문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

미분법 전체 문제

이 단원의 모든 연습문제입니다. 소단원으로 좁혀 보려면 아래 꼬리표를 누르세요.

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

29문제 · 2 / 2쪽

21.APEX · 2.7절 · 4번우리말 번역

점 $(1,10)$ 이 $y=f(x)$ 의 그래프 위에 있고 $f\,'(1) = 5$ 일 때, $y=f^{-1}(x)$ 에 대해 무엇을 말할 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

If $(1,10)$ lies on the graph of $y=f(x)$ and $f\,'(1) = 5$ , what can be said about $y=f^{-1}(x)$ ?

정답·풀이 보기

점 $(10,1)$ 은 $y=f^{-1}(x)$ 의 그래프 위에 있고( $f$ 가 역함수를 갖는다고 가정한다) $(f^{-1})'(10) = 1/5$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The point $(10,1)$ lies on the graph of $y=f^{-1}(x)$ (assuming $f$ is invertible) and $(f^{-1})'(10) = 1/5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 20번

# 역함수의 미분법개념 확인자동 분류

22.APEX · 3.4절 · 1번우리말 번역

$(0,1)$ 에서 아래로 볼록하고 $(1,2)$ 에서 위로 볼록한 함수 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Sketch a graph of a function $f(x)$ that is concave up on $(0,1)$ and is concave down on $(1,2)$ .

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.4절 · 3번

# 이계도함수와 오목·볼록개념 확인자동 분류

23.APEX · 3.4절 · 2번우리말 번역

다음을 만족하는 함수 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요.

(a) $(0,1)$ 에서 증가하고 아래로 볼록하다, (b) $(1,2)$ 에서 증가하고 위로 볼록하다, (c) $(2,3)$ 에서 감소하고 위로 볼록하다, (d) $(3,4)$ 에서 증가하고 위로 볼록하다.

영어 원문 보기

Sketch a graph of a function $f(x)$ that is:

(a) Increasing, concave up on $(0,1)$ , (b) increasing, concave down on $(1,2)$ , (c) decreasing, concave down on $(2,3)$ and (d) increasing, concave down on $(3,4)$ .

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.6절 · 10번

# 이계도함수와 오목·볼록개념 확인자동 분류

24.APEX · 3.4절 · 3번우리말 번역

함수가 $(0,\infty)$ 에서 증가하고 위로 볼록하면서 수평 점근선 $y=1$ 을 가질 수 있는가? 가능하다면 그러한 함수의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Is is possible for a function to be increasing and concave down on $(0,\infty)$ with a horizontal asymptote of $y=1$ ? If so, give a sketch of such a function.

정답·풀이 보기

예; 답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes; Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.4절 · 2번

# 이계도함수와 오목·볼록개념 확인자동 분류

25.APEX · 3.4절 · 4번우리말 번역

함수가 $(0,\infty)$ 에서 증가하고 아래로 볼록하면서 수평 점근선 $y=1$ 을 가질 수 있습니까? 가능하다면 그러한 함수의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Is is possible for a function to be increasing and concave up on $(0,\infty)$ with a horizontal asymptote of $y=1$ ? If so, give a sketch of such a function.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

No.

원본 교재 풀이(영어)

No.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.4절 · 1번

# 이계도함수와 오목·볼록개념 확인자동 분류

26.APEX · 4.2절 · 1번우리말 번역

참/거짓: 음함수 미분은 “관련 변화율” 유형의 문제를 풀 때 자주 사용된다.

영어 원문 보기

T/F: Implicit differentiation is often used when solving “related rates” type problems.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 15번

# 관련 변화율개념 확인자동 분류

27.APEX · 4.2절 · 2번우리말 번역

참/거짓: 관련 변화율에 대한 학습은 표준 경찰관 훈련의 일부이다.

영어 원문 보기

T/F: A study of related rates is part of the standard police officer training.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 3번

# 관련 변화율개념 확인자동 분류

28.CLP-1 · 2.7절 · 3번우리말 번역

참 또는 거짓: $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^x\}=xe^{x-1}$

영어 원문 보기

True or false: $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^x\}=xe^{x-1}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

거듭제곱 법칙에 따르면 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{x^n\}=nx^{n-1}$ 이다. 이 등식에서는 변수가 밑이고 지수가 상수이다. 함수 $e^x$ 에서는 이와 반대로 변수가 지수이고 밑이 상수이다. 따라서 거듭제곱 법칙은 적용되지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

The power rule tells us that $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{x^n\}=nx^{n-1}$ . In this equation, the variable is the base, and the exponent is a constant. In the function $e^x$ , it's reversed: the variable is the exponent, and the base it a constant. So, the power rule does not apply.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.7절 · 2번

# 지수함수와 로그함수의 미분개념 확인기본자동 분류

29.Active Calculus · 2.4절 · 9번우리말 번역

$f(x) = \sin(x) \cot(x)$ 라고 하자.

(a) 곱의 미분법을 이용하여 $f'(x)$ 를 구하세요. (b) 참 또는 거짓: 모든 실수 $x$ 에 대해 $f(x) = \cos(x)$ 이다. (c) (a)에서 구한 함수가 사인함수와 부호가 반대인 함수에 거의 가깝지만 완전히 같지는 않은 이유를 설명하세요. (힌트: (a)의 모든 삼각함수를 사인과 코사인으로 바꾸어 간단히 하세요. $f$ 의 정의역과 $f'$ 의 정의역을 신중하게 생각하세요.)

영어 원문 보기

Let $f(x) = \sin(x) \cot(x)$ .

(a) Use the product rule to find $f'(x)$ . (b) True or false: for all real numbers $x$ , $f(x) = \cos(x)$ . (c) Explain why the function that you found in (a) is almost the opposite of the sine function, but not quite. (Hint: convert all of the trigonometric functions in (a) to sines and cosines, and work to simplify. Think carefully about the domain of $f$ and the domain of $f'$ .)

정답·풀이 보기

(a) $f(x) = \sin(x) \cot(x)$ 이므로 곱의 미분법에 의해 $f'(x) = \sin(x) \cdot (-\csc^2(x)) + \cot(x) \cdot \cos(x)$ 이다. (b) 거짓이다. $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ 이므로 $f(x) = \sin(x) \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ 로 쓸 수 있다. 여기서 분자와 분모의 $\sin(x)$ 를 “약분”하고 싶어지기 쉽다. 그러나 분모에 $\sin(x)$ 가 있으므로 $f$ 는 모든 정수 $k$ 에 대해 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 에서 정의되지 않는다. 다시 말해 $f$ 의 정의역은 $\frac{\pi}{2}$ 의 홀수 배수를 제외한 모든 실수이다. 따라서 $\frac{\pi}{2}$ 의 홀수 배수를 제외한 모든 실수에 대해서는 $f(x) = \cos(x)$ 라고 할 수 있다. 하지만 $x$ 의 모든 값에 대해 $f(x) = \cos(x)$ 인 것은 아니다. (c) (a)의 결과에서 $\csc(x)$ 와 $\cot(x)$ 를 사인함수와 코사인함수를 포함한 식으로 바꾸면 다음과 같다. $\begin{aligned}f'(x) &= \sin(x) \cdot (-\csc^2(x)) + \cot(x) \cdot \cos(x) \\ &= \sin(x) \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2(x)}\right) + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \cdot \cos(x)\end{aligned}$ 어떤 정수 $k$ 값에 대해 $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ 이면 다음이 성립한다. $f'(x) = -\frac{1}{\sin(x)} + \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} = \frac{\cos^2(x)-1}{\sin(x)}\,.$ 삼각함수의 기본 항등식에 의해 $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ 이므로 $\cos^2(x)-1 = -\sin^2(x)$ 이다. 따라서 어떤 정수 $k$ 값에 대해 $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ 이면 $f'(x) = \frac{-\sin^2(x)}{\sin(x)} = -\sin(x)$ 이다. 이 등식은 어떤 정수 $k$ 값에 대해 $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ 일 때만 성립한다. 그 이유는 그 $x$ 값들이 원래 함수 $f$ 의 정의역에 속하지 않기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since $f(x) = \sin(x) \cot(x)$ , by the product rule we know that $f'(x) = \sin(x) \cdot (-\csc^2(x)) + \cot(x) \cdot \cos(x)$ . (b) False. Since $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ , we can write $f(x) = \sin(x) \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ . From here, it is tempting to “cancel” the $\sin(x)$ term in the numerator and denominator. However, note that because of the $\sin(x)$ in the denominator, $f$ is not defined for $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ for any integer $k$ . In other words, the domain of $f$ is all real numbers except odd multiples of $\frac{\pi}{2}$ . Thus, we can say that $f(x) = \cos(x)$ for all real numbers except odd multiples of $\frac{\pi}{2}$ . But it is not the case that $f(x) = \cos(x)$ for every value of $x$ . (c) Taking our result from (a) and converting $\csc(x)$ and $\cot(x)$ to expressions involving the sine and cosine functions, we have $\begin{aligned}f'(x) &= \sin(x) \cdot (-\csc^2(x)) + \cot(x) \cdot \cos(x) \\ &= \sin(x) \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2(x)}\right) + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \cdot \cos(x)\end{aligned}$ Provided that $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ for some integer value of $k$ , it follows that $f'(x) = -\frac{1}{\sin(x)} + \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} = \frac{\cos^2(x)-1}{\sin(x)}\,.$ By the Fundamental Trigonometric Identity, recall that $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ , and thus $\cos^2(x)-1 = -\sin^2(x)$ . Hence, for $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ for some integer value of $k$ , we have $f'(x) = \frac{-\sin^2(x)}{\sin(x)} = -\sin(x)$ . Again, this equality holds only for $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ for some integer value of $k$ because those values of $x$ are not in the domain of the original function $f$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.4절 · 8번

# 삼각함수의 미분개념 확인자동 분류