문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

여러 가지 함수의 적분

지수·로그·삼각함수, 1/x 꼴의 부정적분과 정적분을 구한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

6문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 5.6절 · 60번우리말 번역

다음 문제에서 $a\le x\le b$ 일 때 $f(x)\ge 0$ 이다. 적분하여 주어진 값 a 와 b 사이에서 $f(x)$ 의 그래프 아래 넓이를 구하세요.

$0<a\le b$ 일 때 ${\int }_{a}^{b}\frac{dt}{t}={\int }_{1/b}^{1/a}\frac{dt}{t}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, $f(x)\ge 0$ for $a\le x\le b.$ Find the area under the graph of $f(x)$ between the given values a and b by integrating.

Show that ${\int }_{a}^{b}\frac{dt}{t}={\int }_{1/b}^{1/a}\frac{dt}{t}$ when $0<a\le b.$

정답·풀이 보기

${\int }_{a}^{b}\frac{dx}{x}=\ln (b)-\ln (a)=\ln \left(\frac{1}{a}\right)-\ln \left(\frac{1}{b}\right)={\int }_{1/b}^{1/a}\frac{dx}{x}$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{a}^{b}\frac{dx}{x}=\ln (b)-\ln (a)=\ln \left(\frac{1}{a}\right)-\ln \left(\frac{1}{b}\right)={\int }_{1/b}^{1/a}\frac{dx}{x}$

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# 여러 가지 함수의 적분증명·논술자동 분류

2.OpenStax 1권 · 5.6절 · 63번우리말 번역

$c>0$ 이면 $1/x$ 의 ac 에서 bc $(0<a<b)$ 까지의 적분이 $1/x$ 의 a 에서 b 까지의 적분과 같음을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that if $c>0,$ then the integral of $1/x$ from ac to bc $(0<a<b)$ is the same as the integral of $1/x$ from a to b.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 4번

# 여러 가지 함수의 적분증명·논술자동 분류

3.OpenStax 1권 · 5.6절 · 65번우리말 번역

적분 ${\int }_{1}^{xy}\frac{1}{t}dt$ 에서 변수를 치환하여 $\ln xy=\ln x+\ln y\,\text{단}\,x,y>0$ . 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Use a change of variable in the integral ${\int }_{1}^{xy}\frac{1}{t}dt$ to show that $\ln xy=\ln x+\ln y\,\text{for}\,x,y>0.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 여러 가지 함수의 적분증명·논술자동 분류

4.OpenStax 1권 · 5.6절 · 66번우리말 번역

항등식 $\ln x={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t}$ 를 이용하여 $\ln (x)$ 가 $[0,\infty )$ 에서 x 의 증가 함수임을 보이고, 앞의 연습문제들을 이용하여 $\ln (x)$ 의 치역이 $(-\infty ,\infty )$ 임을 보이세요. 다른 가정 없이, $\ln (x)$ 가 $(-\infty ,\infty )$ 에서 정의된 역함수를 가짐을 결론지으세요.

영어 원문 보기

Use the identity $\ln x={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t}$ to show that $\ln (x)$ is an increasing function of x on $[0,\infty ),$ and use the previous exercises to show that the range of $\ln (x)$ is $(-\infty ,\infty ).$ Without any further assumptions, conclude that $\ln (x)$ has an inverse function defined on $(-\infty ,\infty ).$

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 18번

# 여러 가지 함수의 적분증명·논술자동 분류

5.OpenStax 1권 · 5.6절 · 68번우리말 번역

잠시 동안 ${e}^{x}$ 이 $\ln x$ 의 역함수라는 사실을 모른다고 가정하되, $\ln x$ 가 $(-\infty ,\infty )$ 에서 정의된 역함수를 가진다는 점은 기억하세요. 이 역함수를 E 라 하세요. $E'(t)=E(t)$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Pretend, for the moment, that we do not know that ${e}^{x}$ is the inverse function of $\ln x,$ but keep in mind that $\ln x$ has an inverse function defined on $(-\infty ,\infty ).$ Call it E. Show that $E'(t)=E(t).$

정답·풀이 보기

$x=E(\ln (x))$ . 그러면 $1=\frac{E'(\ln x)}{x}\,\text{또는}\,x=E'(\ln x)$ . 임의의 수 t 는 어떤 x 에 대해 $t=\ln x$ 로 나타낼 수 있고, 이러한 t 에 대해 $x=E(t)$ 이므로, 임의의 $t,E'(t)=E(t)$ 가 성립한다.

원본 교재 풀이(영어)

$x=E(\ln (x)).$ Then, $1=\frac{E'(\ln x)}{x}\,\text{or}\,x=E'(\ln x).$ Since any number t can be written $t=\ln x$ for some x, and for such t we have $x=E(t),$ it follows that for any $t,E'(t)=E(t).$

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# 여러 가지 함수의 적분증명·논술자동 분류

6.OpenStax 1권 · 5.6절 · 69번우리말 번역

사인 적분은 $S(x)={\int }_{0}^{x}\frac{\sin t}{t}dt$ 로 정의되며 공학에서 중요한 양이다. 간단한 닫힌 형태의 식은 없지만, 큰 x 에 대해 그 거동을 어림할 수 있다. $k\ge 1,|S(2\pi k)-S(2\pi (k+1))|\le \frac{1}{k(2k+1)\pi }$ 임을 보이세요. $(Hint:\,\sin (t+\pi )=-\sin t)$

영어 원문 보기

The sine integral, defined as $S(x)={\int }_{0}^{x}\frac{\sin t}{t}dt$ is an important quantity in engineering. Although it does not have a simple closed formula, it is possible to estimate its behavior for large x. Show that for $k\ge 1,|S(2\pi k)-S(2\pi (k+1))|\le \frac{1}{k(2k+1)\pi }.$ $(Hint:\,\sin (t+\pi )=-\sin t)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 여러 가지 함수의 적분증명·논술자동 분류