빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 미분방정식

변수분리형 미분방정식

x와 y를 양쪽으로 나누어 적분해 푼다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-2 · 2.4절 · 23번대학 수준우리말 번역

어떤 호수의 물고기 개체 수가 시각 t=0t=0 에 병에 걸렸고, 그 결과 시각 t≥0t\ge 0 에서의 개체 수 P(t)P(t) 가 다음을 만족시킨다.

dPdt=−kP\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=-k\sqrt{P} \end{aligned}

여기서 kk 는 양의 상수이다. 처음에 호수에 물고기가 90,000마리 있었고 6주 후에 40,000마리가 남았다면, 물고기 개체 수가 10,000마리로 줄어드는 것은 언제인지 구하세요.

영어 원문 보기

The fish population in a lake is attacked by a disease at time t=0t=0, with the result that the size P(t)P(t) of the population at time t≥0t\ge 0 satisfies

dPdt=−kP\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=-k\sqrt{P} \end{aligned}

where kk is a positive constant. If there were initially 90,000 fish in the lake and 40,000 were left after 6 weeks, when will the fish population be reduced to 10,000?

답 쓰고 채점
주
정답·풀이 보기

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

dPdt=−kPdPP=−k dt∫dPP=∫−k dt2P=−kt+Ct=0 일 때 P=90,000 이므로 290,000=−k×0+CC=2×300=600따라서2P=−kt+600이제 k 를 구한다. t 를 주 단위로 나타내자. 그러면 t=6 일 때 P=40,000 이다.240,000=−6k+6002⋅200=−6k+600k=2006=1003구한 k 의 값을 (∗)에 대입하면2P=−1003t+600개체 수가 10,000이 되는 때를 구하기 위해 P=10,000 을 대입하고 t 에 대해 푼다.210,000=−1003t+6002⋅100=−1003t+6001003t=400t=12(∗)\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}&=-k\sqrt{P}\\ \frac{\mathrm{d}P}{\sqrt{P}}&=-k\,\mathrm{d}t\\ \int\frac{\mathrm{d}P}{\sqrt{P}}&=\int-k\,\mathrm{d}t\\ 2\sqrt{P}&=-kt+C \\ \text{$t=0$ 일 때 $P=90,000$ 이므로 } \\ 2\sqrt{90,000}&=-k\times 0+C\\ C&=2\times 300=600 \\ \text{따라서} \\ 2\sqrt{P}&=-kt+600\tag{$*$} \\ \text{이제 $k$ 를 구한다. $t$ 를 주 단위로 나타내자. 그러면 $t=6$ 일 때 $P=40,000$ 이다.} \\ 2\sqrt{40,000}&=-6k+600\\ 2\cdot 200&=-6k+600\\ k&=\frac{200}{6} = \frac{100}{3} \\ \text{구한 $k$ 의 값을 ($*$)에 대입하면} \\ 2\sqrt{P}&=-\frac{100}{3}t+600 \\ \text{개체 수가 10,000이 되는 때를 구하기 위해 $P=10,000$ 을 대입하고 $t$ 에 대해 푼다.} \\ 2\sqrt{10,000}&=-\frac{100}{3}t+600\\ 2\cdot 100&=-\frac{100}{3}t+600\\ \frac{100}{3}t&=400\\ t&=12 \end{aligned}

kk 를 구할 때 tt 를 주 단위로 나타냈으므로, 12주 후에 개체 수가 10,000마리로 줄어든다.

원본 교재 풀이(영어)

The given differential equation is separable and we solve it accordingly.

dPdt=−kPdPP=−k dt∫dPP=∫−k dt2P=−kt+CAt t=0, P=90,000 so 290,000=−k×0+CC=2×300=600Therefore,2P=−kt+600Now, we find k. Let t be measured in weeks. Then when t=6, P=40,000.240,000=−6k+6002⋅200=−6k+600k=2006=1003Substituting our value of k into (∗):2P=−1003t+600To find when the population will be 10,000, we set P=10,000 and solve for t.210,000=−1003t+6002⋅100=−1003t+6001003t=400t=12(∗)\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}&=-k\sqrt{P}\\ \frac{\mathrm{d}P}{\sqrt{P}}&=-k\,\mathrm{d}t\\ \int\frac{\mathrm{d}P}{\sqrt{P}}&=\int-k\,\mathrm{d}t\\ 2\sqrt{P}&=-kt+C \\ \text{At $t=0$, $P=90,000$ so } \\ 2\sqrt{90,000}&=-k\times 0+C\\ C&=2\times 300=600 \\ \text{Therefore,} \\ 2\sqrt{P}&=-kt+600\tag{$*$} \\ \text{Now, we find $k$. Let $t$ be measured in weeks. Then when $t=6$, $P=40,000$.} \\ 2\sqrt{40,000}&=-6k+600\\ 2\cdot 200&=-6k+600\\ k&=\frac{200}{6} = \frac{100}{3} \\ \text{Substituting our value of $k$ into ($*$):} \\ 2\sqrt{P}&=-\frac{100}{3}t+600 \\ \text{To find when the population will be 10,000, we set $P=10,000$ and solve for $t$.} \\ 2\sqrt{10,000}&=-\frac{100}{3}t+600\\ 2\cdot 100&=-\frac{100}{3}t+600\\ \frac{100}{3}t&=400\\ t&=12 \end{aligned}

Since we measured tt in weeks when we found kk, we see that in 12 weeks the population will decrease to 10,000 individuals.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 22번
# 변수분리형 미분방정식활용보통자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.CLP-2 · 2.4절 · 24번대학 수준우리말 번역

질량이 mm 인 물체를 시각 t=0t=0 에 처음 속력 v0v_0 으로 수직 위로 던져 올린다. 올라가는 동안 물체에 작용하는 힘은 중력(일정하다고 가정한다)과 물체의 속력 v(t)v(t) 의 제곱에 비례하는 공기 저항력뿐이다. 따라서 운동 미분방정식은 다음과 같다.

mdvdt=−(mg+kv2)\begin{aligned} m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-(mg+kv^2) \end{aligned}

여기서 gg 와 kk 는 양의 상수이다. 물체는 언제 최고점에 도달하나요?

영어 원문 보기

An object of mass mm is projected straight upward at time t=0t=0 with initial speed v0v_0. While it is going up, the only forces acting on it are gravity (assumed constant) and a drag force proportional to the square of the object's speed v(t)v(t). It follows that the differential equation of motion is

mdvdt=−(mg+kv2)\begin{aligned} m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-(mg+kv^2) \end{aligned}

where gg and kk are positive constants. At what time does the object reach its highest point?

정답·풀이 보기

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 맞게 푼다.

mdvdt=−(mg+kv2)mmg+kv2 dv=−dt∫mmg+kv2 dv=∫−dt좌변의 적분은 아크탄젠트의 부정적분과 비슷해 보인다. 분모에서 mg 를 묶어 내자.1mg∫m1+kmgv2 dv=−t+C1g∫11+(kmgv)2 dv=−t+C이제 아크탄젠트의 도함수와 더욱 비슷해 보인다. 여기서 부정적분을 짐작하거나, 치환 u=kmgv, du=kmg dv 를 이용할 수 있다.1gmgkarctan⁡(kmgv)=−t+Cmgkarctan⁡(kmgv)=−t+Ct=0 일 때 v=v0 이므로: mgkarctan⁡(kmgv0)=CC 를 (∗) 에 대입한다.mgkarctan⁡(kmgv)=mgkarctan⁡(kmgv0)−t 최고점에서 물체의 속도는 v=0 이다. 이는 t 가 다음을 만족할 때 일어난다:mgkarctan⁡(kmg0)=mgkarctan⁡(kmgv0)−t0=mgkarctan⁡(kmgv0)−tt=mgkarctan⁡(kmgv0)(∗)\begin{aligned} m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-(mg+kv^2)\\ \frac{m}{mg+kv^2}\,\mathrm{d}v&=-\mathrm{d}t\\ \int\frac{m}{mg+kv^2}\,\mathrm{d}v&=\int-\mathrm{d}t \\ \text{좌변의 적분은 아크탄젠트의 부정적분과 비슷해 보인다. 분모에서 $mg$ 를 묶어 내자.} \\ \frac{1}{mg}\int\frac{m}{1+\frac{k}{mg}v^2}\,\mathrm{d}v&=-t+C\\ \frac{1}{g}\int\frac{1}{1+\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)^2}\,\mathrm{d}v&=-t+C \\ \text{이제 아크탄젠트의 도함수와 더욱 비슷해 보인다. 여기서 부정적분을 짐작하거나, 치환 $u=\sqrt{\frac{k}{mg}}v$, $\mathrm{d}u=\sqrt{\frac{k}{mg}}\,\mathrm{d}v$ 를 이용할 수 있다.} \\ \frac{1}{g}\sqrt{\frac{mg}{k}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=-t+C\\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=-t+C\tag{$*$} \\ \text{$t=0$ 일 때 $v=v_0$ 이므로: } \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)&=C \\ \text{$C$ 를 $(*)$ 에 대입한다.} \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t \\ \text{ 최고점에서 물체의 속도는 $v=0$ 이다. 이는 $t$ 가 다음을 만족할 때 일어난다:} \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}0\right)&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t\\ 0&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t\\ t&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right) \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The given differential equation is separable and we solve it accordingly.

mdvdt=−(mg+kv2)mmg+kv2 dv=−dt∫mmg+kv2 dv=∫−dtThe left integral looks something like the antiderivative of arctangent. Let’s factor out that mg from the denominator.1mg∫m1+kmgv2 dv=−t+C1g∫11+(kmgv)2 dv=−t+CNow it looks even more like the derivative of arctangent. We can guess the antiderivative from here, or use the substitution u=kmgv, du=kmg dv.1gmgkarctan⁡(kmgv)=−t+Cmgkarctan⁡(kmgv)=−t+CAt t=0, v=v0, so: mgkarctan⁡(kmgv0)=CPlug C into (∗).mgkarctan⁡(kmgv)=mgkarctan⁡(kmgv0)−t At its highest point, the object has velocity v=0. This happens when t obeys:mgkarctan⁡(kmg0)=mgkarctan⁡(kmgv0)−t0=mgkarctan⁡(kmgv0)−tt=mgkarctan⁡(kmgv0)(∗)\begin{aligned} m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-(mg+kv^2)\\ \frac{m}{mg+kv^2}\,\mathrm{d}v&=-\mathrm{d}t\\ \int\frac{m}{mg+kv^2}\,\mathrm{d}v&=\int-\mathrm{d}t \\ \text{The left integral looks something like the antiderivative of arctangent. Let's factor out that $mg$ from the denominator.} \\ \frac{1}{mg}\int\frac{m}{1+\frac{k}{mg}v^2}\,\mathrm{d}v&=-t+C\\ \frac{1}{g}\int\frac{1}{1+\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)^2}\,\mathrm{d}v&=-t+C \\ \text{Now it looks even more like the derivative of arctangent. We can guess the antiderivative from here, or use the substitution $u=\sqrt{\frac{k}{mg}}v$, $\mathrm{d}u=\sqrt{\frac{k}{mg}}\,\mathrm{d}v$.} \\ \frac{1}{g}\sqrt{\frac{mg}{k}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=-t+C\\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=-t+C\tag{$*$} \\ \text{At $t=0$, $v=v_0$, so: } \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)&=C \\ \text{Plug $C$ into $(*)$.} \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t \\ \text{ At its highest point, the object has velocity $v=0$. This happens when $t$ obeys:} \\ \sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}0\right)&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t\\ 0&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right)-t\\ t&=\sqrt{\frac{m}{gk}}\arctan\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0\right) \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 23번
# 변수분리형 미분방정식활용보통자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.CLP-2 · 2.4절 · 25번대학 수준우리말 번역

모터보트가 속도 40 ft/sec로 달리다가 시각 t=0t=0 에 모터가 꺼진다. 그 후 물의 저항으로 인한 감속은 다음과 같이 주어진다.

dvdt=−k v2\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-k\,v^2 \end{aligned}

여기서 kk 는 양의 상수이다. 10초 후 보트의 속도는 20 ft/sec이다.

(a) kk 의 값은 얼마인지 구하세요. (b) 보트의 속도가 5 ft/sec가 되는 때는 언제인지 구하세요.

영어 원문 보기

A motor boat is traveling with a velocity of 40 ft/sec when its motor shuts off at time t=0t=0. Thereafter, its deceleration due to water resistance is given by

dvdt=−k v2\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-k\,v^2 \end{aligned}

where kk is a positive constant. After 10 seconds, the boat's velocity is 20 ft/sec.

(a) What is the value of kk? (b) When will the boat's velocity be 5 ft/sec?

답 쓰고 채점
(a)
(b)
초
정답·풀이 보기

(a) 주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

dvdt=−k v2−dvv2=k dt∫−dvv2=∫k dt1v=kt+Ct=0 일 때 v=40 이므로 140=k×0+CC=140따라서,v(t)=1kt+C=1kt+1/40=4040kt+1비례상수 k 는 다음 조건으로 정해진다.v(10)=2020=4040k×10+112=1400k+1400k+1=2k=1400(∗)\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-k\,v^2\\ -\frac{\mathrm{d}v}{v^2}&=k\,\mathrm{d}t\\ \int- \frac{\mathrm{d}v}{v^2}&=\int k\,\mathrm{d}t\\ \frac{1}{v}&=kt+C \\ \text{$t=0$ 일 때 $v=40$ 이므로 } \\ \frac{1}{40}&=k\times 0+ C\\ C&=\frac{1}{40} \\ \text{따라서,} \\ v(t)&=\frac{1}{kt+C}=\frac{1}{kt+1/40}=\frac{40}{40kt+1}\tag{$*$} \\ \text{비례상수 $k$ 는 다음 조건으로 정해진다.} \\ v(10)&=20\\ 20&=\frac{40}{40k\times 10+1}\\ \frac{1}{2}&=\frac{1}{400k+1}\\ 400k+1&=2 \\ k&=\frac{1}{400} \end{aligned}

(b) kk 의 값을 (∗)(*) 에 대입하면,

v(t)=4040kt+1=40t/10+1v(t)=5 가 되는 t 의 값을 구하려 한다.5=40t/10+1t10+1=8t=70 sec\begin{aligned} v(t)&=\frac{40}{40kt+1}=\frac{40}{t/10+1}\\ \\ \text{$v(t)=5$ 가 되는 $t$ 의 값을 구하려 한다.} \\ 5&=\frac{40}{t/10+1}\\ \frac{t}{10}+1&=8 \\ t&=70\text{ sec} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

(a) The given differential equation is separable and we solve it accordingly.

dvdt=−k v2−dvv2=k dt∫−dvv2=∫k dt1v=kt+CAt t=0, v=40 so 140=k×0+CC=140Therefore,v(t)=1kt+C=1kt+1/40=4040kt+1The constant of proportionality k is determined byv(10)=2020=4040k×10+112=1400k+1400k+1=2k=1400(∗)\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-k\,v^2\\ -\frac{\mathrm{d}v}{v^2}&=k\,\mathrm{d}t\\ \int- \frac{\mathrm{d}v}{v^2}&=\int k\,\mathrm{d}t\\ \frac{1}{v}&=kt+C \\ \text{At $t=0$, $v=40$ so } \\ \frac{1}{40}&=k\times 0+ C\\ C&=\frac{1}{40} \\ \text{Therefore,} \\ v(t)&=\frac{1}{kt+C}=\frac{1}{kt+1/40}=\frac{40}{40kt+1}\tag{$*$} \\ \text{The constant of proportionality $k$ is determined by} \\ v(10)&=20\\ 20&=\frac{40}{40k\times 10+1}\\ \frac{1}{2}&=\frac{1}{400k+1}\\ 400k+1&=2 \\ k&=\frac{1}{400} \end{aligned}

(b) Subbing in the value of kk to (∗)(*),

v(t)=4040kt+1=40t/10+1We want to know the value of t that gives v(t)=5.5=40t/10+1t10+1=8t=70 sec\begin{aligned} v(t)&=\frac{40}{40kt+1}=\frac{40}{t/10+1}\\ \\ \text{We want to know the value of $t$ that gives $v(t)=5$.} \\ 5&=\frac{40}{t/10+1}\\ \frac{t}{10}+1&=8 \\ t&=70\text{ sec} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 24번
# 변수분리형 미분방정식활용보통자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.CLP-2 · 2.4절 · 28번대학 수준우리말 번역

유체 속에서 움직이는 물체의 처음 속도 vv 는 400 m/min 이다. 속도는 속도의 제곱에 비례하는 비율로 감소한다. 1분 후의 속도는 200 m/min 이다.

(a) 시간을 tt 라 할 때, 속도 v=v(t)v=v(t) 에 대한 미분방정식을 쓰세요. (b) 이 미분방정식을 푸세요. (c) 물체의 속도가 50 m/min 이 되는 때는 언제인지 구하세요.

영어 원문 보기

An object moving in a fluid has an initial velocity vv of 400 m/min. The velocity is decreasing at a rate proportional to the square of the velocity. After 1 minute the velocity is 200 m/min.

(a) Give a differential equation for the velocity v=v(t)v=v(t) where tt is time. (b) Solve this differential equation. (c) When will the object be moving at 50 m/min?

정답·풀이 보기

(a) 시각 tt 에서 속력의 변화율은 어떤 비례상수 kk 에 대해 −kv(t)2-kv(t)^2 이다 (kk 는 나중에 구하지만, 속력이 감소하므로 양수라고 가정한다). 따라서 v(t)v(t) 는 미분방정식 dvdt=−kv2\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-kv^2 을 만족시킨다. (b) 방정식 dvdt=−kv2\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-kv^2 은 변수분리형 미분방정식이므로 다음과 같이 보통의 방법으로 풀 수 있다.

dvdt=−kv2dv−v2=kdt∫−dvv2=∫kdt1v=kt+C시각 t=0 에서 v=400 이므로 C=1400 이다. 그러면:1v=kt+1400시각 t=1 에서 v=200 이므로 1200=k+1400k=1400따라서 (∗)에서,1v=t400+1400=t+1400v=400t+1(∗)\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-kv^2\\ \frac{\mathrm{d}v}{-v^2}&=k\mathrm{d}t\\ \int -\frac{\mathrm{d}v}{v^2} &=\int k\mathrm{d}t\\ \frac{1}{v}&=kt+C \\ \text{시각 $t=0$ 에서 $v=400$ 이므로 $C=\frac{1}{400}$ 이다. 그러면:} \\ \frac{1}{v}&=kt+\frac{1}{400}\tag{$*$} \\ \text{시각 $t=1$ 에서 $v=200$ 이므로 } \\ \frac{1}{200}&=k+\frac{1}{400}\\ k&=\frac{1}{400} \\ \text{따라서 ($*$)에서,} \\ \frac{1}{v}&=\frac{t}{400}+\frac{1}{400} = \frac{t+1}{400}\\ v&=\frac{400}{t+1} \end{aligned} (c) 속력이 50이 되는 때를 구하려면, (b)에서 얻은 식에 v=50v=50 을 대입하여 tt 에 대해 푼다.

50=400t+150(t+1)=400t+1=8t=7\begin{aligned} 50&=\frac{400}{t+1}\\ 50(t+1)&=400\\ t+1&=8\\ t&=7 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

(a) The rate of change of speed at time tt is −kv(t)2-kv(t)^2 for some constant of proportionality kk (to be determined–but we assume it is positive, since the speed is decreasing). So v(t)v(t) obeys the differential equation dvdt=−kv2\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-kv^2 . (b) The equation dvdt=−kv2\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-kv^2 is a separable differential equation, which we can solve in the usual way.

dvdt=−kv2dv−v2=kdt∫−dvv2=∫kdt1v=kt+CAt time t=0, v=400, so C=1400. Then:1v=kt+1400At time t=1, v=200, so 1200=k+1400k=1400Therefore, from (∗),1v=t400+1400=t+1400v=400t+1(∗)\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=-kv^2\\ \frac{\mathrm{d}v}{-v^2}&=k\mathrm{d}t\\ \int -\frac{\mathrm{d}v}{v^2} &=\int k\mathrm{d}t\\ \frac{1}{v}&=kt+C \\ \text{At time $t=0$, $v=400$, so $C=\frac{1}{400}$. Then:} \\ \frac{1}{v}&=kt+\frac{1}{400}\tag{$*$} \\ \text{At time $t=1$, $v=200$, so } \\ \frac{1}{200}&=k+\frac{1}{400}\\ k&=\frac{1}{400} \\ \text{Therefore, from ($*$),} \\ \frac{1}{v}&=\frac{t}{400}+\frac{1}{400} = \frac{t+1}{400}\\ v&=\frac{400}{t+1} \end{aligned} (c) To find when the speed is 50, we set v=50v=50 in the equation from (b) and solve for tt.

50=400t+150(t+1)=400t+1=8t=7\begin{aligned} 50&=\frac{400}{t+1}\\ 50(t+1)&=400\\ t+1&=8\\ t&=7 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 16번
# 변수분리형 미분방정식활용보통자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)