문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

정적분과 급수(구분구적법)

직사각형 넓이의 합(리만 합)의 극한을 정적분으로 바꾸거나 넓이를 근사한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

6문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 5.2절 · 6번우리말 풀이

다음 문제에서 $L_n$ 또는 $R_n$ 이 주어졌을 때, $n\to\infty$ 일 때의 극한을 정적분으로 나타내고 적분 구간을 정하세요.

$R_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, given L_n or R_n as indicated, express their limits as $n\to \infty$ as definite integrals, identifying the correct intervals.

${R}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}$

풀이 보기

$\frac1n$ 은 폭 $\Delta x$ , $\frac in$ 은 점 $x_i$ 로 읽어요.

1
오른쪽 끝점 합은 $R_n=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x$ 꼴이에요. 주어진 식과 비교해 각 부분이 무엇인지 읽어요.
2
$\Delta x=\frac1n$ 이고 $x_i=\frac in$ 이에요. 구간이 $[a,b]$ 이면 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ , $x_i=a+i\Delta x$ 이므로 $b-a=1$ , $a=0$ 으로 읽을 수 있어요. 즉 구간은 $[0,1]$ 이에요.
3
그러면 $x_i=\frac in$ 에서의 함숫값이 $\frac in$ 이므로 $f(x)=x$ 예요.
4
따라서 $\lim_{n\to\infty}R_n=\int_0^1 x\,dx$ 예요. (값은 $\frac12$ 이에요.)

답

$\int_0^1 x\,dx$ (구간 $[0,1]$ )

자주 하는 실수

$\frac1n$ 을 보고 구간의 끝을 $\frac1n$ 이라 착각하기 쉬워요. $\frac1n$ 은 한 칸의 폭이에요.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{1}xdx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 29번

# 정적분과 급수(구분구적법)개념 확인보통

2.APEX · 5.3절 · 1번우리말 번역

미적분의 기본적인 기법은 근삿값을 정교하게 다듬어 정확한 답을 얻기 위해 _____ 을(를) 사용하는 것이다.

영어 원문 보기

A fundamental calculus technique is to use _____ to refine approximations to get an exact answer.

정답·풀이 보기

극한

원본 교재 풀이(영어)

limits

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.3절 · 2번

# 정적분과 급수(구분구적법)개념 확인자동 분류

3.APEX · 5.3절 · 2번우리말 번역

합 기호

$\displaystyle \sum_{i=7}^{14} (48i-201)$

에서 위끝은 무엇인가요?

영어 원문 보기

What is the upper bound in the summation

$\displaystyle \sum_{i=7}^{14} (48i-201)$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.3절 · 3번

# 정적분과 급수(구분구적법)개념 확인자동 분류

4.APEX · 5.3절 · 3번우리말 번역

이 절에서는 어떤 기하학적 도형을 사용하여 정적분을 근사하나요?

영어 원문 보기

This section approximates definite integrals using what geometric shape?

정답·풀이 보기

직사각형이다.

원본 교재 풀이(영어)

Rectangles.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 55번

# 정적분과 급수(구분구적법)개념 확인자동 분류

5.APEX · 5.3절 · 4번우리말 번역

참/거짓: 오른쪽 끝점 규칙을 사용한 합은 리만 합의 한 예이다.

영어 원문 보기

T/F: A sum using the Right Hand Rule is an example of a Riemann Sum.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.3절 · 1번

# 정적분과 급수(구분구적법)개념 확인자동 분류

6.CLP-2 · 1.1절 · 47번우리말 번역

$f(x)$ 를 일차함수, $a<b$ 를 정수, $n$ 을 0 이상의 정수라고 하자. 참 또는 거짓: $\displaystyle\int_a^b f(x)\ \mathrm{d}x$ 에 대해 직사각형 $n$ 개를 사용한 왼쪽 리만 합과 오른쪽 리만 합의 평균을 구하면, 직사각형 $n$ 개를 사용한 중점 리만 합과 같은 값이 된다.

영어 원문 보기

Let $f(x)$ be a linear function, let $a<b$ be integers, and let $n$ be a whole number. True or false: if we average the left and right Riemann sums for $\displaystyle\int_a^b f(x)\ \mathrm{d}x$ using $n$ rectangles, we get the same value as the midpoint Riemann sum using $n$ rectangles.

정답·풀이 보기

$f(x)$ 가 일차함수이므로 $f(x)=mx+c$ 를 만족시키는 실수 $m$ , $c$ 가 존재한다. 이제 계산해 보자. 리만 합의 직사각형 하나가 구간 $[x,x+w]$ 를 차지한다고 하자.

왼쪽 리만 합을 사용하면 직사각형의 높이는 $f(x)=mx+c$ 이다. 따라서 넓이는 $w(mx+c)$ 이다.
오른쪽 리만 합을 사용하면 직사각형의 높이는 $f(x+w)=m(x+w)+c=mx+c+mw$ 이다. 따라서 넓이는 $w(mx+c+mw)$ 이다.
중점 리만 합을 사용하면 직사각형의 높이는 $f(x+\frac{1}{2}w)=m(x+\frac{1}{2}w)+c=mx+c+\frac{1}{2}mw$ 이다. 따라서 넓이는 $w\left(mx+c+\frac{1}{2}w\right)$ 이다.

그러므로 각 직사각형마다 중점 직사각형의 넓이는 왼쪽 직사각형과 오른쪽 직사각형 넓이의 평균과 같다. $w\left(mx+c+\frac{1}{2}mw\right) = \dfrac{ w(mx+c)+ w(mx+c+mw)}{2}$ 따라서 중점 리만 합의 값은 왼쪽 리만 합과 오른쪽 리만 합의 값의 평균과 같다. 이를 확인하기 위해, 중점 리만 합의 직사각형들의 넓이를 $M_1,M_2,\ldots,M_n$ 이라 하고, 왼쪽 리만 합의 직사각형들의 넓이를 $L_1,L_2,\ldots,L_n$ 이라 하며, 오른쪽 리만 합의 직사각형들의 넓이를 $R_1,R_2,\ldots,R_n$ 이라 하자. 그러면 중점 리만 합의 값은 $M_1+M_2+\cdots+M_n$ 이고,

$\begin{aligned}\dfrac{ [L_1+L_2+\ldots+L_n]+ [R_1+R_2+\ldots+R_n] }{2} &= \dfrac{ L_1+ R_1 }{2}+ \dfrac{ L_2+ R_2 }{2}+ \cdots + \dfrac{ L_n+ R_n }{2} \\ &=M_1+M_2+\cdots+M_n\end{aligned}$

이다. 따라서 주어진 명제는 참이다.

(그러나 일차함수가 아닌 많은 함수 $f(x)$ 에 대해서는 거짓이다.)

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(x)$ is linear, there exist real numbers $m$ and $c$ such that $f(x)=mx+c$ . Now we can do some calculations. Suppose we have a rectangle in our Riemann sum that takes up the interval $[x,x+w]$ .

If we are using a left Riemann sum, our rectangle has height $f(x)=mx+c$ . Then it has area $w(mx+c)$ .
If we are using a right Riemann sum, our rectangle has height $f(x+w)=m(x+w)+c=mx+c+mw$ . Then it has area $w(mx+c+mw)$ .
If we are using a midpoint Riemann sum, our rectangle has height $f(x+\frac{1}{2}w)=m(x+\frac{1}{2}w)+c=mx+c+\frac{1}{2}mw$ . Then it has area $w\left(mx+c+\frac{1}{2}w\right)$ .

So, for each rectangle in our sums, the midpoint rectangle has the same area as the average of the left and right rectangles: $w\left(mx+c+\frac{1}{2}mw\right) = \dfrac{ w(mx+c)+ w(mx+c+mw)}{2}$ It follows that the midpoint Riemann sum has a value equal to the average of the values of the left and right Riemann sums. To see this, let the rectangles in the midpoint Riemann sum have areas $M_1,M_2,\ldots,M_n$ , let the rectangles in the left Riemann sum have areas $L_1,L_2,\ldots,L_n$ , and let the rectangles in the right Riemann sum have areas $R_1,R_2,\ldots,R_n$ . Then the midpoint Riemann sum evaluates to $M_1+M_2+\cdots+M_n$ , and:

$\begin{aligned}\dfrac{ [L_1+L_2+\ldots+L_n]+ [R_1+R_2+\ldots+R_n] }{2} &= \dfrac{ L_1+ R_1 }{2}+ \dfrac{ L_2+ R_2 }{2}+ \cdots + \dfrac{ L_n+ R_n }{2} \\ &=M_1+M_2+\cdots+M_n\end{aligned}$

So, the statement is true.

(Note, however, it is false for many non-linear functions $f(x)$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 45번

# 정적분과 급수(구분구적법)개념 확인도전자동 분류