문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

부분적분법

∫f g' = f g − ∫f' g 를 써서 곱의 꼴 함수를 적분한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

5문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 3.1절 · 5번우리말 풀이

부분적분법을 쓸 때는 어느 식을 $u$ 로 놓을지 신중히 골라야 해요. 다음 각 문제에서 이 절의 지침을 써서 $u$ 를 고르세요. 적분을 계산하지는 마세요.

$\int {e}^{3x}\sin (2x)dx$

영어 원문 보기

In using the technique of integration by parts, you must carefully choose which expression is u. For each of the following problems, use the guidelines in this section to choose u. Do not evaluate the integrals.

$\int {e}^{3x}\sin (2x)dx$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$u$ 는 미분했을 때 간단해지거나 같은 꼴로 돌아오는 쪽으로 고르고, 보통 삼각함수를 지수함수보다 먼저(=u 로) 놓아요.

1
왜 이렇게 할까요? 부분적분 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 에서 $u$ 를 고르는 기준이 필요해요. 흔히 로그·역삼각·다항·삼각·지수 순서(앞쪽일수록 $u$ 로 놓음)로 고르는 지침을 써요.
2
이 문제에 적용해요. 곱해진 두 함수는 $e^{3x}$ (지수함수)와 $\sin(2x)$ (삼각함수)예요. 지침에서 삼각함수가 지수함수보다 앞이므로 $u=\sin(2x)$ , $dv=e^{3x}dx$ 로 놓아요.
3
참고. 이 적분은 두 번 부분적분하면 처음 적분이 다시 나타나는 꼴이라, 어느 쪽을 $u$ 로 잡아도 두 번 모두 같은 방식으로 잡기만 하면 풀려요.

답

$u=\sin(2x)$ (그러면 $dv=e^{3x}dx$ )

자주 하는 실수

두 번째 부분적분에서 $u$ 와 $dv$ 의 역할을 바꿔서 처음 식으로 되돌아가 버려요.

원본 교재 풀이(영어)

$u=\sin (2x)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 41번

# 부분적분법개념 확인기본

2.APEX · 6.2절 · 1번우리말 번역

참/거짓: 부분적분은 함수의 곱을 포함하는 피적분함수를 계산할 때 유용하다.

영어 원문 보기

T/F: Integration by Parts is useful in evaluating integrands that contain products of functions.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 11번

# 부분적분법개념 확인자동 분류

3.APEX · 6.2절 · 2번우리말 번역

참/거짓: 부분적분은 "연쇄 법칙의 반대"로 생각할 수 있다.

영어 원문 보기

T/F: Integration by Parts can be thought of as the “opposite of the Chain Rule.”

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.2절 · 3번

# 부분적분법개념 확인자동 분류

4.APEX · 6.2절 · 3번우리말 번역

“라이에이트”는 무엇에 유용한가요?

영어 원문 보기

For what is “LIATE” useful?

정답·풀이 보기

피적분함수에서 어떤 함수를 “ $u$ ”로 놓고 어떤 함수를 “ $dv$ ”로 놓을지 정하는 데 유용하다.

원본 교재 풀이(영어)

Determining which functions in the integrand to set equal to “ $u$ ” and which to set equal to “ $dv$ ”.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 5.4절 · 15번

# 부분적분법개념 확인자동 분류

5.APEX · 6.2절 · 4번우리말 번역

참/거짓: 부분적분을 한 결과로 나온 적분에서 또다시 부분적분이 필요해 보인다면, 처음에 " $u$ "를 잘못 선택한 것이다.

영어 원문 보기

T/F: If the integral that results from Integration by Parts appears to also need Integration by Parts, then a mistake was made in the original choice of “ $u$ ”.

정답·풀이 보기

거짓; 적분을 완전히 계산하기 위해 부분적분을 여러 번 사용해야 하는 경우는 드물지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

F; it is not uncommon to need to use Integration by Parts several times to fully evaluate an integral.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 37번

# 부분적분법개념 확인자동 분류