적분법 전체 문제

부정적분은 미분하면 $\sin x$가 되는 함수예요. $(\cos x)'=-\sin x$이므로 부호가 반대인 $-\cos x$를 생각해요.

확인해 봐요. $(-\cos x)'=-(-\sin x)=\sin x$로 맞아요. 상수는 미분하면 $0$이므로 적분상수 $C$를 붙여요. $$\int\sin x\,dx=-\cos x+C$$

$\sin\theta$의 부정적분 하나는 $F(\theta)=-\cos\theta$예요. 미분하면 $\sin\theta$가 되는 것을 확인할 수 있어요.

기본정리 2부에 의해 $\int_0^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta=F\left(\frac\pi2\right)-F(0)$예요.

$F\left(\frac\pi2\right)=-\cos\frac\pi2=0$, $F(0)=-\cos0=-1$이므로 $0-(-1)=1$이에요.

$\frac{1}{2x}=\frac12\cdot\frac1x$이므로 상수배를 앞으로 꺼내요. $\int\frac{dx}{2x}=\frac12\int\frac1x\,dx$예요.

$\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$이므로 $\frac12\ln|x|+C$예요. $x$가 음수일 수도 있으므로 절댓값을 붙여요.

왜 이렇게 할까요? 분모 안의 식 $x^2+1$ 을 $u$ 로 놓으면 그 도함수 $2x$ 가 분자에 (상수배로) 들어 있어서 식이 간단해져요.

$du$ 를 구해요. $u=x^2+1$ 의 양변을 미분하면 $du=2x\,dx$, 즉 $x\,dx=\frac12du$ 예요.

치환해서 적분해요. $$\int\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+1}}=\frac12\int u^{-1/2}du=\frac12\cdot 2u^{1/2}+C=\sqrt{u}+C$$

$x$ 로 되돌려요. $u=x^2+1$ 을 다시 넣으면 $\sqrt{x^2+1}+C$ 예요.

곡선 $y=f(x)$ 의 $x=a$ 부터 $b$ 까지의 길이는 $L=\int_a^b\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx$ 예요.

$y'=5$ 이므로 $\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$ 이에요.

$$L=\int_0^2\sqrt{26}\,dx=\sqrt{26}\,[x]_0^2=2\sqrt{26}$$

검산해요. 두 점 $(0,0)$, $(2,10)$ 사이의 거리는 $\sqrt{2^2+10^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$ 으로 같아요.

왜 이렇게 할까요? 부분적분 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 에서 $u$ 를 고르는 기준이 필요해요. 흔히 로그·역삼각·다항·삼각·지수 순서(앞쪽일수록 $u$ 로 놓음)로 고르는 지침을 써요.

이 문제에 적용해요. 곱해진 두 함수는 $e^{3x}$ (지수함수)와 $\sin(2x)$ (삼각함수)예요. 지침에서 삼각함수가 지수함수보다 앞이므로 $u=\sin(2x)$, $dv=e^{3x}dx$ 로 놓아요.

참고. 이 적분은 두 번 부분적분하면 처음 적분이 다시 나타나는 꼴이라, 어느 쪽을 $u$ 로 잡아도 두 번 모두 같은 방식으로 잡기만 하면 풀려요.

왜 이렇게 할까요? $x$ 와 $e^{-x^2}$ 의 곱이라 부분적분이 떠오르지만, $e^{-x^2}$ 의 속함수 $-x^2$ 를 미분하면 $-2x$ 로 $x$ 와 닮았어요. 이럴 땐 치환적분이 훨씬 간단해요.

치환해요. $u=-x^2$ 으로 놓으면 $du=-2x\,dx$, 즉 $x\,dx=-\frac12du$ 예요.

적분해요. $$\int xe^{-x^2}dx=-\frac12\int e^u\,du=-\frac12e^u+C$$

$x$ 로 되돌려요. $$-\frac{e^{-x^2}}{2}+C$$ 미분하면 $-\frac12e^{-x^2}\cdot(-2x)=xe^{-x^2}$ 으로 확인돼요.