적분 기법 전체 연습문제

1.CLP-2 · 1.9절 · 9번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+4x}} \, \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+4x}} \, \mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

제곱근 안의 근의 공식을 보면 삼각치환이 떠오르지만, 좋은 습관을 기르기 위해 먼저 더 쉬운 방법이 있는지 확인해 보자. $u=2x^2+4x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u = (4x+4)~\mathrm{d}x$ 이므로 $\frac{1}{4}\,\mathrm{d}u=(x+1)\,\mathrm{d}x$ 이다. 이 치환은 (완전제곱식을 만드는 것에서 시작하게 되는) 삼각치환보다 더 쉬워 보인다.

$\begin{aligned} \int\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+4x}} \, \mathrm{d}x&=\frac{1}{4}\int \frac{1}{\sqrt{u}}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\sqrt{u}+C = \frac{1}{2}\sqrt{2x^2+4x}+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The quadratic formula underneath the square root makes us think of a trig substitution, but in the interest of developing good habits, let's check for an easier way first. If we let $u=2x^2+4x$ , then $\mathrm{d}u = (4x+4)~\mathrm{d}x$ , so $\frac{1}{4}\,\mathrm{d}u=(x+1)\,\mathrm{d}x$ . This substitution looks easier than a trig substitution (which would start with completing the square).

$\begin{aligned} \int\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+4x}} \, \mathrm{d}x&=\frac{1}{4}\int \frac{1}{\sqrt{u}}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\sqrt{u}+C = \frac{1}{2}\sqrt{2x^2+4x}+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 10번

# 삼각치환계산보통자동 분류

2.CLP-2 · 1.9절 · 10번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2+16}}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2+16}}$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$x=4\tan u$ , $\mathrm{d}x=4 \sec^2u\,\mathrm{d}u$ 로 치환한다.

$\begin{aligned} \int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}}\,\mathrm{d}x &=\int \frac{1}{16\tan^2 u \sqrt{16\tan^2 u+16}}\,4\sec^2 u\,\mathrm{d}u \\[0.1in] &=\int \frac{\sec^2u}{16\tan^2u\sec u}\,\mathrm{d}u =\frac{1}{16}\int \frac{\sec u}{\tan^2u}\,\mathrm{d}u \\[0.1in] &= \frac{1}{16}\int\frac{\cos u}{\sin^2 u}\,\mathrm{d}u \end{aligned}$

적분을 마무리하기 위해 $v=\sin u$ , $\mathrm{d}v=\cos u\,\mathrm{d}u$ 로 치환한다.

$\begin{aligned} \int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}}\,\mathrm{d}x &=\frac{1}{16} \int\frac{\cos u}{\sin^2 u}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{16}\int\frac{\mathrm{d}v}{v^2} =-\frac{1}{16v} +C \\ &=-\frac{1}{16\sin u} +C =-\frac{1}{16}\dfrac{\sqrt{x^2+16}}{x}+C \smash{ ![그림](clp/tikz/6f5ffe535f.png) } \end{aligned}$

$\sin u$ 를 구하기 위해 각 $u$ 를 갖고 $\tan u = \frac{x}{4}$ 인 직각삼각형을 그린다. 각 $u$ 의 반대쪽 변의 길이를 $x$ , 인접한 변의 길이를 $4$ 로 놓으면, 피타고라스 정리에 의해 빗변의 길이는 $\sqrt{x^2+16}$ 이다. 따라서 $\sin u = \dfrac{\sqrt{x^2+16}}{x}$ 이다.

확인을 위해 답의 도함수를 살펴보면

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(-\frac{1}{16}\frac{\sqrt{x^2+16}}{x}+C\right) &=\frac{1}{16}\frac{\sqrt{x^2+16}}{x^2} -\frac{1}{16}\frac{x}{x\sqrt{x^2+16}} =\frac{1}{16}\frac{(x^2+16)-x^2}{x^2\sqrt{x^2+16}} \\ &=\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}} \end{aligned}$

이고, 이는 정확히 피적분함수와 같다.

원본 교재 풀이(영어)

Substitute $x=4\tan u$ , $\mathrm{d}x=4 \sec^2u\,\mathrm{d}u$ .

$\begin{aligned} \int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}}\,\mathrm{d}x &=\int \frac{1}{16\tan^2 u \sqrt{16\tan^2 u+16}}\,4\sec^2 u\,\mathrm{d}u \\[0.1in] &=\int \frac{\sec^2u}{16\tan^2u\sec u}\,\mathrm{d}u =\frac{1}{16}\int \frac{\sec u}{\tan^2u}\,\mathrm{d}u \\[0.1in] &= \frac{1}{16}\int\frac{\cos u}{\sin^2 u}\,\mathrm{d}u \end{aligned}$

To finish off the integral, we'll substitute $v=\sin u$ , $\mathrm{d}v=\cos u\,\mathrm{d}u$ .

$\begin{aligned} \int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}}\,\mathrm{d}x &=\frac{1}{16} \int\frac{\cos u}{\sin^2 u}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{16}\int\frac{\mathrm{d}v}{v^2} =-\frac{1}{16v} +C \\ &=-\frac{1}{16\sin u} +C =-\frac{1}{16}\dfrac{\sqrt{x^2+16}}{x}+C \smash{ ![figure](clp/tikz/6f5ffe535f.png) } \end{aligned}$

To find $\sin u$ , we draw a right triangle with angle $u$ and $\tan u = \frac{x}{4}$ . We label the opposite side $x$ and the adjacent side $4$ , and then from Pythagoras we find that the hypotenuse has length $\sqrt{x^2+16}$ . So, $\sin u = \dfrac{\sqrt{x^2+16}}{x}$ .

As a check, we observe that the derivative of the answer

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(-\frac{1}{16}\frac{\sqrt{x^2+16}}{x}+C\right) &=\frac{1}{16}\frac{\sqrt{x^2+16}}{x^2} -\frac{1}{16}\frac{x}{x\sqrt{x^2+16}} =\frac{1}{16}\frac{(x^2+16)-x^2}{x^2\sqrt{x^2+16}} \\ &=\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}} \end{aligned}$

is exactly the integrand.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 11번

# 삼각치환계산보통자동 분류

3.CLP-2 · 1.9절 · 11번대학 수준우리말 번역

$x\ge 3$ 일 때 $\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2-9}}$ 의 값을 구하세요. 답에 역삼각함수를 포함하지 마세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2-9}}$ for $x\ge 3$ . Do not include any inverse trigonometric functions in your answer.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$0\le u<\frac{\pi}{2}$ 에서 $x=3\sec u$ 로 치환한다. 그러면 $\mathrm{d}x= 3\sec u\tan u\,\mathrm{d}u$ 이고 $\sqrt{x^2-9}=\sqrt{9\sec^2 u-9} =\sqrt{ 9\tan^2 u}=3\tan u$ 이므로

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2-9}} &=\int \frac{3\sec u\tan u\ \mathrm{d}u} {9\sec^2u\sqrt{9\tan^2u}} \\ &=\frac{1}{9}\int\frac{\mathrm{d}u}{\sec u} \\ &=\frac{1}{9}\int \cos u\ \mathrm{d}u =\frac{1}{9}\sin u +C.\qquad \smash{ ![그림](clp/tikz/c7acbbd75e.png) } \\ \text{ $\sin u$ 의 값을 구하기 위해 각 $u$ 를 갖는 직각삼각형을 그린다. $\sec u = \dfrac{x}{3} = \dfrac{\text{빗변}}{\text{밑변}}$ 이므로 빗변을 $x$, 밑변을 $3$ 이라 표시한다. 피타고라스 정리를 이용하면 높이의 길이는 $\sqrt{x^2-9}$ 이다. 따라서 $\sin u = \dfrac{\sqrt{x^2-9}}x$ 이고} \\ \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2-9}} &= \frac{\sqrt{x^2-9}}{9x} +C. \end{aligned}$

검산으로, 답을 미분하면

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{\sqrt{x^2-9}}{9x}+C\right) &=-\frac{\sqrt{x^2-9}}{9x^2} + \frac{x}{9x\sqrt{x^2-9}} =\frac{1}{9}\ \frac{-(x^2-9)+x^2}{x^2\sqrt{x^2-9}} \\ &=\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-9}} \end{aligned}$

이 되어 피적분함수와 정확히 같다. ( $x\le -3$ 인 경우에도 이것이 성립함을 덧붙인다.)

원본 교재 풀이(영어)

Substitute $x=3\sec u$ with $0\le u<\frac{\pi}{2}$ . Then $\mathrm{d}x= 3\sec u\tan u\,\mathrm{d}u$ and $\sqrt{x^2-9}=\sqrt{9\sec^2 u-9} =\sqrt{ 9\tan^2 u}=3\tan u$ , so that

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2-9}} &=\int \frac{3\sec u\tan u\ \mathrm{d}u} {9\sec^2u\sqrt{9\tan^2u}} \\ &=\frac{1}{9}\int\frac{\mathrm{d}u}{\sec u} \\ &=\frac{1}{9}\int \cos u\ \mathrm{d}u =\frac{1}{9}\sin u +C.\qquad \smash{ ![figure](clp/tikz/c7acbbd75e.png) } \\ \text{ To evaluate $\sin u$, we make a right triangle with angle $u$. Since $\sec u = \dfrac{x}{3} = \dfrac{\text{hyp}}{\text{adj}}$, we label the hypotenuse $x$ and the adjacent side $3$. Using the Pythagorean Theorem, the opposite side has length $\sqrt{x^2-9}$. So, $\sin u = \dfrac{\sqrt{x^2-9}}x$ and} \\ \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2-9}} &= \frac{\sqrt{x^2-9}}{9x} +C. \end{aligned}$

As a check, we observe that the derivative of the answer

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{\sqrt{x^2-9}}{9x}+C\right) &=-\frac{\sqrt{x^2-9}}{9x^2} + \frac{x}{9x\sqrt{x^2-9}} =\frac{1}{9}\ \frac{-(x^2-9)+x^2}{x^2\sqrt{x^2-9}} \\ &=\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-9}} \end{aligned}$

is exactly the integrand. (We remark that this is the case even for $x\le -3$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 12번

# 삼각치환계산보통자동 분류

4.CLP-2 · 1.9절 · 13번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int_{-\pi/12}^{\pi/12} \dfrac{15x^3}{(x^2+1)(9-x^2)^{5/2}}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_{-\pi/12}^{\pi/12} \dfrac{15x^3}{(x^2+1)(9-x^2)^{5/2}}~\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

피적분함수는 기함수이고 적분 구간이 원점에 대해 대칭이므로 $\displaystyle\int_{-\pi/12}^{\pi/12} \dfrac{15x^3}{(x^2+1)\sqrt{9-x^2}^5}~\mathrm{d}x=0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The integrand is an odd function, and the limits of integration are symmetric, so $\displaystyle\int_{-\pi/12}^{\pi/12} \dfrac{15x^3}{(x^2+1)\sqrt{9-x^2}^5}~\mathrm{d}x=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 3번

# 삼각치환계산보통자동 분류

5.CLP-2 · 1.9절 · 15번대학 수준우리말 번역

$x>\frac{2}{5}$ 일 때, $\displaystyle\int \frac{\sqrt{25x^2-4}}{x}\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{\sqrt{25x^2-4}}{x}\,\mathrm{d}x$ for $x>\frac{2}{5}$ .

정답·풀이 보기

$x=\frac{2}{5}\sec u$ ( $0< u<\frac{\pi}{2}$ )로 치환하면 $\mathrm{d}x=\frac{2}{5} \sec u\,\tan u\,\mathrm{d}u$ 이고 $\sqrt{25 x^2-4} = \sqrt{4(\sec^2u-1)} = \sqrt{4\tan^2u}=2\tan u$ 이다. 그러므로

$\begin{aligned} \int \frac{\sqrt{25x^2-4}}{x}\,\mathrm{d}x &=\int \frac{2\tan u}{\frac{2}{5}\sec u}\cdot\frac{2}{5}\sec u\tan u\,\mathrm{d}u \\ &=2\int \tan^2 u\,\mathrm{d}u =2\int \big(\sec^2 u -1\big)\,\mathrm{d}u \\ &= 2\tan u -2u + C \\ &=\sqrt{25x^2-4}-2\mathop{\mathrm{arcsec}}\tfrac{5x}{2} + C \smash{ ![그림](clp/tikz/1d70479a66.png) } \end{aligned}$

$\tan u$ 를 구하기 위해 각 $u$ 를 갖는 직각삼각형을 그린다. $\sec u =\dfrac{5x}{2}$ 이므로 빗변을 $5x$ , 밑변을 2로 놓는다. 그러면 피타고라스 정리에 의해 높이는 $\sqrt{25x^2-4}$ 이다. 따라서 $\tan u = \dfrac{\text{높이}}{\text{밑변}} = \dfrac{\sqrt{25x^2-4}}{2}$ 이다.

다른 방법으로, 위 풀이에서 이미 $2\tan u = \sqrt{25x^2-4}$ 임을 보였으므로 $\tan u = \frac{1}{2}\sqrt{25x^2-4}$ 임을 알 수 있다.

검산으로, 답의 도함수를 구하면

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\sqrt{25x^2-4}-2\mathop{\mathrm{arcsec}}\frac{5x}{2} + C\right) &=\frac{25 x}{\sqrt{25x^2-4}} - 2 \frac{\frac{5}{2}}{\left|\frac{5x}{2}\right|\sqrt{\frac{25x^2}{4}-1}} \\ &= \frac{25 x}{\sqrt{25x^2-4}} - \frac{4}{x\sqrt{25x^2-4}}\qquad\text{$x>0$ 이므로} \\ &= \frac{25 x^2-4}{x\sqrt{25x^2-4}} \\ &= \frac{\sqrt{25 x^2-4}}{x} \end{aligned}$

이고, 이는 피적분함수와 정확히 같다 ( $x>\frac{2}{5}$ 일 때).

원본 교재 풀이(영어)

Substitute $x=\frac{2}{5}\sec u$ with $0< u<\frac{\pi}{2}$ , so that $\mathrm{d}x=\frac{2}{5} \sec u\,\tan u\,\mathrm{d}u$ and $\sqrt{25 x^2-4} = \sqrt{4(\sec^2u-1)} = \sqrt{4\tan^2u}=2\tan u$ . Then

$\begin{aligned} \int \frac{\sqrt{25x^2-4}}{x}\,\mathrm{d}x &=\int \frac{2\tan u}{\frac{2}{5}\sec u}\cdot\frac{2}{5}\sec u\tan u\,\mathrm{d}u \\ &=2\int \tan^2 u\,\mathrm{d}u =2\int \big(\sec^2 u -1\big)\,\mathrm{d}u \\ &= 2\tan u -2u + C \\ &=\sqrt{25x^2-4}-2\mathop{\mathrm{arcsec}}\tfrac{5x}{2} + C \smash{ ![figure](clp/tikz/1d70479a66.png) } \end{aligned}$

To find $\tan u$ , we draw a right triangle with angle $u$ . Since $\sec u =\dfrac{5x}{2}$ , we label the hypotenuse $5x$ and the adjacent side 2. Then the Pythagorean Theorem gives us the opposite side as length $\sqrt{25x^2-4}$ . Then $\tan u = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}} = \dfrac{\sqrt{25x^2-4}}{2}$ .

Alternately, we can notice that in our work, we already showed $2\tan u = \sqrt{25x^2-4}$ , so $\tan u = \frac{1}{2}\sqrt{25x^2-4} .$

As a check, we observe that the derivative of the answer

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\sqrt{25x^2-4}-2\mathop{\mathrm{arcsec}}\frac{5x}{2} + C\right) &=\frac{25 x}{\sqrt{25x^2-4}} - 2 \frac{\frac{5}{2}}{\left|\frac{5x}{2}\right|\sqrt{\frac{25x^2}{4}-1}} \\ &= \frac{25 x}{\sqrt{25x^2-4}} - \frac{4}{x\sqrt{25x^2-4}}\qquad\text{since $x>0$} \\ &= \frac{25 x^2-4}{x\sqrt{25x^2-4}} \\ &= \frac{\sqrt{25 x^2-4}}{x} \end{aligned}$

is exactly the integrand (provided $x>\frac{2}{5}$ ).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 1번

# 삼각치환계산보통자동 분류

6.CLP-2 · 1.9절 · 16번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int_{\sqrt{10}}^{\sqrt{17}} \frac{x^3}{\sqrt{x^2-1}}\, \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_{\sqrt{10}}^{\sqrt{17}} \frac{x^3}{\sqrt{x^2-1}}\, \mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

피적분함수에 제곱근 안의 이차 다항식이 있어서 삼각함수 치환이 떠오른다. 그러나 더 복잡한 방법으로 넘어가기 전에 더 간단한 방법을 찾아보는 것이 좋은 습관이며, 이 경우에는 삼각함수 치환보다 더 간단한 방법이 있다. 바로 $u=x^2-1$ , $\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x$ 로 하는 치환이다. 그러면 $x\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}u$ 이고, $x^2 ={u+1}$ 이다. $x=\sqrt{10}$ 일 때 $u=9$ 이고, $x=\sqrt{17}$ 일 때 $u=16$ 이다.

$\begin{aligned} \int_{\sqrt{10}}^{\sqrt{17}} \frac{x^3}{\sqrt{x^2-1}}\, \mathrm{d}x&= \int_{\sqrt{10}}^{\sqrt{17}} \frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}\, \cdot x\mathrm{d}x \\&=\frac{1}{2} \int_{9}^{16} \frac{u+1}{\sqrt{u}}\,\mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2} \int_{9}^{16}\left(u^{1/2}+u^{-1/2}\right)\,\mathrm{d}u \\&=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{3/2} + 2u^{1/2} \right]_{9}^{16} \\&=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}\cdot 4^3 + 2\cdot 4 -\frac{2}{3}\cdot 3^3 -2\cdot 3 \right]\\ &=\frac{40}{3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The integrand has a quadratic polynomial under a square root, which makes us think of trig substitutions. However, it's good practice to look for simpler methods before we jump into more complicated ones, and in this case we find something nicer than a trig substitution: the substitution $u=x^2-1$ , $\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x$ . Then $x\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}u$ , and $x^2 ={u+1}$ . When $x=\sqrt{10}$ , $u=9$ , and when $x=\sqrt{17}$ , $u=16$ .

$\begin{aligned} \int_{\sqrt{10}}^{\sqrt{17}} \frac{x^3}{\sqrt{x^2-1}}\, \mathrm{d}x&= \int_{\sqrt{10}}^{\sqrt{17}} \frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}\, \cdot x\mathrm{d}x \\&=\frac{1}{2} \int_{9}^{16} \frac{u+1}{\sqrt{u}}\,\mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2} \int_{9}^{16}\left(u^{1/2}+u^{-1/2}\right)\,\mathrm{d}u \\&=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{3/2} + 2u^{1/2} \right]_{9}^{16} \\&=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}\cdot 4^3 + 2\cdot 4 -\frac{2}{3}\cdot 3^3 -2\cdot 3 \right]\\ &=\frac{40}{3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 22번

# 삼각치환계산보통자동 분류

7.CLP-2 · 1.9절 · 17번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}}$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

이 피적분함수는 위의 것들과 매우 달라 보인다. 그러나 약간 변장했을 뿐이다. 완전제곱식으로 고치면

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-(x+1)^2}} \end{aligned}$

이고, $y=x+1$ , $\mathrm{d}y=\mathrm{d}x$ 로 치환하면

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-(x+1)^2}} = \int \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{4-y^2}} \end{aligned}$

전형적인 삼각함수 치환적분이 된다. 따라서 $y=2\sin\theta$ , $\mathrm{d}y=2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta$ 로 치환하면

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} &= \int \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{4-y^2}} = \int\frac{2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta}{\sqrt{4-4\sin^2\theta}} = \int\frac{2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta}{\sqrt{4\cos^2\theta}}\\ &=\int\mathrm{d}\theta =\theta +C =\arcsin\frac{y}{2} + C \\ &=\arcsin\frac{x+1}{2} + C \end{aligned}$

숙련된 적분 계산자라면 아마 $y$ 를 거치지 않고 곧바로 $x+1 = 2\sin\theta$ 로 치환할 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

This integrand looks very different from those above. But it is only slightly disguised. If we complete the square

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-(x+1)^2}} \end{aligned}$

and make the substitution $y=x+1$ , $\mathrm{d}y=\mathrm{d}x$

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-(x+1)^2}} = \int \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{4-y^2}} \end{aligned}$

we get a typical trig substitution integral. So, we substitute $y=2\sin\theta$ , $\mathrm{d}y=2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta$ to get

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} &= \int \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{4-y^2}} = \int\frac{2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta}{\sqrt{4-4\sin^2\theta}} = \int\frac{2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta}{\sqrt{4\cos^2\theta}}\\ &=\int\mathrm{d}\theta =\theta +C =\arcsin\frac{y}{2} + C \\ &=\arcsin\frac{x+1}{2} + C \end{aligned}$

An experienced integrator would probably substitute $x+1 = 2\sin\theta$ directly, without going through $y$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 24번

# 삼각치환계산보통자동 분류

8.CLP-2 · 1.9절 · 18번대학 수준우리말 번역

$x>2$ 일 때, $\displaystyle\int \dfrac{1}{(2x-3)^3\sqrt{4x^2-12x+8}}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \dfrac{1}{(2x-3)^3\sqrt{4x^2-12x+8}}~\mathrm{d}x$ for $x>2$ .

정답·풀이 보기

완전제곱식으로 나타내면 $4x^2-12x+8 = (2x-3)^2-1$ 이다.

$\begin{aligned} \int \dfrac{1}{(2x-3)^3\sqrt{4x^2-12x+8}}~\mathrm{d}x&= \int \dfrac{1}{(2x-3)^3\sqrt{(2x-3)^2-1}}~\mathrm{d}x \\ \text{As $x>2$, we have $2x-3>1$. We use the substitution $2x-3 = \sec \theta$ with $0\le\theta<\frac{\pi}{2}$. So $2\,\mathrm{d}x=\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta$ and $\sqrt{(2x-3)^2-1}=\sqrt{\sec^2\theta-1}=\sqrt{\tan^2\theta}=\tan\theta$.} \\ &=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^3\theta\sqrt{\sec^2\theta-1}}\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^3\theta\tan\theta}\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^2\theta}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{2}\int{\cos^2\theta}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{4}\int{\left(1+\cos(2\theta)\right)}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac14\left(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right)+C \\&=\frac14\left(\theta + \sin\theta\cos\theta\right)+C \\ \smash{ ![그림](clp/tikz/44a395a6e0.png) }\,&=\frac{1}{4}\left(\arccos\left(\frac{1}{2x-3}\right) + \frac{\sqrt{4x^2-12x+8}}{(2x-3)^2}\right)+C \end{aligned}$

$2x-3=\sec\theta$ 이므로 $\cos\theta = \frac{1}{2x-3}$ 이고 $\theta = \arccos\left(\frac{1}{2x-3}\right)$ 이다. (이와 같게, $\theta = \mathop{\mathrm{arcsec}}(2x-3)$ 이다.) $\sin\theta$ 를 구하기 위해 밑변의 길이가 1이고 빗변의 길이가 $2x-3$ 인 직각삼각형을 그린다. 피타고라스 정리에 의해 θ의 대변(높이)의 길이는 $\sqrt{4x^2-12x+8}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Completing the square, we see $4x^2-12x+8 = (2x-3)^2-1$ .

$\begin{aligned} \int \dfrac{1}{(2x-3)^3\sqrt{4x^2-12x+8}}~\mathrm{d}x&= \int \dfrac{1}{(2x-3)^3\sqrt{(2x-3)^2-1}}~\mathrm{d}x \\ \text{As $x>2$, we have $2x-3>1$. We use the substitution $2x-3 = \sec \theta$ with $0\le\theta<\frac{\pi}{2}$. So $2\,\mathrm{d}x=\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta$ and $\sqrt{(2x-3)^2-1}=\sqrt{\sec^2\theta-1}=\sqrt{\tan^2\theta}=\tan\theta$.} \\ &=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^3\theta\sqrt{\sec^2\theta-1}}\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^3\theta\tan\theta}\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^2\theta}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{2}\int{\cos^2\theta}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{4}\int{\left(1+\cos(2\theta)\right)}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac14\left(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right)+C \\&=\frac14\left(\theta + \sin\theta\cos\theta\right)+C \\ \smash{ ![figure](clp/tikz/44a395a6e0.png) }\,&=\frac{1}{4}\left(\arccos\left(\frac{1}{2x-3}\right) + \frac{\sqrt{4x^2-12x+8}}{(2x-3)^2}\right)+C \end{aligned}$

Since $2x-3=\sec\theta$ , we know $\cos\theta = \frac{1}{2x-3}$ and $\theta = \arccos\left(\frac{1}{2x-3}\right)$ . (Equivalently, $\theta = \mathop{\mathrm{arcsec}}(2x-3)$ .) To find $\sin\theta$ , we draw a right triangle with adjacent side of length 1, and hypotenuse of length $2x-3$ . By the Pythagorean Theorem, the opposite side has length $\sqrt{4x^2-12x+8}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 19번

# 삼각치환계산보통자동 분류

9.CLP-2 · 1.9절 · 19번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{(x^2+1)^{3/2}}\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

$\int \sec x\mathrm{d}x = \log|\sec x+\tan x| +C$ 임을 이용해도 됩니다.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{(x^2+1)^{3/2}}\mathrm{d}x$ .

You may use that $\int \sec x\mathrm{d}x = \log|\sec x+\tan x| +C$ .

정답·풀이 보기

치환 $x=\tan u$ , $\mathrm{d}x=\sec^2 u~\mathrm{d}u$ 를 사용한다. $\tan 0=0$ 이고 $\tan \frac{\pi}{4} =1$ 임에 주의한다.

$\begin{aligned} \displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+1}^3}\mathrm{d}x&= \int_0^{\pi/4}\dfrac{\tan^2 u}{\sqrt{\tan^2 u +1}^3}\sec^2u~\mathrm{d}u\\ &= \int_0^{\pi/4}\dfrac{\tan^2 u}{\sqrt{\sec^2u}^3}\sec^2u~\mathrm{d}u\\ &= \int_0^{\pi/4}\frac{\tan^2 u}{\sec u}~\mathrm{d}u\\&= \int_0^{\pi/4}\frac{\sec^2 u-1}{\sec u}~\mathrm{d}u\\&= \int_0^{\pi/4}\big({\sec u}-\cos u\big)~\mathrm{d}u\\ &=\Big[\log\left|\sec u + \tan u \right| - \sin u\Big]_{0}^{\pi/4} \\ &=\left(\log\left|\sqrt{2} + 1 \right| -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \left(\log|1+0|-0\right)\\ &=\log(1+\sqrt{2})-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use the substitution $x=\tan u$ , $\mathrm{d}x=\sec^2 u~\mathrm{d}u$ . Note $\tan 0=0$ and $\tan \frac{\pi}{4} =1$ .

$\begin{aligned} \displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+1}^3}\mathrm{d}x&= \int_0^{\pi/4}\dfrac{\tan^2 u}{\sqrt{\tan^2 u +1}^3}\sec^2u~\mathrm{d}u\\ &= \int_0^{\pi/4}\dfrac{\tan^2 u}{\sqrt{\sec^2u}^3}\sec^2u~\mathrm{d}u\\ &= \int_0^{\pi/4}\frac{\tan^2 u}{\sec u}~\mathrm{d}u\\&= \int_0^{\pi/4}\frac{\sec^2 u-1}{\sec u}~\mathrm{d}u\\&= \int_0^{\pi/4}\big({\sec u}-\cos u\big)~\mathrm{d}u\\ &=\Big[\log\left|\sec u + \tan u \right| - \sin u\Big]_{0}^{\pi/4} \\ &=\left(\log\left|\sqrt{2} + 1 \right| -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \left(\log|1+0|-0\right)\\ &=\log(1+\sqrt{2})-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 8번

# 삼각치환계산보통자동 분류

10.CLP-2 · 1.9절 · 20번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int \frac{1}{(x^2+1)^2}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{1}{(x^2+1)^2}~\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

제곱근은 없지만, 치환 $x=\tan\theta$ , $\mathrm{d}x = \sec^2\theta~\mathrm{d}\theta$ 를 여전히 사용할 수 있다.

$\begin{aligned} \int \frac{1}{(x^2+1)^2}~\mathrm{d}x&=\int\frac{1}{(\tan^2\theta+1)^2}\sec^2\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\int\frac{1}{\sec^4\theta}\sec^2\theta~\mathrm{d}\theta = \int\cos^2\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\int \big(1 + \cos(2\theta)\big)~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\left(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right)+C\\ &=\frac{1}{2}\left(\theta + \sin\theta\cos\theta\right)+C\\ \smash{ ![그림](clp/tikz/e8c02e1de1.png) }\,&=\frac{1}{2}\left(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\right)+C \end{aligned}$

$x = \tan\theta$ 이므로, 각 $\theta$ 에 대한 반대쪽 변의 길이가 $x$ 이고 이웃한 변의 길이가 $1$ 인 직각삼각형을 그릴 수 있다. 그러면 피타고라스 정리에 의해 빗변의 길이는 $\sqrt{x^2+1}$ 이고, 이로부터 $\sin\theta$ 와 $\cos\theta$ 를 구할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

There's no square root, but we can still make use of the substitution $x=\tan\theta$ , $\mathrm{d}x = \sec^2\theta~\mathrm{d}\theta$ .

$\begin{aligned} \int \frac{1}{(x^2+1)^2}~\mathrm{d}x&=\int\frac{1}{(\tan^2\theta+1)^2}\sec^2\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\int\frac{1}{\sec^4\theta}\sec^2\theta~\mathrm{d}\theta = \int\cos^2\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\int \big(1 + \cos(2\theta)\big)~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\left(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right)+C\\ &=\frac{1}{2}\left(\theta + \sin\theta\cos\theta\right)+C\\ \smash{ ![figure](clp/tikz/e8c02e1de1.png) }\,&=\frac{1}{2}\left(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\right)+C \end{aligned}$

Since $x = \tan\theta$ , we can draw a right triangle with angle $\theta$ , opposite side $x$ , and adjacent side $1$ . Then by the Pythagorean Theorem, its hypotenuse has length $\sqrt{x^2+1}$ , which allows us to find $\sin\theta$ and $\cos\theta$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 23번

# 삼각치환계산보통자동 분류

11.CLP-2 · 1.10절 · 7번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x+x^2}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x+x^2}$ .

정답·풀이 보기

피적분함수는 유리함수이므로 부분분수로 분해할 수 있는 후보이다. 뻔한 치환이나 부분적분은 바로 배제할 수 있으므로, 분해를 그대로 진행한다.

먼저 피적분함수, 즉 분수 $\frac{1}{x+x^2}=\frac{1}{x(1+x)}$ 을 더 간단한 분수 $\frac{1}{x}$ 과 $\frac{1}{x+1}$ 의 일차결합으로 나타낸다(이 두 분수의 적분은 이미 알고 있다). 그러면

$\begin{aligned} \frac{1}{x+x^2}=\frac{1}{x(1+x)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} =\frac{a(x+1) +bx}{x(1+x)} \end{aligned}$

이다.

좌변의 분수와 우변의 분수가 같을 필요충분조건은 좌변의 분자 $1 = 0x + 1$ 이 우변의 분자 $a(x+1)+bx = (a+b)x +a$ 와 같은 것이다. 이는 다시 $a=1$ (즉 두 분자의 상수항이 같다)이고 $a+b=0$ (즉 두 분자에서 $x$ 의 계수가 같다)일 필요충분조건이다. 따라서 $a=1$ , $b=-1$ 이다. 이제 적분을 쉽게 계산할 수 있다.

$\begin{aligned} \int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x+x^2} &=\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x(x+1)} =\int_1^2 \Big(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\Big)\,\mathrm{d}x =\Big[\log x-\log(x+1)\Big]_1^2\\ &=\log 2-\log\frac{3}{2} =\log\frac{4}{3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The integrand is a rational function, so it's a candidate for partial fraction. We quickly rule out any obvious substitution or integration by parts, so we go ahead with the decomposition.

We start by expressing the integrand, i.e. the fraction $\frac{1}{x+x^2}=\frac{1}{x(1+x)}$ , as a linear combination of the simpler fractions $\frac{1}{x}$ and $\frac{1}{x+1}$ (which we already know how to integrate). We will have

$\begin{aligned} \frac{1}{x+x^2}=\frac{1}{x(1+x)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} =\frac{a(x+1) +bx}{x(1+x)} \end{aligned}$

The fraction on the left hand side is the same as the fraction on the right hand side if and only if the numerator on the left hand side, which is $1 = 0x + 1$ , is equal to the numerator on the right hand side, which is $a(x+1)+bx = (a+b)x +a$ . This in turn is the case if and only of $a=1$ (i.e. the constant terms are the same in the two numerators) and $a+b=0$ (i.e. the coefficients of $x$ are the same in the two numerators). So $a=1$ and $b=-1$ . Now we can easily evaluate the integral

$\begin{aligned} \int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x+x^2} &=\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x(x+1)} =\int_1^2 \Big(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\Big)\,\mathrm{d}x =\Big[\log x-\log(x+1)\Big]_1^2\\ &=\log 2-\log\frac{3}{2} =\log\frac{4}{3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.10절 · 6번

# 부분분수 적분계산보통자동 분류

12.CLP-2 · 1.10절 · 15번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}~\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

피적분함수는 뚜렷한 치환이 보이지 않는 유리함수이므로 부분분수분해를 이용한다.

분자의 차수가 분모의 차수보다 확실히 작으므로 긴 나눗셈으로 시작할 필요가 없다.
그러나 분모는 인수분해해야 한다. $x^2$ 은 바로 묶어 낼 수 있고, 나머지는 $x^2-2x+1 = (x-1)^2$ 이다.
이제 부분분수분해를 할 수 있다.

$\begin{aligned} \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}&= \frac{x^2+2x-1}{x^2(x-1)^2} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2} \\ \text{양변에 처음 분모를 곱한다.} \\ x^2+2x-1&=Ax(x-1)^2+B(x-1)^2+Cx^2(x-1)+Dx^2\tag{1} \\ \text{요령껏 $x=0$ 을 대입하면 다음을 얻는다:} \\ -1&=B \\ \text{또 $x=1$ 을 대입하면 다음을 얻는다:} \\ 2&=D \\ \text{$B$ 와 $D$ 를 이용하여 식 (1)을 간단히 한다.} \\ x^2+2x-1&=Ax(x-1)^2 -1(x-1)^2+Cx^2(x-1)+ 2x^2\\ 0&=Ax(x-1)^2+Cx^2(x-1)\\ &=x(x-1)[(A+C)x-A]\\ \text{따라서,}\qquad 0&=(A+C)x-A \end{aligned}$

즉, $A=C=0$ 이다.

이제 적분의 값을 구할 수 있다.

$\begin{aligned} \int \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}~\mathrm{d}x&=\int \left(\frac{-1}{x^2}+\frac{2}{(x-1)^2}\right)~\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{x}-\frac{2}{x-1}+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The integrand is a rational function with no obvious substitution, so we'll use a partial fraction decomposition.

Since the numerator has strictly smaller degree than the denominator, we don't need to start off with a long division.
We do, however, need to factor the denominator. We can immediately pull out $x^2$ ; the remaining part is $x^2-2x+1 = (x-1)^2$ .
Now we can perform our partial fraction decomposition.

$\begin{aligned} \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}&= \frac{x^2+2x-1}{x^2(x-1)^2} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2} \\ \text{Multiply both sides by the original denominator.} \\ x^2+2x-1&=Ax(x-1)^2+B(x-1)^2+Cx^2(x-1)+Dx^2\tag{1} \\ \text{To be sneaky, we set $x=0$, and find:} \\ -1&=B \\ \text{We also set $x=1$, and find:} \\ 2&=D \\ \text{We use $B$ and $D$ to simplify Equation (1).} \\ x^2+2x-1&=Ax(x-1)^2 -1(x-1)^2+Cx^2(x-1)+ 2x^2\\ 0&=Ax(x-1)^2+Cx^2(x-1)\\ &=x(x-1)[(A+C)x-A]\\ \text{So,}\qquad 0&=(A+C)x-A \end{aligned}$

That is, $A=C=0$ .

Now we can evaluate our integral.

$\begin{aligned} \int \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}~\mathrm{d}x&=\int \left(\frac{-1}{x^2}+\frac{2}{(x-1)^2}\right)~\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{x}-\frac{2}{x-1}+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.10절 · 1번

# 부분분수 적분계산보통자동 분류

13.CLP-2 · 1.10절 · 16번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}~\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

피적분함수는 뚜렷한 치환이 보이지 않는 유리함수이므로 부분분수 방법을 사용한다.

분자의 차수가 분모의 차수보다 작다.
분모를 인수분해해야 한다. 처음 두 항의 비와 마지막 두 항의 비가 같다.

$\begin{aligned} 2x^3-x^2-8x+4&=x^2(2x-1)-4(2x-1) \\ &= (x^2-4)(2x-1)\\ &=(x-2)(x+2)(2x-1) \end{aligned}$

이제 부분분수 분해를 구한다.

$\begin{aligned} \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}&=\frac{ 3x^2-4x-10}{(x-2)(x+2)(2x-1)}= \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{2x-1} \\ \text{양변에 처음의 분모를 곱한다.} \\ 3x^2-4x-10&=A(x+2)(2x-1)+B(x-2)(2x-1)+C(x-2)(x+2) \\ \text{서로 다른 일차식의 곱인 경우는 요령 있는 방법을 쓰기에 가장 좋은 경우이다. 먼저 $x=2$ 로 놓자.} \\ 3(4)-4(2)-10&=A(4)(3)+B(0)+C(0)\\ A&=-\frac{1}{2} \\ \text{이번에는 $x=-2$ 로 놓자.} \\ 3(4)-4(-2)-10&=A(0)+B(-4)(-5)+C(0)\\ B&=\frac{1}{2} \\ \text{마지막으로 $x=\frac{1}{2}$ 로 놓자.} \\ \frac{3}{4}-2-10&=A(0)+B(0)+C\left(-\frac{3}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)\\ C&=3 \end{aligned}$

이제 새로운 꼴로 나타낸 적분의 값을 구할 수 있다.

$\begin{aligned} \int \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}~\mathrm{d}x&=\int \left(\frac{-1/2}{x-2}+\frac{1/2}{x+2}+\frac{3}{2x-1}\right) ~\mathrm{d}x\\ &=-\frac{1}{2}\log|x-2| + \frac{1}{2}\log|x+2| + \frac{3}{2}\log|2x-1|+C \\&=\frac{1}{2}\log\left| \frac{x+2}{x-2} \right| + \frac{3}{2}\log|2x-1|+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Our integrand is a rational function with no obvious substitution, so we'll use the method of partial fractions.

The degree of the numerator is less than the degree of the denominator.
We need to factor the denominator. The first two terms have the same ratio as the last two terms.

$\begin{aligned} 2x^3-x^2-8x+4&=x^2(2x-1)-4(2x-1) \\ &= (x^2-4)(2x-1)\\ &=(x-2)(x+2)(2x-1) \end{aligned}$

Now we find our partial fraction decomposition.

$\begin{aligned} \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}&=\frac{ 3x^2-4x-10}{(x-2)(x+2)(2x-1)}= \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{2x-1} \\ \text{Multiply both sides by the original denominator.} \\ 3x^2-4x-10&=A(x+2)(2x-1)+B(x-2)(2x-1)+C(x-2)(x+2) \\ \text{Distinct linear factors is the best possible scenario for the sneaky method. First, let's set $x=2$.} \\ 3(4)-4(2)-10&=A(4)(3)+B(0)+C(0)\\ A&=-\frac{1}{2} \\ \text{Now, let $x=-2$.} \\ 3(4)-4(-2)-10&=A(0)+B(-4)(-5)+C(0)\\ B&=\frac{1}{2} \\ \text{Finally, let $x=\frac{1}{2}$.} \\ \frac{3}{4}-2-10&=A(0)+B(0)+C\left(-\frac{3}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)\\ C&=3 \end{aligned}$

Now we can evaluate our integral in its new form.

$\begin{aligned} \int \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}~\mathrm{d}x&=\int \left(\frac{-1/2}{x-2}+\frac{1/2}{x+2}+\frac{3}{2x-1}\right) ~\mathrm{d}x\\ &=-\frac{1}{2}\log|x-2| + \frac{1}{2}\log|x+2| + \frac{3}{2}\log|2x-1|+C \\&=\frac{1}{2}\log\left| \frac{x+2}{x-2} \right| + \frac{3}{2}\log|2x-1|+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.10절 · 7번

# 부분분수 적분계산보통자동 분류

14.CLP-2 · 1.12절 · 6번대학 수준우리말 번역

적분 $\displaystyle\int_0^1\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하거나, 발산함을 보이세요.

영어 원문 보기

Evaluate the integral $\displaystyle\int_0^1\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x$ or state that it diverges.

정답·풀이 보기

$x=1$ 일 때 분모는 0이지만 분자는 0이 아니므로, 피적분함수는 $x=1$ 에서 특이점(무한 불연속)을 갖는다. 적분 구간의 끝 $x=1$ 을 1에 한없이 가까워지는 문자로 바꾸어 보자.

$\int_0^1\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x =\lim_{t\rightarrow 1^-}\int_0^t\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x$

이 적분의 값을 구하기 위해 $u=x^5$ , $\mathrm{d}u=5x^4\mathrm{d}x$ 로 치환한다. $x=0$ 일 때 $u=0$ 이고, $x=t$ 일 때 $u=t^5$ 이므로

$\begin{aligned} \int_0^1\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x&=\lim_{t \to 1^-}\int_{0}^{t}\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x =\lim_{t \to 1^-}\int_{u=0}^{u=t^5}\frac{1}{5(u-1)}\,\mathrm{d}u\\ &=\lim_{t \to 1^-}\left( \left[\frac{1}{5}\log|u-1|\right]_0^{t^5}\right) =\lim_{t \to 1^-}\frac{1}{5}\log|t^5-1|=-\infty \end{aligned}$

극한이 존재하지 않으므로 이 적분은 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

The denominator is zero when $x=1$ , but the numerator is not, so the integrand has a singularity (infinite discontinuity) at $x=1$ . Let's replace the limit $x=1$ with a variable that creeps toward 1.

$\int_0^1\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x =\lim_{t\rightarrow 1^-}\int_0^t\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x$

To evaluate this integral we use the substitution $u=x^5$ , $\mathrm{d}u=5x^4\mathrm{d}x$ . When $x=0$ we have $u=0$ , and when $x=t$ we have $u=t^5$ , so

$\begin{aligned} \int_0^1\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x&=\lim_{t \to 1^-}\int_{0}^{t}\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x =\lim_{t \to 1^-}\int_{u=0}^{u=t^5}\frac{1}{5(u-1)}\,\mathrm{d}u\\ &=\lim_{t \to 1^-}\left( \left[\frac{1}{5}\log|u-1|\right]_0^{t^5}\right) =\lim_{t \to 1^-}\frac{1}{5}\log|t^5-1|=-\infty \end{aligned}$

The limit does not exist, so the integral diverges.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.12절 · 25번

# 이상적분계산보통자동 분류

15.CLP-2 · 1.12절 · 7번대학 수준우리말 번역

적분 $\displaystyle\int_{-2}^2\frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x$ 이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 그 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Determine whether the integral $\displaystyle\int_{-2}^2\frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x$ is convergent or divergent. If it is convergent, find its value.

정답·풀이 보기

피적분함수의 분모는 $x=-1$ 일 때 0이지만 분자는 0이 아니다. 따라서 피적분함수는 $x=-1$ 에서 특이점(무한 불연속)을 가진다. 이것이 이 적분에서 유일한 “이상적분이 되는 원인”이므로, 적분 구간을 한 번만 나누면 된다.

$\int_{-2}^2\frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x =\lim_{t\rightarrow -1^-}\int_{-2}^t \frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x +\lim_{t\rightarrow -1^+}\int_t^2 \frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x$

먼저 왼쪽 극한을 살펴보자.

$\begin{aligned} \lim_{t \to -1^-}\int_{-2}^t \frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x &=\lim_{t \to -1^-}\left(\left[-\frac{3}{(x+1)^{1/3}}\right|_{-2}^t\right)\\ &=\lim_{t \to -1^-}\left(-\frac{3}{(t+1)^{1/3}}+\frac{3}{(-1)^{1/3}}\right)=\infty \end{aligned}$

이 극한이 발산하므로 주어진 적분은 발산한다. (두 번째 적분도 비슷한 방법으로 발산함을 보일 수 있다. 둘 중 하나만 발산해도 원래의 적분이 발산한다고 결론짓기에 충분하다.)

원본 교재 풀이(영어)

The denominator of the integrand is zero when $x=-1$ , but the numerator is not. So, the integrand has a singularity (infinite discontinuity) at $x=-1$ . This is the only “source of impropriety" in this integral, so we only need to make one break in the domain of integration.

$\int_{-2}^2\frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x =\lim_{t\rightarrow -1^-}\int_{-2}^t \frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x +\lim_{t\rightarrow -1^+}\int_t^2 \frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x$

Let's start by considering the left limit.

$\begin{aligned} \lim_{t \to -1^-}\int_{-2}^t \frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x &=\lim_{t \to -1^-}\left(\left[-\frac{3}{(x+1)^{1/3}}\right|_{-2}^t\right)\\ &=\lim_{t \to -1^-}\left(-\frac{3}{(t+1)^{1/3}}+\frac{3}{(-1)^{1/3}}\right)=\infty \end{aligned}$

Since this limit diverges, the integral diverges. (A similar argument shows that the second integral diverges. Either one of them diverging is enough to conclude that the original integral diverges.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.12절 · 6번

# 이상적분계산보통자동 분류

16.CLP-2 · 1.12절 · 10번대학 수준우리말 번역

적분 $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \cos x~\mathrm{d}x$ 은 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 그 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Does the integral $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \cos x~\mathrm{d}x$ converge or diverge? If it converges, evaluate it.

정답·풀이 보기

“이상적분이 되는 원인”이 두 가지 있다. 바로 (무한대인) 두 적분 구간의 끝이다. 따라서 적분을 두 부분으로 나눈다.

$\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty \cos x~\mathrm{d}x&=\int_{-\infty}^0 \cos x~\mathrm{d}x+\int_{0}^\infty \cos x~\mathrm{d}x\\ &=\lim_{a \to \infty }\left[\int_{-a}^0 \cos x~\mathrm{d}x\right]+ \lim_{b \to \infty }\left[\int_{0}^b \cos x~\mathrm{d}x\right] \\ \text{이 정도는 부정적분을 쉽게 구할 수 있다.} \\ &=\lim_{a \to \infty }\left[\sin 0 - \sin(- a) \right]+ \lim_{b \to \infty }\left[\sin b - \sin 0 \right]\\ &=\text{존재하지 않는다} \end{aligned}$

극한이 존재하지 않으므로 이 적분은 발산한다. (여기서는 두 극한이 모두 존재하지 않지만, 둘 중 하나만 존재하지 않더라도 이 적분은 발산한다.)

원본 교재 풀이(영어)

There are two “sources of impropriety": the two (infinite) limits of integration. So, we break our integral into two pieces.

$\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty \cos x~\mathrm{d}x&=\int_{-\infty}^0 \cos x~\mathrm{d}x+\int_{0}^\infty \cos x~\mathrm{d}x\\ &=\lim_{a \to \infty }\left[\int_{-a}^0 \cos x~\mathrm{d}x\right]+ \lim_{b \to \infty }\left[\int_{0}^b \cos x~\mathrm{d}x\right] \\ \text{These are easy enough to antdifferentiate.} \\ &=\lim_{a \to \infty }\left[\sin 0 - \sin(- a) \right]+ \lim_{b \to \infty }\left[\sin b - \sin 0 \right]\\ &=\text{DNE} \end{aligned}$

Since the limits don't exist, the integral diverges. (It happens that both limits don't exist; even if only one failed to exist, the integral would still diverge.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.12절 · 17번

# 이상적분계산보통자동 분류

17.CLP-2 · 1.13절 · 4번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{x-1}{e^x}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{x-1}{e^x}~\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저, 이 적분은 이상적분임에 주목한다. 따라서 위끝을 문자로 바꾸고 극한을 취해야 한다. 다음으로, 부정적분을 구해야 한다. 피적분함수는 지수함수 $e^{-x}$ 와 다항식 $x-1$ 의 곱이므로, $u=x-1$ , $\mathrm{d}v=e^{-x}\mathrm{d}u$ , $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ , $v = -e^{-x}$ 로 놓고 부분적분을 한다.

$\begin{aligned} \int \dfrac{x-1}{e^x}~\mathrm{d}x&=-(x-1)e^{-x} + \int e^{-x}~\mathrm{d}x \\&=-(x-1)e^{-x} -e^{-x}+C =-xe^{-x}+C\\ \text{따라서,}\qquad\int_0^\infty \dfrac{x-1}{e^x}~\mathrm{d}x & = \lim_{b \to \infty}\int_0^b \dfrac{x-1}{e^x}~\mathrm{d}x\\ & = \lim_{b \to \infty}\left[-\frac{x}{e^x}\right]_0^b = \lim_{b \to \infty}\bigg[-\underbrace{\frac{b}{e^b}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}}\bigg]\\ & \stackrel{(*)}{=} \lim_{b \to \infty}-\frac{1}{e^b}=0 \end{aligned}$

( $*$ 로 표시한 등식에서는 로피탈 정리를 사용하였다.)

따라서 $\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{x-1}{e^x}~\mathrm{d}x=0$ 이다.

참고: 이로부터 흥미롭게도 $\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{x}{e^x}~\mathrm{d}x=\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{1}{e^x}~\mathrm{d}x$ 임을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

First, we note the integral is improper. So, we'll need to replace the top bound with a variable, and take a limit. Second, we're going to have to antidifferentiate. The integrand is the product of an exponential function, $e^{-x}$ , with a polynomial function, $x-1$ , so we use integration by parts with $u=x-1$ , $\mathrm{d}v=e^{-x}\mathrm{d}u$ , $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ , and $v = -e^{-x}$ .

$\begin{aligned} \int \dfrac{x-1}{e^x}~\mathrm{d}x&=-(x-1)e^{-x} + \int e^{-x}~\mathrm{d}x \\&=-(x-1)e^{-x} -e^{-x}+C =-xe^{-x}+C\\ \text{So,}\qquad\int_0^\infty \dfrac{x-1}{e^x}~\mathrm{d}x & = \lim_{b \to \infty}\int_0^b \dfrac{x-1}{e^x}~\mathrm{d}x\\ & = \lim_{b \to \infty}\left[-\frac{x}{e^x}\right]_0^b = \lim_{b \to \infty}\bigg[-\underbrace{\frac{b}{e^b}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}}\bigg]\\ & \stackrel{(*)}{=} \lim_{b \to \infty}-\frac{1}{e^b}=0 \end{aligned}$

(In the equality marked ( $*$ ), we used l'Hopital's rule.)

So, $\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{x-1}{e^x}~\mathrm{d}x=0$ .

Remark: this shows that, interestingly, $\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{x}{e^x}~\mathrm{d}x=\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{1}{e^x}~\mathrm{d}x$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.13절 · 35번

# 적분 전략 고르기계산보통자동 분류

18.CLP-2 · 1.13절 · 6번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int_1^2 x^2\log x ~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_1^2 x^2\log x ~\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

두 함수가 곱해져 있지만 서로 깔끔하게 간단해지지는 않는다. 그러나 로그를 미분하고 $x^2$ 을 적분하면 다항식을 얻는다. 그러므로 부분적분을 사용하자.

$u=\log x \, \mathrm{d}v=x^2\mathrm{d}x$ $\mathrm{d}u=(1/x)\mathrm{d}x \, v=x^3/3$

먼저 부정적분을 구하자. 적분 구간의 위끝과 아래끝은 나중에 다룬다.

$\begin{aligned} \int x^2\log x \mathrm{d}x &=\underbrace{(\log x)}_{u}\underbrace{(x^3/3)}_{v})-\int\underbrace{(x^3/3)}_{v}\underbrace{(1/x)\mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u}\\ &=\frac{1}{3}x^3\log x - \frac{1}{3}\int x^2\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{3}x^3\log x -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}x^3+C \\ &=\frac{1}{3}x^3\log x - \frac{1}{9}x^3+C \\ \text{ 미적분학의 기본정리 2를 사용하여 정적분의 값을 구한다.} \\ \int_1^2 x^3\log x \mathrm{d}x&= \left[\frac{1}{3}x^3\log x - \frac{1}{9}x^3\right]_1^2\\ &=\left[\frac{1}{3}2^3\log 2 - \frac{1}{9}2^3 \right] - \left[\frac{1}{3}1^3\log 1 - \frac{1}{9}1^3 \right]\\ &=\frac{8\log 2}{3}-\frac{8}{9}-0+\frac{1}{9}\\ &=\frac{8}{3}\log2-\frac{7}{9} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We see that we have two functions multiplied, but they don't simplify nicely with each other. However, if we differentiate logarithm, and integrate $x^2$ , we'll get a polynomial. So, let's use integration by parts.

$u=\log x \, \mathrm{d}v=x^2\mathrm{d}x$ $\mathrm{d}u=(1/x)\mathrm{d}x \, v=x^3/3$

First, let's antidifferentiate. We'll deal with the limits of integration later.

$\begin{aligned} \int x^2\log x \mathrm{d}x &=\underbrace{(\log x)}_{u}\underbrace{(x^3/3)}_{v})-\int\underbrace{(x^3/3)}_{v}\underbrace{(1/x)\mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u}\\ &=\frac{1}{3}x^3\log x - \frac{1}{3}\int x^2\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{3}x^3\log x -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}x^3+C \\ &=\frac{1}{3}x^3\log x - \frac{1}{9}x^3+C \\ \text{ We use the Fundamental Theorem of Calculus Part 2 to evaluate the definite integral.} \\ \int_1^2 x^3\log x \mathrm{d}x&= \left[\frac{1}{3}x^3\log x - \frac{1}{9}x^3\right]_1^2\\ &=\left[\frac{1}{3}2^3\log 2 - \frac{1}{9}2^3 \right] - \left[\frac{1}{3}1^3\log 1 - \frac{1}{9}1^3 \right]\\ &=\frac{8\log 2}{3}-\frac{8}{9}-0+\frac{1}{9}\\ &=\frac{8}{3}\log2-\frac{7}{9} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.13절 · 27번

# 적분 전략 고르기계산보통자동 분류

19.CLP-2 · 1.13절 · 7번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int\frac{x}{x^2-3}\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int\frac{x}{x^2-3}\,\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

분모의 도함수가 분자에 나타나고 상수배만큼만 다르므로 치환을 한다. 구체적으로 $u=x^2-3$ , $\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x$ 로 치환한다. 그러면 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} \int\frac{x}{x^2-3}\mathrm{d}x =\int\frac{\mathrm{d}u/2}{u} =\frac{1}{2}\log|u| + C =\frac{1}{2}\log\big|x^2-3\big| + C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The derivative of the denominator shows up in the numerator, only differing by a constant, so we perform a substitution. Specifically, substitute $u=x^2-3$ , $\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x$ . This gives

$\begin{aligned} \int\frac{x}{x^2-3}\mathrm{d}x =\int\frac{\mathrm{d}u/2}{u} =\frac{1}{2}\log|u| + C =\frac{1}{2}\log\big|x^2-3\big| + C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.13절 · 36번

# 적분 전략 고르기계산보통자동 분류

20.CLP-2 · 1.13절 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 적분의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle\int_0^4\frac{x}{\sqrt{9+x^2}}\,\mathrm{d}x$ (b) $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3x\ \sin^2x\,\mathrm{d}x$ (c) $\displaystyle\int_1^{e}x^3\log x\,\mathrm{d}x$

영어 원문 보기

Evaluate the following integrals.

(a) $\displaystyle\int_0^4\frac{x}{\sqrt{9+x^2}}\,\mathrm{d}x$ (b) $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3x\ \sin^2x\,\mathrm{d}x$ (c) $\displaystyle\int_1^{e}x^3\log x\,\mathrm{d}x$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

정답·풀이 보기

(a) 제곱근 안에 이차식이 있으면 흔히 삼각함수 치환을 떠올리지만, 이 경우에는 더 쉬운 치환이 있다. 구체적으로 $y=9+x^2$ 이라 하자. 그러면 $\mathrm{d}y=2x\mathrm{d}x,\ x\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}y}{2},\ y(0)=9$ 이고 $y(4)=25$ 이다.

$\begin{aligned} \int_0^4\frac{x}{\sqrt{9+x^2}}\,\mathrm{d}x &=\int_9^{25}\frac{1}{\sqrt{y}}\,\frac{\mathrm{d}y}{2} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{y}}{1/2}\Big|_9^{25} =5-3= 2 \end{aligned}$

(b) 코사인의 지수가 홀수이므로, 코사인 하나는 미분 요소로 남겨 두고 나머지는 사인으로 바꿀 수 있다. $y=\sin x,$ $\mathrm{d}y=\cos x$ , $\mathrm{d}x,$ $y(0)=0,$ $y(\pi/2)=1,$ $\cos^2x=1-y^2$ 으로 치환하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\cos^3x\ \sin^2x\,\mathrm{d}x &=\int_0^{\pi/2}\cos^2x\ \sin^2x\ \cos x\,\mathrm{d}x =\int_0^1\!(1-y^2)y^2\,\mathrm{d}y =\int_0^1(y^2-y^4)\,\mathrm{d}y \\ &=\bigg[\frac{y^3}{3}-\frac{y^5}{5}\bigg]_0^1 =\frac{1}{3}-\frac{1}{5} \\ &= \frac{2}{15} \end{aligned}$

(c) 피적분함수는 서로 다른 종류의 두 함수의 곱이며, 뚜렷한 치환이나 간단히 하는 방법이 없다. $\log x$ 를 미분하면 피적분함수의 나머지 부분의 다항식 꼴과 더 잘 맞는다. 따라서 $u(x)=\log x$ , $\mathrm{d}v=x^3\,\mathrm{d}x$ 로 놓고 부분적분하면 $\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ 이고 $v=x^4/4$ 이다.

$\begin{aligned} \int_1^{e}x^3\log x\,\mathrm{d}x &=\frac{x^4}{4}\log x\bigg|_1^e -\int_1^{e}\frac{x^4}{4}\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x =\frac{e^4}{4}-\int_1^{e}\frac{x^3}{4}\,\mathrm{d}x =\frac{e^4}{4}-\frac{x^4}{16}\bigg|_1^e \\ &=\frac{3e^4}{16}+\frac{1}{16} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Although a quadratic under a square root often suggests trigonometric substitution, in this case we have an easier substitution. Specifically, let $y=9+x^2$ . Then $\mathrm{d}y=2x\mathrm{d}x,\ x\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}y}{2},\ y(0)=9,$ and $y(4)=25$ .

$\begin{aligned} \int_0^4\frac{x}{\sqrt{9+x^2}}\,\mathrm{d}x &=\int_9^{25}\frac{1}{\sqrt{y}}\,\frac{\mathrm{d}y}{2} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{y}}{1/2}\Big|_9^{25} =5-3= 2 \end{aligned}$

(b) The power of cosine is odd, so we can reserve one cosine for the differential and change the rest to sines. Substituting $y=\sin x,$ $\mathrm{d}y=\cos x$ , $\mathrm{d}x,$ $y(0)=0,$ $y(\pi/2)=1,$ $\cos^2x=1-y^2$ :

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\cos^3x\ \sin^2x\,\mathrm{d}x &=\int_0^{\pi/2}\cos^2x\ \sin^2x\ \cos x\,\mathrm{d}x =\int_0^1\!(1-y^2)y^2\,\mathrm{d}y =\int_0^1(y^2-y^4)\,\mathrm{d}y \\ &=\bigg[\frac{y^3}{3}-\frac{y^5}{5}\bigg]_0^1 =\frac{1}{3}-\frac{1}{5} \\ &= \frac{2}{15} \end{aligned}$

(c) The integrand is the product of two different kinds of functions, with no obvious substitution or simplification. If we differentiate $\log x$ , it will match better with the polynomial nature of the rest of the integrand. So, integrate by parts with $u(x)=\log x$ and $\mathrm{d}v=x^3\,\mathrm{d}x$ , then $\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ and $v=x^4/4$ .

$\begin{aligned} \int_1^{e}x^3\log x\,\mathrm{d}x &=\frac{x^4}{4}\log x\bigg|_1^e -\int_1^{e}\frac{x^4}{4}\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x =\frac{e^4}{4}-\int_1^{e}\frac{x^3}{4}\,\mathrm{d}x =\frac{e^4}{4}-\frac{x^4}{16}\bigg|_1^e \\ &=\frac{3e^4}{16}+\frac{1}{16} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.13절 · 9번

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