문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

평균변화율과 미분계수

평균변화율과 순간변화율(미분계수)의 뜻, 접선의 기울기로서의 미분계수를 이해한다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 13번우리말 풀이

다음 함수에 대해

a. $m_{\tan}=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 를 써서 접선의 기울기 $m_{\tan}=f'(a)$ 를 구하세요. b. $x=a$ 에서 $f$ 의 접선의 방정식을 구하세요.

$f(x)=x^{2}+x,\ a=1$

영어 원문 보기

For the following functions,

a. use ${m}_{\tan }=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ to find the slope of the tangent line ${m}_{\tan }={f}^{'}(a),$ and b. find an equation of the tangent line to $f$ at $x=a.$

$f(x)={x}^{2}+x,a=1$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

풀이 보기

미분계수는 정의대로 극한을 구하고, 접선은 점 $(a,f(a))$ 와 그 기울기로 직선을 세워요.

1
(a) 필요한 값을 준비해요. $f(1)=1^2+1=2$ 이고 $f(1+h)=(1+h)^2+(1+h)=2+3h+h^2$ 이에요.
2
차를 구해서 $h$ 로 나눠요.

$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{3h+h^2}{h}=3+h$
3
극한을 취해요. $h\to0$ 이면 $3+h\to3$ 이므로 $f'(1)=3$ 이에요.
4
(b) 접선을 세워요. 접점은 $(1,2)$ , 기울기는 $3$ 이므로 $y-2=3(x-1)$ 이고 정리하면 $y=3x-1$ 이에요.

답

(a) $3$ (b) $y=3x-1$

자주 하는 실수

$h$ 로 나누기 전에 $h\to0$ 을 먼저 넣어 $0/0$ 이 되어 막혀요. 먼저 식을 정리해 $h$ 를 약분해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $3$ b. $y=3x-1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 29번

# 평균변화율과 미분계수계산보통

2.OpenStax 1권 · 3.1절 · 25번우리말 풀이

다음 함수 $y=f(x)$ 에 대해 $f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 써서 $f'(a)$ 를 구하세요.

$f(x)=\sqrt{x},\ a=4$

영어 원문 보기

For the following functions $y=f(x),$ find ${f}^{'}(a)$ using ${f}^{'}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .

$f(x)=\sqrt{x},a=4$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$\sqrt{x}-2$ 처럼 제곱근이 있는 분자는 켤레식 $\sqrt{x}+2$ 를 곱해서 $x-4$ 를 만들면 약분돼요.

1
식을 세워요. $f(4)=\sqrt4=2$ 이므로

$f'(4)=\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$

대입하면 $\dfrac00$ 꼴이라 식을 바꿔야 해요.
2
분자를 유리화해요. 분자와 분모에 $\sqrt{x}+2$ 를 곱하면 $(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4$ 가 돼요.

$\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}$
3
약분하고 극한을 구해요. $x\ne4$ 이므로 $x-4$ 를 약분하면 $\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$ 이고, $x\to4$ 이면 $\dfrac{1}{2+2}=\dfrac14$ 이에요.

답

$\dfrac14$

자주 하는 실수

$\sqrt{x}-2$ 를 $\sqrt{x-4}$ 처럼 합쳐서 계산하거나, 켤레식을 분자에만 곱해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 13번

# 평균변화율과 미분계수계산보통

3.OpenStax 1권 · 3.1절 · 29번우리말 풀이

다음 함수 $y=f(x)$ 에 대해 $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 이용해 $f'(a)$ 를 구하세요.

$f(x)=\dfrac{1}{x^3},\ a=1$

영어 원문 보기

For the following functions $y=f(x),$ find ${f}^{'}(a)$ using ${f}^{'}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .

$f(x)=\frac{1}{{x}^{3}},a=1$

답 쓰고 채점

풀이 보기

분수식은 먼저 통분하고, $0/0$ 꼴이 되면 인수분해해서 $x-1$ 을 약분해요.

1
정의 식에 대입해요. $f(1)=1$ 이므로 $f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x^3}-1}{x-1}$
2
분자를 통분해요. $\dfrac{1}{x^3}-1=\dfrac{1-x^3}{x^3}$ 이므로 $\frac{1-x^3}{x^3(x-1)}$ 이 돼요. 그대로 $x=1$ 을 넣으면 $\frac00$ 꼴이라 더 정리해야 해요.
3
인수분해로 약분해요. $1-x^3=-(x-1)(x^2+x+1)$ 이므로 $\frac{-(x-1)(x^2+x+1)}{x^3(x-1)}=-\frac{x^2+x+1}{x^3}\quad(x\neq 1)$
4
극한값을 구해요. $x\to 1$ 이면 $-\dfrac{1+1+1}{1}=-3$ 이에요. 그러므로 $f'(1)=-3$ 이에요.

답

$-3$

자주 하는 실수

$1-x^3$ 의 부호를 잘못 처리해 답의 부호가 바뀌는 실수가 많아요. $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ 에서 부호를 확인하세요.

원본 교재 풀이(영어)

$-3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 8번

# 평균변화율과 미분계수계산보통

4.CLP-1 · 2.3절 · 4번우리말 번역

$C(w)$ 는 특정 요리 $w$ 그램에 들어 있는 열량(칼로리)을 나타낸다. $C'(w)$ 는 무엇을 나타내나요?

영어 원문 보기

$C(w)$ gives the calories in $w$ grams of a particular dish. What does $C'(w)$ describe?

정답·풀이 보기

$C'(w)=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{C(w+h)-C(w)}{h} \approx \dfrac{C(w+1)-C(w)}{1}=C(w+1)-C(w)$ 이고, 이는 $C(w+1)$ 그램에 들어 있는 열량에서 $C(w)$ 그램에 들어 있는 열량을 뺀 값이다. 이것은 $w$ 그램일 때, 1그램이 추가될 때마다 늘어나는 열량이다.

원본 교재 풀이(영어)

$C'(w)=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{C(w+h)-C(w)}{h} \approx \dfrac{C(w+1)-C(w)}{1}=C(w+1)-C(w)$ , which is the number of calories in $C(w+1)$ grams minus the number of calories in $C(w)$ grams. This is the number of calories per additional gram, when there are $w$ grams.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.3절 · 7번

# 평균변화율과 미분계수계산보통자동 분류