ for each function $y=f(x).$

$f(x)=4x+7;{x}_{1}=2,{x}_{2}=5$

답 쓰고 채점

풀이 보기

할선의 기울기는 두 점 사이의 평균변화율, 즉 $\dfrac{y\text{의 변화량}}{x\text{의 변화량}}$ 이에요.

1
두 점의 $y$ 값을 구해요. $f(2)=4\cdot2+7=15$ , $f(5)=4\cdot5+7=27$ 이에요.
2
기울기 공식에 넣어요.

$\frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{27-15}{3}=\frac{12}{3}=4$
3
확인해요. 일차함수의 그래프는 직선이라 어느 두 점을 잡아도 기울기가 같아요. 계수 $4$ 와 같은 값이 나온 것이 맞아요.

답

$4$

자주 하는 실수

분자와 분모를 빼는 순서를 서로 다르게 해서 부호가 틀려요.

원본 교재 풀이(영어)

$4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 5번

# 평균변화율과 미분계수계산기본

2.OpenStax 1권 · 3.1절 · 5번우리말 풀이

다음 문제에서 $Q=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 이용해, 각 함수 $y=f(x)$ 에서 $x_1$ 과 $x_2$ 사이의 할선의 기울기를 구하세요.

$f(x)=\frac{4}{3x-1};\ x_1=1,\ x_2=3$

영어 원문 보기

For the following exercises, use $Q=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ to find the slope of the secant line between the values ${x}_{1}$ and ${x}_{2}$ for each function $y=f(x).$

$f(x)=\frac{4}{3x-1};{x}_{1}=1,{x}_{2}=3$

답 쓰고 채점

풀이 보기

두 점을 지나는 할선의 기울기는 두 점의 $y$ 좌표 차를 $x$ 좌표 차로 나눈 평균변화율이에요.

1
두 점의 함숫값을 구해요. $f(1)=\dfrac{4}{3-1}=2$ , $f(3)=\dfrac{4}{9-1}=\dfrac{1}{2}$ 예요. 따라서 두 점은 $(1,2)$ , $\left(3,\tfrac12\right)$ 이에요.
2
기울기 공식에 넣어요. $Q=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{\frac12-2}{2}=\frac{-\frac32}{2}=-\frac34$

답

$-\dfrac{3}{4}$

자주 하는 실수

분모 $3x-1$ 에 $x$ 를 넣을 때 $3\cdot 3-1=8$ 을 $3\cdot 3-1=6$ 처럼 계산 실수하는 경우가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{3}{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 37번

# 평균변화율과 미분계수계산기본

3.OpenStax 1권 · 3.1절 · 13번우리말 풀이

다음 함수에 대해

a. $m_{\tan}=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 를 써서 접선의 기울기 $m_{\tan}=f'(a)$ 를 구하세요. b. $x=a$ 에서 $f$ 의 접선의 방정식을 구하세요.

$f(x)=x^{2}+x,\ a=1$

영어 원문 보기

For the following functions,

a. use ${m}_{\tan }=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ to find the slope of the tangent line ${m}_{\tan }={f}^{'}(a),$ and b. find an equation of the tangent line to $f$ at $x=a.$

$f(x)={x}^{2}+x,a=1$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

풀이 보기

미분계수는 정의대로 극한을 구하고, 접선은 점 $(a,f(a))$ 와 그 기울기로 직선을 세워요.

1
(a) 필요한 값을 준비해요. $f(1)=1^2+1=2$ 이고 $f(1+h)=(1+h)^2+(1+h)=2+3h+h^2$ 이에요.
2
차를 구해서 $h$ 로 나눠요.

$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{3h+h^2}{h}=3+h$
3
극한을 취해요. $h\to0$ 이면 $3+h\to3$ 이므로 $f'(1)=3$ 이에요.
4
(b) 접선을 세워요. 접점은 $(1,2)$ , 기울기는 $3$ 이므로 $y-2=3(x-1)$ 이고 정리하면 $y=3x-1$ 이에요.

답

(a) $3$ (b) $y=3x-1$

자주 하는 실수

$h$ 로 나누기 전에 $h\to0$ 을 먼저 넣어 $0/0$ 이 되어 막혀요. 먼저 식을 정리해 $h$ 를 약분해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $3$ b. $y=3x-1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 29번

# 평균변화율과 미분계수계산보통

4.OpenStax 1권 · 3.1절 · 25번우리말 풀이

다음 함수 $y=f(x)$ 에 대해 $f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 써서 $f'(a)$ 를 구하세요.

$f(x)=\sqrt{x},\ a=4$

영어 원문 보기

For the following functions $y=f(x),$ find ${f}^{'}(a)$ using ${f}^{'}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .

$f(x)=\sqrt{x},a=4$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$\sqrt{x}-2$ 처럼 제곱근이 있는 분자는 켤레식 $\sqrt{x}+2$ 를 곱해서 $x-4$ 를 만들면 약분돼요.

1
식을 세워요. $f(4)=\sqrt4=2$ 이므로

$f'(4)=\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$

대입하면 $\dfrac00$ 꼴이라 식을 바꿔야 해요.
2
분자를 유리화해요. 분자와 분모에 $\sqrt{x}+2$ 를 곱하면 $(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4$ 가 돼요.

$\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}$
3
약분하고 극한을 구해요. $x\ne4$ 이므로 $x-4$ 를 약분하면 $\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$ 이고, $x\to4$ 이면 $\dfrac{1}{2+2}=\dfrac14$ 이에요.

답

$\dfrac14$

자주 하는 실수

$\sqrt{x}-2$ 를 $\sqrt{x-4}$ 처럼 합쳐서 계산하거나, 켤레식을 분자에만 곱해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 13번

# 평균변화율과 미분계수계산보통

5.OpenStax 1권 · 3.1절 · 29번우리말 풀이

다음 함수 $y=f(x)$ 에 대해 $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 이용해 $f'(a)$ 를 구하세요.

$f(x)=\dfrac{1}{x^3},\ a=1$

영어 원문 보기

For the following functions $y=f(x),$ find ${f}^{'}(a)$ using ${f}^{'}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .

$f(x)=\frac{1}{{x}^{3}},a=1$

답 쓰고 채점

풀이 보기

분수식은 먼저 통분하고, $0/0$ 꼴이 되면 인수분해해서 $x-1$ 을 약분해요.

1
정의 식에 대입해요. $f(1)=1$ 이므로 $f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x^3}-1}{x-1}$
2
분자를 통분해요. $\dfrac{1}{x^3}-1=\dfrac{1-x^3}{x^3}$ 이므로 $\frac{1-x^3}{x^3(x-1)}$ 이 돼요. 그대로 $x=1$ 을 넣으면 $\frac00$ 꼴이라 더 정리해야 해요.
3
인수분해로 약분해요. $1-x^3=-(x-1)(x^2+x+1)$ 이므로 $\frac{-(x-1)(x^2+x+1)}{x^3(x-1)}=-\frac{x^2+x+1}{x^3}\quad(x\neq 1)$
4
극한값을 구해요. $x\to 1$ 이면 $-\dfrac{1+1+1}{1}=-3$ 이에요. 그러므로 $f'(1)=-3$ 이에요.

답

$-3$

자주 하는 실수

$1-x^3$ 의 부호를 잘못 처리해 답의 부호가 바뀌는 실수가 많아요. $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ 에서 부호를 확인하세요.

원본 교재 풀이(영어)

$-3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 8번

# 평균변화율과 미분계수계산보통

6.OpenStax 1권 · 3.1절 · 37번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 위치함수 $y=s(t)$ 로 직선 위를 움직이는 물체가 있어요. 여기서 $t$ 는 초, $s$ 는 미터 단위예요. 다음을 구하세요.

a. $t=2$ 에서 $t=2+h$ 까지의 평균속도를 간단히 나타낸 식 b. $t=2$ 와 $t=2+h$ 사이의 평균속도. 단, (i) $h=0.1$ , (ii) $h=0.01$ , (iii) $h=0.001$ , (iv) $h=0.0001$ c. a의 결과를 이용해 $t=2$ 초에서의 순간속도를 어림하기

$s(t)=2t^3+3$

영어 원문 보기

[T] For the following position functions $y=s(t),$ an object is moving along a straight line, where $t$ is in seconds and $s$ is in meters. Find

a. the simplified expression for the average velocity from $t=2$ to $t=2+h;$ b. the average velocity between $t=2$ and $t=2+h,$ where $\text{(i)}\,h=0.1,$ $\text{(ii)}\,h=0.01,$ $\text{(iii)}\,h=0.001,$ and $\text{(iv)}\,h=0.0001;$ and c. use the answer from a. to estimate the instantaneous velocity at $t=2$ second.

$s(t)=2{t}^{3}+3$

풀이 보기

평균속도는 (위치의 변화량)÷(걸린 시간)이고, 시간 간격 $h$ 를 0에 가깝게 하면 순간속도(미분계수)에 가까워져요.

1
평균속도의 식을 세워요. 평균속도는 위치가 얼마나 변했는지를 걸린 시간으로 나눈 값이에요. $t=2$ 에서 $t=2+h$ 까지 걸린 시간은 $h$ 이므로 $\frac{s(2+h)-s(2)}{h}$ 를 계산하면 돼요. 먼저 $s(2)=2\cdot 2^3+3=19$ 예요.
2
$s(2+h)$ 를 전개해요. $(2+h)^3=8+12h+6h^2+h^3$ 이므로 $s(2+h)=2(8+12h+6h^2+h^3)+3=19+24h+12h^2+2h^3$ 예요. 그러면 $s(2+h)-s(2)=24h+12h^2+2h^3$ 이에요.
3
$h$ 로 나누어 간단히 해요. 분자의 모든 항에 $h$ 가 들어 있으니 약분할 수 있어요. $\frac{24h+12h^2+2h^3}{h}=24+12h+2h^2=2(h^2+6h+12)$ 이것이 a의 답이에요.
4
b: $h$ 값을 차례로 넣어요. $2(h^2+6h+12)$ 에 대입하면
- $h=0.1$ : $2(0.01+0.6+12)=25.22$ (m/s)
- $h=0.01$ : $2(0.0001+0.06+12)=24.1202\approx 24.12$ (m/s)
- $h=0.001$ : $24.012\approx 24.01$ (m/s)
- $h=0.0001$ : $24.0012\approx 24.00$ (m/s)
5
c: 값이 어디로 다가가는지 봐요. $h$ 가 작아질수록 평균속도가 $24$ 에 가까워져요. 식으로도 $h\to 0$ 이면 $2(h^2+6h+12)\to 2\cdot 12=24$ 예요. 그러므로 $t=2$ 초의 순간속도는 $24$ m/s 예요.

답

a. $2(h^2+6h+12)$ b. (i) $25.22$ m/s (ii) $24.12$ m/s (iii) $24.01$ m/s (iv) $24$ m/s c. $24$ m/s

자주 하는 실수

$(2+h)^3$ 을 $8+h^3$ 으로 잘못 전개하는 실수가 많아요. $12h+6h^2$ 항을 꼭 챙기세요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $2({h}^{2}+6h+12);$ b. $\text{(i)}\,25.22$ m/s, $\text{(ii)}\,24.12$ m/s, $\text{(iii)}\,24.01$ m/s, $\text{(iv)}\,24$ m/s; c. $24$ m/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 25번

# 평균변화율과 미분계수활용보통

7.OpenStax 1권 · 3.4절 · 18번우리말 풀이

[계산기 사용]

a. 계산기나 컴퓨터 프로그램으로 인구를 가장 잘 나타내는 일차함수(최적 직선)를 구하세요. b. a에서 구한 식을 미분하고, 그 물리적 의미를 설명하세요. c. 그 식의 이계도함수를 구하고, 그 물리적 의미를 설명하세요.

영어 원문 보기

[T]

a. Using a calculator or a computer program, find the best-fit linear function to measure the population. b. Find the derivative of the equation in a. and explain its physical meaning. c. Find the second derivative of the equation and explain its physical meaning.

풀이 보기

일차함수 $P(t)=at+b$ 의 도함수는 기울기 $a$ 하나뿐이고, 이계도함수는 $0$ 이에요.

1
(a) 문제의 자료 표를 계산기에 입력해 일차 회귀(최소제곱 직선)를 구해요. 결과는 $P(t)=0.03983t+0.4280$ 이에요.
2
(b) 일차함수 $at+b$ 를 미분하면 상수 $a$ 예요. $P'(t)=0.03983$ 이고, 이 값은 양수이므로 인구가 시간에 따라 증가하고 있다는 뜻이에요. 증가 속도는 단위 시간당 약 $0.03983$ 이에요.
3
(c) 상수를 미분하면 $0$ 이므로 $P''(t)=0$ 이에요. 인구가 증가하는 속도가 변하지 않고 일정하다는 뜻이에요.

답

(a) $P(t)=0.03983t+0.4280$ (b) $P'(t)=0.03983$ , 인구가 증가하고 있다 (c) $P''(t)=0$ , 증가 속도가 일정하다

자주 하는 실수

$P'(t)$ 가 양수이니 $P''(t)$ 도 양수라고 착각해요. 이계도함수는 증가 속도가 변하는 정도이고, 직선이면 $0$ 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $P(t)=0.03983+0.4280$ b. ${P}^{'}(t)=0.03983.$ The population is increasing. c. ${P}^{''}(t)=0.$ The rate at which the population is increasing is constant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 1번

# 평균변화율과 미분계수활용보통