정적분과 급수(구분구적법) 연습문제

1.OpenStax 1권 · 5.1절 · 23번우리말 풀이

$[0,6]$ 에서 $f(x)=\sqrt{9-(x-3)^2}$ 에 대한 좌합 $L_6$ 과 우합 $R_6$ 을 각각 구하고, 두 값을 비교하세요.

영어 원문 보기

Compute the left and right Riemann sums—L₆ and R₆, respectively—for $f(x)=\sqrt{9-{(x-3)}^{2}}$ on $[0,6]$ and compare their values.

풀이 보기

구간을 6등분하면 폭이 1이고, 좌합과 우합은 양 끝 직사각형 하나만 다르게 포함해요.

1
$[0,6]$ 을 6등분하면 $\Delta x=1$ 이고 분점은 $x=0,1,2,3,4,5,6$ 이에요. 각 분점의 함숫값을 구해요. $f(0)=\sqrt{9-9}=0$ , $f(1)=\sqrt{9-4}=\sqrt5\approx2.2361$ , $f(2)=\sqrt{8}\approx2.8284$ , $f(3)=3$ , $f(4)=\sqrt8$ , $f(5)=\sqrt5$ , $f(6)=0$ 이에요.
2
좌합은 각 구간의 왼쪽 끝 값을 써요. $L_6=\Delta x\,[f(0)+f(1)+\cdots+f(5)]=0+2.2361+2.8284+3+2.8284+2.2361\approx13.129$ 예요.
3
우합은 오른쪽 끝 값을 써요. $R_6=\Delta x\,[f(1)+\cdots+f(6)]=2.2361+2.8284+3+2.8284+2.2361+0\approx13.129$ 예요.
4
두 값이 같은 이유는 좌합에만 들어가는 $f(0)$ 과 우합에만 들어가는 $f(6)$ 이 모두 $0$ 이기 때문이에요. 이 함수는 반지름 3인 반원이라 실제 넓이 $\frac{9\pi}{2}\approx14.14$ 보다 약간 작은 근삿값이에요.

답

$L_6=R_6\approx13.129$ (두 값이 같다)

자주 하는 실수

좌합과 우합이 항상 다르다고 생각해요. 양 끝의 함숫값이 같으면 두 값이 같아요.

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{6}=13.12899={R}_{6}.$ They are equal.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 78번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산보통

2.OpenStax 1권 · 5.1절 · 29번우리말 풀이

[계산기 사용] 구간 $[0,1]$ 에서 $y=x^2$ 에 대한 $L_{100}$ 과 $R_{100}$ 을 구하세요. ( $L_{100}$ 은 구간을 100등분해 각 작은 구간의 왼쪽 끝점에서의 함숫값을 높이로 하는 직사각형의 넓이의 합, $R_{100}$ 은 오른쪽 끝점을 쓴 합이에요.)

영어 원문 보기

[T] L₁₀₀ and R₁₀₀ for $y={x}^{2}$ on the interval $[0,1]$

풀이 보기

구간을 100등분하고, 직사각형의 높이를 왼쪽 또는 오른쪽 끝점의 함숫값으로 잡아 더해요.

1
구간 $[0,1]$ 을 100등분하면 한 칸의 폭은 $\Delta x=\frac{1}{100}$ 이고, 분점은 $x_i=\frac{i}{100}$ 예요.
2
오른쪽 끝점 합은 $i=1,2,\dots,100$ 에서 높이 $x_i^2=\left(\frac{i}{100}\right)^2$ 을 쓰므로 $R_{100}=\sum_{i=1}^{100}\left(\frac{i}{100}\right)^2\cdot\frac1{100}=\frac{1}{10^6}\sum_{i=1}^{100}i^2$ 이에요.
3
제곱의 합 공식 $\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 에 $n=100$ 을 넣으면 $\frac{100\cdot101\cdot201}{6}=338350$ 이에요. 그래서 $R_{100}=\frac{338350}{10^6}=0.33835$ 예요.
4
왼쪽 끝점 합은 $i=0,1,\dots,99$ 를 쓰므로 $\sum_{i=0}^{99}i^2=338350-100^2=328350$ 이고, $L_{100}=\frac{328350}{10^6}=0.32835$ 예요.
5
그래프로 확인해요. $y=x^2$ 은 $[0,1]$ 에서 증가하므로 왼쪽 합은 실제 넓이보다 작고(부족하게 어림), 오른쪽 합은 실제 넓이보다 커요. 실제 넓이 $\frac13\approx0.3333$ 이 두 값 사이에 있어요.

답

$L_{100}=0.32835,\ R_{100}=0.33835$

자주 하는 실수

합의 범위를 헷갈려 $L$ 에도 $i=1\sim100$ 을 쓰면 $R$ 과 같은 값이 나와요. $L$ 은 $i=0\sim99$ 예요.

원본 교재 풀이(영어)

A graph of the given function on the interval (0, 1). It is set up for a left endpoint approximation and is an underestimate because the function is increasing. Ten rectangles are shown for visual clarity, but this behavior persists for more rectangles.

${R}_{100}=0.33835,{L}_{100}=0.32835.$ The plot shows that the left Riemann sum is an underestimate because the function is increasing. Similarly, the right Riemann sum is an overestimate. The area lies between the left and right Riemann sums. Ten rectangles are shown for visual clarity. This behavior persists for more rectangles.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 23번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산보통

3.OpenStax 1권 · 5.2절 · 78번우리말 풀이

[계산기 사용] $[1,2]$ 에서 $f(t)=4-t^2$ 에 대해 왼쪽 합 $L_{10}$ , 오른쪽 합 $R_{10}$ 과 그 평균 $\frac{L_{10}+R_{10}}{2}$ 을 구하세요. $\int_1^2(4-t^2)\,dt=1.\overline{66}$ 일 때, $\frac{L_{10}+R_{10}}{2}$ 은 소수점 아래 몇째 자리까지 정확한가요?

영어 원문 보기

[T] Compute the left and right Riemann sums, L₁₀ and R₁₀, and their average $\frac{{L}_{10}+{R}_{10}}{2}$ for $f(t)=(4-{t}^{2})$ over $[1,2].$ Given that ${\int }_{1}^{2}(4-{t}^{2})dt=1.\overset{-}{66},$ to how many decimal places is $\frac{{L}_{10}+{R}_{10}}{2}$ accurate?

풀이 보기

한 칸의 폭 $0.1$ 에 높이를 곱해 더하고, 왼쪽과 오른쪽의 평균을 내면 오차가 크게 줄어요.

1
구간 $[1,2]$ 를 10등분하면 $\Delta t=0.1$ 이고 분점은 $t_i=1+0.1i$ 예요.
2
왼쪽 합은 $i=0,\dots,9$ 를 쓰므로 $L_{10}=0.1\sum_{i=0}^{9}\bigl(4-t_i^2\bigr)$ 이에요. $\sum_{i=0}^{9}t_i^2=\sum(1+0.2i+0.01i^2)=10+0.2\cdot45+0.01\cdot285=21.85$ 이므로 $\sum(4-t_i^2)=40-21.85=18.15$ , 따라서 $L_{10}=1.815$ 예요.
3
오른쪽 합은 $i=1,\dots,10$ 을 쓰므로 $\sum t_i^2=10+0.2\cdot55+0.01\cdot385=24.85$ 이고 $\sum(4-t_i^2)=40-24.85=15.15$ 예요. 따라서 $R_{10}=1.515$ 예요.
4
평균은 $\frac{L_{10}+R_{10}}{2}=\frac{1.815+1.515}{2}=1.665$ 예요. $f$ 가 감소하므로 $L_{10}$ 은 실제보다 크고 $R_{10}$ 은 작아서, 평균을 내면 서로 오차가 상쇄돼요.
5
실제 값 $1.666\ldots$ 과 비교하면 $1.665$ 는 차이가 약 $0.0017$ 이에요. 소수 둘째 자리까지 같은 값( $1.66$ )이므로 소수점 아래 둘째 자리까지 정확해요.

답

$L_{10}=1.815,\ R_{10}=1.515,\ \frac{L_{10}+R_{10}}{2}=1.665$ (소수점 아래 둘째 자리까지 정확)

자주 하는 실수

왼쪽 합에 $i=1\sim10$ 을 쓰는 등 합의 범위를 바꿔 쓰는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{10}=1.815,{R}_{10}=1.515,\frac{{L}_{10}+{R}_{10}}{2}=1.665,$ so the estimate is accurate to two decimal places.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 29번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산보통

4.OpenStax 1권 · 5.1절 · 1번우리말 번역

주어진 합이 서로 같은지 다른지 말하세요.

a. $\sum_{i=1}^{10}i$ 와 $\sum_{k=1}^{10}k$ b. $\sum_{i=1}^{10}i$ 와 $\sum_{i=6}^{15}(i-5)$ c. $\sum_{i=1}^{10}i(i-1)$ 와 $\sum_{j=0}^{9}(j+1)j$ d. $\sum_{i=1}^{10}i(i-1)$ 와 $\sum_{k=1}^{10}({k}^{2}-k)$

영어 원문 보기

State whether the given sums are equal or unequal.

a. $\sum_{i=1}^{10}i$ and $\sum_{k=1}^{10}k$ b. $\sum_{i=1}^{10}i$ and $\sum_{i=6}^{15}(i-5)$ c. $\sum_{i=1}^{10}i(i-1)$ and $\sum_{j=0}^{9}(j+1)j$ d. $\sum_{i=1}^{10}i(i-1)$ and $\sum_{k=1}^{10}({k}^{2}-k)$

정답·풀이 보기

a. 서로 같다. 둘 다 처음 10개의 자연수의 합을 나타낸다. b. 서로 같다. 둘 다 처음 10개의 자연수의 합을 나타낸다. c. $j=i-1$ 을 대입하면 서로 같다. d. 서로 같다. 첫 번째 합은 두 번째 합의 항을 인수분해한 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. They are equal; both represent the sum of the first 10 whole numbers. b. They are equal; both represent the sum of the first 10 whole numbers. c. They are equal by substituting $j=i-1.$ d. They are equal; the first sum factors the terms of the second.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 37번