빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 미분방정식

변수분리형 미분방정식

x와 y를 양쪽으로 나누어 적분해 푼다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

31문제 · 1 / 2쪽

1.OpenStax 2권 · 4.3절 · 30번대학 수준우리말 번역

혈류 속 약물은 대부분 방정식 y′=cyy'=cy 에 따라 감소한다. 여기서 yy 는 혈류 속 약물의 농도이다. 약물의 반감기가 22 시간이라면, 66 시간 후에 처음 투여량의 어느 분수만큼이 남아 있나요?

영어 원문 보기

Most drugs in the bloodstream decay according to the equation y′=cy,y'=cy, where yy is the concentration of the drug in the bloodstream. If the half-life of a drug is 22 hours, what fraction of the initial dose remains after 66 hours?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 12번
# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.OpenStax 2권 · 4.3절 · 33번대학 수준우리말 번역

탱크에 물 100100 리터에 녹아 있는 소금 11 킬로그램이 들어 있다. 소금 0.10.1 kg/L 의 소금 용액이 22 L/min 의 속도로 탱크에 주입되고, 같은 속도로 빠져나간다. 시간 tt 에서의 소금 농도를 구하세요. 탱크 안은 잘 섞인다고 가정한다.

영어 원문 보기

A tank contains 11 kilogram of salt dissolved in 100100 liters of water. A salt solution of 0.10.1 kg salt/L is pumped into the tank at a rate of 22 L/min and is drained at the same rate. Solve for the salt concentration at time t.t. Assume the tank is well mixed.

정답·풀이 보기

y(t)=10−9e−x/50y(t)=10-9{e}^{-x/50}

원본 교재 풀이(영어)

y(t)=10−9e−x/50y(t)=10-9{e}^{-x/50}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.4절 · 11번
# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.OpenStax 2권 · 4.3절 · 34번대학 수준우리말 번역

1010 kg의 소금이 10001000 L의 물에 녹아 있는 탱크에 두 가지 소금물을 넣는다. 첫 번째 소금물은 농도가 0.20.2 kg/L이고 2020 L/min의 속도로 들어가며, 두 번째 소금물은 농도가 0.050.05 kg/L이고 55 L/min의 속도로 들어간다. 탱크에서는 2525 L/min의 속도로 물이 빠져나간다. 탱크 안은 잘 섞여 있다고 가정한다. 시각 tt 에서의 소금 농도를 구하세요.

영어 원문 보기

A tank containing 1010 kilograms of salt dissolved in 10001000 liters of water has two salt solutions pumped in. The first solution of 0.20.2 kg salt/L is pumped in at a rate of 2020 L/min and the second solution of 0.050.05 kg salt/L is pumped in at a rate of 55 L/min. The tank drains at 2525 L/min. Assume the tank is well mixed. Solve for the salt concentration at time t.t.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 17번
# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.OpenStax 2권 · 4.3절 · 35번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 앞의 문제에서, 과정이 시작되고 11 시간 후 탱크 안에 있는 소금의 양을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] For the preceding problem, find how much salt is in the tank 11 hour after the process begins.

답 쓰고 채점
kg
정답·풀이 보기

134.3134.3 킬로그램

원본 교재 풀이(영어)

134.3134.3 kilograms

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4장 복습 · 4번
# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.OpenStax 2권 · 4.3절 · 36번대학 수준우리말 번역

토리첼리의 법칙에 따르면, 바닥에 단면의 넓이가 AH{A}_{H} 인 구멍이 있고 바닥 위 물의 높이가 hh 인 물탱크에서, 탱크에서 흘러나오는 물의 부피의 변화율은 물의 높이의 제곱근에 비례하며 dVdt=−AH2gh\frac{dV}{dt}=-{A}_{H}\sqrt{2gh} 로 나타낸다. 여기서 gg 는 중력 가속도이다. dVdt=ATdhdt\frac{dV}{dt}={A}_{T}\frac{dh}{dt} 이고 AT{A}_{T} 는 탱크의 단면의 넓이임에 주의한다. 반지름이 24224\sqrt{2} 인 탱크에 반지름이 22 ft 인 원형 구멍이 있다고 가정하고, 물의 높이에 대한 초깃값 문제를 푸세요. 처음 물의 높이는 100100 ft 이다.

영어 원문 보기

Torricelli’s law states that for a water tank with a hole in the bottom that has a cross-sectional area of AH{A}_{H} with a height of water hh above the bottom of the tank, the rate of change of volume of water flowing from the tank is proportional to the square root of the height of water, according to dVdt=−AH2gh,\frac{dV}{dt}=-{A}_{H}\sqrt{2gh}, where gg is the acceleration due to gravity. Note that dVdt=ATdhdt,\frac{dV}{dt}={A}_{T}\frac{dh}{dt}, where AT{A}_{T} is the cross-sectional area of the tank. Solve the resulting initial-value problem for the height of water, assuming a tank of radius 24224\sqrt{2} with a circular hole of radius 22 ft. The initial height of water is 100100 ft.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.3절 · 11번
# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.OpenStax 2권 · 4.3절 · 37번대학 수준우리말 번역

앞의 문제에서, 탱크의 물이 모두 빠지는 데 걸리는 시간을 구하세요.

영어 원문 보기

For the preceding problem, determine how long it takes the tank to drain.

답 쓰고 채점
초
정답·풀이 보기

720720초

원본 교재 풀이(영어)

720720 seconds

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 25번
# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.OpenStax 2권 · 4.3절 · 38번대학 수준우리말 번역

아이스크림의 액체 베이스가 처음 온도 200∘F200^\circ \text{F} 인 상태에서, 일정한 온도 0∘F0^\circ \text{F} 의 냉동고에 넣어진다. 11 시간 후 아이스크림 베이스의 온도는 140∘F140^\circ \text{F} 로 내려갔다. 초깃값 문제를 세우고 풀어서 아이스크림의 온도를 구하세요.

영어 원문 보기

The liquid base of an ice cream has an initial temperature of 200∘F200^\circ \text{F} before it is placed in a freezer with a constant temperature of 0∘F.0^\circ \text{F}. After 11 hour, the temperature of the ice-cream base has decreased to 140∘F.140^\circ \text{F}. Formulate and solve the initial-value problem to determine the temperature of the ice cream.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.3절 · 23번
# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.OpenStax 2권 · 4.3절 · 39번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 아이스크림의 액체 베이스는 일정한 온도 20∘F20^\circ \text{F} 의 냉동고에 넣기 전 처음 온도가 210∘F210^\circ \text{F} 이다. 22 시간 후 아이스크림 베이스의 온도는 170∘F170^\circ \text{F} 로 내려갔다. 아이스크림은 몇 시간 후에 먹을 수 있게 되는지 구하세요. (30∘F30^\circ \text{F} 를 먹기에 가장 알맞은 온도라고 가정하세요.)

영어 원문 보기

[T] The liquid base of an ice cream has an initial temperature of 210∘F210^\circ \text{F} before it is placed in a freezer with a constant temperature of 20∘F.20^\circ \text{F}. After 22 hours, the temperature of the ice-cream base has decreased to 170∘F.170^\circ \text{F}. At what time will the ice cream be ready to eat? (Assume 30∘F30^\circ \text{F} is the optimal eating temperature.)

정답·풀이 보기

2424 시간 5757 분

원본 교재 풀이(영어)

2424 hours 5757 minutes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4장 복습 · 10번
# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
9.OpenStax 2권 · 4.3절 · 40번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 아이스크림 파티를 준비하고 있다. 바깥 온도는 80∘F80^\circ \text{F} 이고 아이스크림의 온도는 10∘F10^\circ \text{F} 이다. 1010 분 후 아이스크림의 온도가 10∘F10^\circ \text{F} 올랐다. 아이스크림이 40∘F?40^\circ \text{F?} 에서 녹는다면, 녹기 전까지 얼마나 더 기다릴 수 있는지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] You are organizing an ice cream social. The outside temperature is 80∘F80^\circ \text{F} and the ice cream is at 10∘F.10^\circ \text{F}. After 1010 minutes, the ice cream temperature has risen by 10∘F.10^\circ \text{F}. How much longer can you wait before the ice cream melts at 40∘F?40^\circ \text{F?}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 26번
# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
10.OpenStax 2권 · 4.3절 · 41번대학 수준우리말 번역

온도가 70∘C70^\circ \text{C} 인 커피 한 잔이 있고 방의 주변 온도는 20∘C20^\circ \text{C} 입니다. 냉각률 k 가 0.125k\,\text{가}\,0.125 라고 가정하고, 시간에 따른 커피의 온도를 나타내는 미분방정식을 세우고 푸세요.

영어 원문 보기

You have a cup of coffee at temperature 70∘C70^\circ \text{C} and the ambient temperature in the room is 20∘C.20^\circ \text{C}. Assuming a cooling rate k of 0.125,k\,\text{of}\,0.125, write and solve the differential equation to describe the temperature of the coffee with respect to time.

정답·풀이 보기

T(t)=20+50e−0.125tT(t)=20+50{e}^{-0.125t}

원본 교재 풀이(영어)

T(t)=20+50e−0.125tT(t)=20+50{e}^{-0.125t}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.3절 · 49번
# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
11.OpenStax 2권 · 4.3절 · 42번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 온도가 70∘C70^\circ \text{C} 인 커피 한 잔을 주변 온도가 0∘C0^\circ \text{C} 인 바깥에 내놓았다. 55 분 후 커피는 얼마나 더 차가워지는지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] You have a cup of coffee at temperature 70∘C70^\circ \text{C} that you put outside, where the ambient temperature is 0∘C.0^\circ \text{C}. After 55 minutes, how much colder is the coffee?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 37번
# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
12.OpenStax 2권 · 4.3절 · 43번대학 수준우리말 번역

온도가 70∘C70^\circ \text{C} 인 커피 한 잔이 있고, 여기에 커피 55 에 대해 우유 11 의 비율로 우유를 곧바로 붓는다. 우유의 처음 온도는 1∘C1^\circ \text{C} 이다. 이 커피의 온도를 나타내는 미분방정식을 세우고 푸세요.

영어 원문 보기

You have a cup of coffee at temperature 70∘C70^\circ \text{C} and you immediately pour in 11 part milk to 55 parts coffee. The milk is initially at temperature 1∘C.1^\circ \text{C}. Write and solve the differential equation that governs the temperature of this coffee.

정답·풀이 보기

T(t)=20+38.5e−0.125tT(t)=20+38.5{e}^{-0.125t}

원본 교재 풀이(영어)

T(t)=20+38.5e−0.125tT(t)=20+38.5{e}^{-0.125t}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.3절 · 41번
# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
13.OpenStax 2권 · 4.3절 · 44번대학 수준우리말 번역

온도가 70∘C70^\circ \text{C} 인 커피 한 잔을 10분 동안 식힌 다음, 앞의 문제와 같은 양의 1∘C1^\circ \text{C} 우유를 붓습니다. 10분 후 온도는 이전 잔의 온도와 어떻게 비교됩니까?

영어 원문 보기

You have a cup of coffee at temperature 70∘C,70^\circ \text{C}, which you let cool 1010 minutes before you pour in the same amount of milk at 1∘C1^\circ \text{C} as in the preceding problem. How does the temperature compare to the previous cup after 1010 minutes?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 19번
# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
14.OpenStax 2권 · 4.3절 · 45번대학 수준우리말 번역

연습문제 159—162에서는 냉각 상수를 k=−0.125k=-0.125 로 가정하고 시간 tt 의 단위는 분이라고 가정하세요.

초기 조건 y(0)=cy(0)=c 인 일반적인 문제 y′=ay+by'=ay+b 를 푸세요.

영어 원문 보기

For Exercises 159—162, assume a cooling constant of k=−0.125k=-0.125 and assume time tt is in minutes.

Solve the generic problem y′=ay+by'=ay+b with initial condition y(0)=c.y(0)=c.

정답·풀이 보기

y=(c+ba)eax−bay=\left(c+\frac{b}{a}\right){e}^{ax}-\frac{b}{a}

원본 교재 풀이(영어)

y=(c+ba)eax−bay=\left(c+\frac{b}{a}\right){e}^{ax}-\frac{b}{a}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4장 복습 · 10번
# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
15.OpenStax 2권 · 4.3절 · 47번대학 수준우리말 번역

LL 리터가 들어 있는 탱크에 처음 영양분의 양이 II 킬로그램이라고 가정하세요. 농도 cc kg/L 인 용액이 rr L/min 의 속도로 펌프로 들어온다 / 주입된다고 가정하세요. 탱크는 잘 섞여 있으며 rr L/min 의 속도로 배출됩니다. 탱크 안의 영양분의 양을 나타내는 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Assume an initial nutrient amount of II kilograms in a tank with LL liters. Assume a concentration of cc kg/L being pumped in at a rate of rr L/min. The tank is well mixed and is drained at a rate of rr L/min. Find the equation describing the amount of nutrient in the tank.

정답·풀이 보기

y(t)=cL+(I−cL)e−rt/Ly(t)=cL+(I-cL){e}^{-rt/L}

원본 교재 풀이(영어)

y(t)=cL+(I−cL)e−rt/Ly(t)=cL+(I-cL){e}^{-rt/L}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.3절 · 29번
# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
16.OpenStax 2권 · 4장 복습 · 21번대학 수준우리말 번역

자동차가 고속도로를 따라 달리며 a=5sin⁡(πt)a=5\sin (\pi t) 에 따라 가속하고 있다. 여기서 tt 는 분 단위의 시간을 나타낸다. 자동차의 처음 속력이 6060 mph 라고 할 때, 임의의 시간 tt 에서의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

A car drives along a freeway, accelerating according to a=5sin⁡(πt),a=5\sin (\pi t), where tt represents time in minutes. Find the velocity at any time t,t, assuming the car starts with an initial speed of 6060 mph.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.3절 · 41번
# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
17.OpenStax 2권 · 4장 복습 · 22번대학 수준우리말 번역

질량이 22 킬로그램인 공을 위쪽으로 88 m/s 의 속도로 공중에 던진다. 중력이 g=9.8 m/s2g=9.8{\,\text{m/s}}^{2} 로 주어진다고 할 때, 공이 공중에 머무르는 시간을 정확히 구하세요.

영어 원문 보기

You throw a ball of mass 22 kilograms into the air with an upward velocity of 88 m/s. Find exactly the time the ball will remain in the air, assuming that gravity is given by g=9.8 m/s2.g=9.8{\,\text{m/s}}^{2}.

답 쓰고 채점
초
정답·풀이 보기

4049\frac{40}{49} 초

원본 교재 풀이(영어)

4049\frac{40}{49} second

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4장 복습 · 20번
# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
18.OpenStax 2권 · 4장 복습 · 24번대학 수준우리말 번역

같은 질량 55 킬로그램인 공을 같은 높이의 같은 비행기 창문에서 떨어뜨리되, 이번에는 공의 속도에 비례하는 항력이 작용하고 비례상수는 33 이며 공이 종단 속도에 도달한다고 가정한다. 떨어진 거리를 시간의 함수로 구하세요. 공이 땅에 닿기까지 시간이 얼마나 걸리는지 구하세요.

영어 원문 보기

You drop the same ball of mass 55 kilograms out of the same airplane window at the same height, except this time you assume a drag force proportional to the ball’s velocity, using a proportionality constant of 33 and the ball reaches terminal velocity. Solve for the distance fallen as a function of time. How long does it take the ball to reach the ground?

정답·풀이 보기

x(t)=5000+2459−493t−2459e−5/3t,t=307.8x(t)=5000+\frac{245}{9}-\frac{49}{3}t-\frac{245}{9}{e}^{-5/3t},t=307.8 초

원본 교재 풀이(영어)

x(t)=5000+2459−493t−2459e−5/3t,t=307.8x(t)=5000+\frac{245}{9}-\frac{49}{3}t-\frac{245}{9}{e}^{-5/3t},t=307.8 seconds

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4장 복습 · 28번
# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
19.OpenStax 2권 · 4장 복습 · 25번대학 수준우리말 번역

어떤 약물을 환자에게 2424 시간마다 투여하며, 이 약물은 체내에 남아 있는 양에 비례하는 속도로 제거되며 비례상수는 0.20.2 이다. 환자의 혈류에 항상 기준 수준인 55 mg 이 있어야 한다면, 투여량은 얼마나 커야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A drug is administered to a patient every 2424 hours and is cleared at a rate proportional to the amount of drug left in the body, with proportionality constant 0.2.0.2. If the patient needs a baseline level of 55 mg to be in the bloodstream at all times, how large should the dose be?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.3절 · 21번
# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
20.OpenStax 2권 · 4장 복습 · 26번대학 수준우리말 번역

10001000리터짜리 탱크에 순수한 물이 들어 있고, 농도가 0.20.2 kg/L인 소금물을 분당 11 L의 비율로 탱크에 넣으면서 같은 비율로 빼내고 있다. 시각 tt 에서 탱크 안의 소금의 총량을 구하세요.

영어 원문 보기

A 10001000-liter tank contains pure water and a solution of 0.20.2 kg salt/L is pumped into the tank at a rate of 11 L/min and is drained at the same rate. Solve for total amount of salt in the tank at time t.t.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

T(t)=200(1−e−t/1000)T(t)=200(1-{e}^{-t/1000})

원본 교재 풀이(영어)

T(t)=200(1−e−t/1000)T(t)=200(1-{e}^{-t/1000})

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4장 복습 · 24번
# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)