부분적분법 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 2권 · 3.1절 · 48번우리말 번역

부분적분 기법을 사용하여 다음 공식을 유도하세요. n 은 양의 정수라고 가정합니다. 이 공식들은 각 경우에 x 항의 지수가 1만큼 낮아지므로 점화식 공식이라고 합니다. 두 번째 적분이 원래의 적분보다 더 간단합니다.

$\int {x}^{n}{e}^{x}dx={x}^{n}{e}^{x}-n\int {x}^{n-1}{e}^{x}dx$

영어 원문 보기

Derive the following formulas using the technique of integration by parts. Assume that n is a positive integer. These formulas are called reduction formulas because the exponent in the x term has been reduced by one in each case. The second integral is simpler than the original integral.

$\int {x}^{n}{e}^{x}dx={x}^{n}{e}^{x}-n\int {x}^{n-1}{e}^{x}dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 49번

# 부분적분법활용자동 분류

2.OpenStax 2권 · 3.1절 · 49번우리말 번역

부분적분 기법을 사용하여 다음 공식을 유도하세요. n 은 양의 정수라고 가정합니다. 이 공식들은 각 경우에 x 항의 지수가 1만큼 낮아지므로 점화식 공식이라고 합니다. 두 번째 적분이 원래의 적분보다 더 간단합니다.

$\int {x}^{n}\cos x\,dx={x}^{n}\sin x-n\int {x}^{n-1}\sin x\,dx$

영어 원문 보기

Derive the following formulas using the technique of integration by parts. Assume that n is a positive integer. These formulas are called reduction formulas because the exponent in the x term has been reduced by one in each case. The second integral is simpler than the original integral.

$\int {x}^{n}\cos x\,dx={x}^{n}\sin x-n\int {x}^{n-1}\sin x\,dx$

정답·풀이 보기

답은 다양하다

원본 교재 풀이(영어)

Answers vary

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 55번

# 부분적분법활용자동 분류

3.OpenStax 2권 · 3.1절 · 62번우리말 번역

직선을 따라 움직이는 입자의 t초 후 속도가 $v(t)={t}^{2}{e}^{-t}$ 이다. 처음 2초 동안 이 입자는 얼마나 멀리 이동합니까? (단위는 피트라고 가정하고 정확한 값으로 답하세요.)

영어 원문 보기

A particle moving along a straight line has a velocity of $v(t)={t}^{2}{e}^{-t}$ after t sec. How far does it travel in the first 2 sec? (Assume the units are in feet and express the answer in exact form.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 67번

# 부분적분법활용자동 분류

4.OpenStax 2권 · 3.1절 · 65번우리말 번역

$\frac{11\pi }{2}\le x\le \frac{13\pi }{2}$ 에서 곡선 $y=x\cos x$ 와 x축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요. (답은 정확한 값으로 나타내세요.)

영어 원문 보기

Find the area of the region enclosed by the curve $y=x\cos x$ and the x-axis for

$\frac{11\pi }{2}\le x\le \frac{13\pi }{2}.$ (Express the answer in exact form.)

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$12\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$12\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 63번

# 부분적분법활용자동 분류

5.OpenStax 2권 · 3.1절 · 66번우리말 번역

곡선 $y=\ln x,$ x축, 수직선 $x={e}^{2}$ 으로 유계인 영역을 x축을 중심으로 회전시켜 만든 입체의 부피를 구하세요. (답은 정확한 값으로 나타내세요.)

영어 원문 보기

Find the volume of the solid generated by revolving the region bounded by the curve $y=\ln x,$ the x-axis, and the vertical line $x={e}^{2}$ about the x-axis. (Express the answer in exact form.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.7절 · 10번

# 부분적분법활용자동 분류

6.OpenStax 2권 · 3.1절 · 67번우리말 번역

곡선 $y=4\cos x$ 와 x축, $\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{3\pi }{2}$ 로 유계인 영역을 x축을 중심으로 회전시켜 만든 입체의 부피를 구하세요. (답은 정확한 값으로 나타내세요.)

영어 원문 보기

Find the volume of the solid generated by revolving the region bounded by the curve $y=4\cos x$ and the x-axis, $\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{3\pi }{2},$ about the x-axis. (Express the answer in exact form.)

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$8{\pi }^{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$8{\pi }^{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 65번

# 부분적분법활용자동 분류

7.OpenStax 2권 · 3.1절 · 68번우리말 번역

제1사분면에서 $y={e}^{x}$ 과 x축으로 둘러싸인 영역을 $x=0$ 부터 $x=\ln (7)$ 까지 y축을 중심으로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 구하세요. (답은 정확한 값으로 나타내세요.)

영어 원문 보기

Find the volume of the solid generated by revolving the region in the first quadrant bounded by $y={e}^{x}$ and the x-axis, from $x=0$ to $x=\ln (7),$ about the *y-*axis. (Express the answer in exact form.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.7절 · 2번

# 부분적분법활용자동 분류

8.CLP-2 · 1.7절 · 27번우리말 번역

$R$ 을 구간 $0 \le x \le 3$ 에서 곡선 $T(x) = \sqrt{x}e^{3x}$ 과 $B(x) = \sqrt{x}(1+2x)$ 사이의 영역이라 하자. (모든 $0\le x\le 3$ 에 대해 $T(x)\ge B(x)$ 임이 알려져 있다.) $R$ 을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 만든 입체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $R$ be the region between the curves $T(x) = \sqrt{x}e^{3x}$ and $B(x) = \sqrt{x}(1+2x)$ on the interval $0 \le x \le 3$ . (It is true that $T(x)\ge B(x)$ for all $0\le x\le 3$ .) Compute the volume of the solid formed by rotating $R$ about the $x$ -axis.

정답·풀이 보기

$x$ 의 값을 고정하고 $x$ 축을 중심으로 회전시키면, 안쪽 반지름이 $B(x)$ 이고 바깥쪽 반지름이 $T(x)$ 인 워셔(속이 빈 원판)가 만들어지므로 그 넓이는 $\pi [T(x)^2 - B(x)^2]$ 이다. 이 함수를 $x=0$ 에서 $x=3$ 까지 적분하여 전체 부피 $V$ 를 구한다:

$\begin{aligned} V &= \int_0^3 \pi [T(x)^2 - B(x)^2]\,\mathrm{d}x \\ &= \pi \int_0^3 (\sqrt{x}e^{3x})^2 - (\sqrt{x}(1+2x))^2 \,\mathrm{d}x \\ &= \pi \int_0^3 \big( xe^{6x} - (x+4x^2+4x^3) \big) \,\mathrm{d}x \\ &= \pi \int_0^3 xe^{6x} \,\mathrm{d}x - \pi \Big[ \frac{x^2}{2} + \frac{4x^3}{3} + x^4\Big]_{0}^3 \\ &= \pi \int_0^3 xe^{6x} \,\mathrm{d}x - \pi \Big[\frac{3^2}{2} + \frac{4\cdot3^3}{3} + 3^4\Big] \end{aligned}$

첫 번째 적분에는 $u(x) = x$ , $\mathrm{d}v = e^{6x}\mathrm{d}x$ 로 놓고 부분적분을 사용한다. 그러면 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ 이고 $v(x)=\frac16e^{6x}$ 이다:

$\begin{aligned} \int_0^3 xe^{6x} \,\mathrm{d}x &=\underbrace{ \frac{xe^{6x}}{6}}_{uv}\bigg|_{0}^3 - \int_0^3 \underbrace{\frac{1}{6}e^{6x} \,\mathrm{d}x }_{v\mathrm{d}u}\\ &= \frac{3e^{18}}{6} - 0 - \frac{1}{36} e^{6x} \bigg|_{0}^3 = \frac{e^{18}}{2} - \bigg( \frac{e^{18}}{36} - \frac1{36} \bigg). \end{aligned}$

따라서 전체 부피는

$\begin{aligned} V = \pi \bigg[\frac{e^{18}}{2} - \bigg( \frac{e^{18}}{36} - \frac1{36} \bigg) \bigg] - \pi \bigg[\frac{3^2}{2} + \frac{4\cdot3^3}{3} + 3^4 \bigg] = \pi \bigg( \frac{17 e^{18}-4373}{36} \bigg). \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

For a fixed value of $x$ , if we rotate about the $x$ -axis, we form a washer of inner radius $B(x)$ and outer radius $T(x)$ and hence of area $\pi [T(x)^2 - B(x)^2]$ . We integrate this function from $x=0$ to $x=3$ to find the total volume $V$ :

$\begin{aligned} V &= \int_0^3 \pi [T(x)^2 - B(x)^2]\,\mathrm{d}x \\ &= \pi \int_0^3 (\sqrt{x}e^{3x})^2 - (\sqrt{x}(1+2x))^2 \,\mathrm{d}x \\ &= \pi \int_0^3 \big( xe^{6x} - (x+4x^2+4x^3) \big) \,\mathrm{d}x \\ &= \pi \int_0^3 xe^{6x} \,\mathrm{d}x - \pi \Big[ \frac{x^2}{2} + \frac{4x^3}{3} + x^4\Big]_{0}^3 \\ &= \pi \int_0^3 xe^{6x} \,\mathrm{d}x - \pi \Big[\frac{3^2}{2} + \frac{4\cdot3^3}{3} + 3^4\Big] \end{aligned}$

For the first integral, we use integration by parts with $u(x) = x$ , $\mathrm{d}v = e^{6x}\mathrm{d}x$ , so that $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ and $v(x)=\frac16e^{6x}$ :

$\begin{aligned} \int_0^3 xe^{6x} \,\mathrm{d}x &=\underbrace{ \frac{xe^{6x}}{6}}_{uv}\bigg|_{0}^3 - \int_0^3 \underbrace{\frac{1}{6}e^{6x} \,\mathrm{d}x }_{v\mathrm{d}u}\\ &= \frac{3e^{18}}{6} - 0 - \frac{1}{36} e^{6x} \bigg|_{0}^3 = \frac{e^{18}}{2} - \bigg( \frac{e^{18}}{36} - \frac1{36} \bigg). \end{aligned}$

Therefore, the total volume is

$\begin{aligned} V = \pi \bigg[\frac{e^{18}}{2} - \bigg( \frac{e^{18}}{36} - \frac1{36} \bigg) \bigg] - \pi \bigg[\frac{3^2}{2} + \frac{4\cdot3^3}{3} + 3^4 \bigg] = \pi \bigg( \frac{17 e^{18}-4373}{36} \bigg). \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.7절 · 25번

# 부분적분법활용도전자동 분류