빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분 기법

삼각치환

√(a²−x²) 같은 꼴을 x=a sin θ 등으로 바꾸어 적분한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

99문제 · 3 / 5쪽

41.OpenStax 2권 · 3.3절 · 41번대학 수준우리말 번역

완전제곱식을 이용하여 다음 적분의 값을 구하세요.

타원 x24+y29=1\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1 로 둘러싸인 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Use the technique of completing the square to evaluate the following integrals.

Find the area enclosed by the ellipse x24+y29=1.\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 12번
# 삼각치환계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
42.OpenStax 2권 · 3.3절 · 42번대학 수준우리말 번역

두 가지 서로 다른 치환을 사용하여 적분 ∫dx1−x2\int \frac{dx}{\sqrt{1-{x}^{2}}} 의 값을 구하세요. 먼저 x=cos⁡θx=\cos \theta 로 놓고 삼각치환을 이용하여 값을 구하세요. 다음으로 x=sin⁡θx=\sin \theta 로 놓고 삼각치환을 이용하세요. 두 답은 같은가요?

영어 원문 보기

Evaluate the integral ∫dx1−x2\int \frac{dx}{\sqrt{1-{x}^{2}}} using two different substitutions. First, let x=cos⁡θx=\cos \theta and evaluate using trigonometric substitution. Second, let x=sin⁡θx=\sin \theta and use trigonometric substitution. Are the answers the same?

정답·풀이 보기

arcsin⁡(x)+C\arcsin (x)+C 가 공통된 답이다.

원본 교재 풀이(영어)

arcsin⁡(x)+C\arcsin (x)+C is the common answer.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 40번
# 삼각치환활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
43.OpenStax 2권 · 3.3절 · 43번대학 수준우리말 번역

치환 x=sec⁡θx=\sec \theta 를 이용하여 적분 ∫dxxx2−1\int \frac{dx}{x\sqrt{{x}^{2}-1}} 의 값을 구하세요. 다음으로 치환 x=csc⁡θx=\csc \theta 를 이용하여 같은 적분의 값을 구하세요. 두 결과가 서로 같음을 보이세요.

영어 원문 보기

Evaluate the integral ∫dxxx2−1\int \frac{dx}{x\sqrt{{x}^{2}-1}} using the substitution x=sec⁡θ.x=\sec \theta . Next, evaluate the same integral using the substitution x=csc⁡θ.x=\csc \theta . Show that the results are equivalent.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.4절 · 2번
# 삼각치환증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
44.OpenStax 2권 · 3.3절 · 44번대학 수준우리말 번역

∫1udu\int \frac{1}{u}du 꼴을 이용하여 적분 ∫xx2+1dx\int \frac{x}{{x}^{2}+1}dx 의 값을 구하세요. 다음으로 x=tan⁡θx=\tan \theta 를 이용하여 같은 적분의 값을 구하세요. 두 결과는 같은가요?

영어 원문 보기

Evaluate the integral ∫xx2+1dx\int \frac{x}{{x}^{2}+1}dx using the form ∫1udu.\int \frac{1}{u}du. Next, evaluate the same integral using x=tan⁡θ.x=\tan \theta . Are the results the same?

정답·풀이 보기

어느 방법을 사용하더라도 결과는 12ln⁡(1+x2)+C\frac{1}{2}\ln (1+{x}^{2})+C 이다.

원본 교재 풀이(영어)

12ln⁡(1+x2)+C\frac{1}{2}\ln (1+{x}^{2})+C is the result using either method.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 48번
# 삼각치환계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
45.OpenStax 2권 · 3.3절 · 45번대학 수준우리말 번역

적분 ∫xx2+1dx\int x\sqrt{{x}^{2}+1}dx 의 값을 구하는 데 사용할 적분법을 말하세요. 이 방법을 선택한 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

State the method of integration you would use to evaluate the integral ∫xx2+1dx.\int x\sqrt{{x}^{2}+1}dx. Why did you choose this method?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 38번
# 삼각치환계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
46.OpenStax 2권 · 3.3절 · 46번대학 수준우리말 번역

적분 ∫x2x2−1dx\int {x}^{2}\sqrt{{x}^{2}-1}dx 의 값을 구하는 데 사용할 적분법을 말하세요. 이 방법을 선택한 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

State the method of integration you would use to evaluate the integral ∫x2x2−1dx.\int {x}^{2}\sqrt{{x}^{2}-1}dx. Why did you choose this method?

정답·풀이 보기

삼각치환을 이용한다. x=sec⁡(θ)x=\sec (\theta ) 로 놓는다.

원본 교재 풀이(영어)

Use trigonometric substitution. Let x=sec⁡(θ).x=\sec (\theta ).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 44번
# 삼각치환계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
47.OpenStax 2권 · 3.3절 · 47번대학 수준우리말 번역

완전제곱식을 이용하는 방법으로 다음 적분의 값을 구하세요.

∫−11xdxx2+1{\int }_{-1}^{1}\frac{xdx}{{x}^{2}+1} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Use the technique of completing the square to evaluate the following integrals.

Evaluate ∫−11xdxx2+1{\int }_{-1}^{1}\frac{xdx}{{x}^{2}+1}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 4번
# 삼각치환계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
48.OpenStax 2권 · 3.3절 · 48번대학 수준우리말 번역

지정된 구간에서 곡선의 호의 길이를 구하세요: y=ln⁡x,[1,5]y=\ln x,[1,5]. 답을 반올림하여 소수 셋째 자리까지 나타내세요.

영어 원문 보기

Find the length of the arc of the curve over the specified interval: y=ln⁡x,[1,5].y=\ln x,[1,5]. Round the answer to three decimal places.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

4.367

원본 교재 풀이(영어)

4.367

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.4절 · 2번
# 삼각치환계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
49.OpenStax 2권 · 3.3절 · 49번대학 수준우리말 번역

y=x2,y=0,x=0,그리고 x=2y={x}^{2},y=0,x=0,\text{그리고}\,x=\sqrt{2} 의 그래프로 둘러싸인 영역을 x축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 입체의 겉넓이를 구하세요. (답은 반올림하여 소수 셋째 자리까지 나타내세요.)

영어 원문 보기

Find the surface area of the solid generated by revolving the region bounded by the graphs of y=x2,y=0,x=0,and x=2y={x}^{2},y=0,x=0,\text{and}\,x=\sqrt{2} about the x-axis. (Round the answer to three decimal places).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 9번
# 삼각치환활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
50.OpenStax 2권 · 3.3절 · 50번대학 수준우리말 번역

함수 f(x)=11+x2f(x)=\frac{1}{1+{x}^{2}} 의 그래프와 x축으로 x=0x=0 과 x=1x=1 사이에서 둘러싸인 영역을 x축을 중심으로 회전시킵니다. 이때 생기는 입체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

The region bounded by the graph of f(x)=11+x2f(x)=\frac{1}{1+{x}^{2}} and the x-axis between x=0x=0 and x=1x=1 is revolved about the *x-*axis. Find the volume of the solid that is generated.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

π28+π4\frac{{\pi }^{2}}{8}+\frac{\pi }{4}

원본 교재 풀이(영어)

π28+π4\frac{{\pi }^{2}}{8}+\frac{\pi }{4}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 52번
# 삼각치환그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
51.OpenStax 2권 · 3.3절 · 51번대학 수준우리말 번역

y 를 x 의 함수로 하는 초깃값 문제를 푸세요.

(x2+36)dydx=1,y(6)=0({x}^{2}+36)\frac{dy}{dx}=1,y(6)=0

영어 원문 보기

Solve the initial-value problem for y as a function of x.

(x2+36)dydx=1,y(6)=0({x}^{2}+36)\frac{dy}{dx}=1,y(6)=0

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 4번
# 삼각치환계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
52.OpenStax 2권 · 3.3절 · 52번대학 수준우리말 번역

yy를 xx의 함수로 하는 초깃값 문제를 푸세요.

(64−x2)dydx=1,y(0)=3(64-{x}^{2})\frac{dy}{dx}=1,y(0)=3

영어 원문 보기

Solve the initial-value problem for y as a function of x.

(64−x2)dydx=1,y(0)=3(64-{x}^{2})\frac{dy}{dx}=1,y(0)=3

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

y=116ln⁡∣x+8x−8∣+3y=\frac{1}{16}\ln |\frac{x+8}{x-8}|+3

원본 교재 풀이(영어)

y=116ln⁡∣x+8x−8∣+3y=\frac{1}{16}\ln |\frac{x+8}{x-8}|+3

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 38번
# 삼각치환계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
53.OpenStax 2권 · 3.3절 · 53번대학 수준우리말 번역

yy를 xx의 함수로 하는 초깃값 문제를 푸세요.

y=264−4x2,x=0,y=0,그리고 x=2y=\frac{2}{\sqrt{64-4{x}^{2}}},x=0,y=0,\text{그리고}\,x=2 로 유계인 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Solve the initial-value problem for y as a function of x.

Find the area bounded by y=264−4x2,x=0,y=0,and x=2.y=\frac{2}{\sqrt{64-4{x}^{2}}},x=0,y=0,\text{and}\,x=2.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 38번
# 삼각치환계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
54.OpenStax 2권 · 3.3절 · 54번대학 수준우리말 번역

석유 저장 탱크는 y=1664+x2,x=0,y=0,x=2y=\frac{16}{\sqrt{64+{x}^{2}}},x=0,y=0,x=2 …로 유계된 영역을 x축을 중심으로 회전시켜 생기는 부피로 나타낼 수 있다. 탱크의 부피(세제곱미터)를 구하세요.

영어 원문 보기

An oil storage tank can be described as the volume generated by revolving the area bounded by y=1664+x2,x=0,y=0,x=2y=\frac{16}{\sqrt{64+{x}^{2}}},x=0,y=0,x=2 about the x-axis. Find the volume of the tank (in cubic meters).

정답·풀이 보기

24.6 m3

원본 교재 풀이(영어)

24.6 m3

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 28번
# 삼각치환활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
55.OpenStax 2권 · 3.3절 · 55번대학 수준우리말 번역

각 주기 동안 로봇 용접 장치의 속도 v(피트/초)는 v=2t−144+t2v=2t-\frac{14}{4+{t}^{2}} 로 주어진다. 여기서 t는 시간(초)이다. t=0t=0 일 때 s=0s=0 이면, 변위 s(피트)를 t의 함수로 나타낸 식을 구하세요.

영어 원문 보기

During each cycle, the velocity v (in feet per second) of a robotic welding device is given by v=2t−144+t2,v=2t-\frac{14}{4+{t}^{2}}, where t is time in seconds. Find the expression for the displacement s (in feet) as a function of t if s=0s=0 when t=0.t=0.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.4절 · 2번
# 삼각치환활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
56.OpenStax 2권 · 3.3절 · 56번대학 수준우리말 번역

x=0x=0 과 x=2x=2 사이에서 곡선 y=16−x2y=\sqrt{16-{x}^{2}} 의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the length of the curve y=16−x2y=\sqrt{16-{x}^{2}} between x=0x=0 and x=2.x=2.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

2π3\frac{2\pi }{3}

원본 교재 풀이(영어)

2π3\frac{2\pi }{3}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 34번
# 삼각치환계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
57.APEX · 6.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

빈칸을 채우세요: 부분분수 분해는 _____ 함수를 다시 쓰는 방법이다.

영어 원문 보기

Fill in the blank: Partial Fraction Decomposition is a method of rewriting _____ functions.

정답·풀이 보기

유리

원본 교재 풀이(영어)

rational

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 2번
# 삼각치환개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
58.APEX · 6.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 부분분수 분해를 사용하기 전에 다항식의 나눗셈을 사용해야 할 때가 가끔 있다.

영어 원문 보기

T/F: It is sometimes necessary to use polynomial division before using Partial Fraction Decomposition.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.4절 · 1번
# 삼각치환개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
59.APEX · 6.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–26에서 부정적분의 값을 구하세요.

∫7x+7x2+3x−10 dx\displaystyle \int \frac{7x+7}{x^2+3x-10}\ dx

영어 원문 보기

In Exercises 7–26, evaluate the indefinite integral.

∫7x+7x2+3x−10 dx\displaystyle \int \frac{7x+7}{x^2+3x-10}\ dx

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

3ln⁡∣x−2∣+4ln⁡∣x+5∣+C3 \ln |x-2|+4 \ln |x+5|+C

원본 교재 풀이(영어)

3ln⁡∣x−2∣+4ln⁡∣x+5∣+C3 \ln |x-2|+4 \ln |x+5|+C

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 11번
# 삼각치환계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
60.APEX · 6.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–26에서 부정적분의 값을 구하세요.

∫7x−2x2+x dx\displaystyle \int \frac{7x-2}{x^2+x}\ dx

영어 원문 보기

In Exercises 7–26, evaluate the indefinite integral.

∫7x−2x2+x dx\displaystyle \int \frac{7x-2}{x^2+x}\ dx

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

9ln⁡∣x+1∣−2ln⁡∣x∣+C9 \ln |x+1|-2 \ln |x|+C

원본 교재 풀이(영어)

9ln⁡∣x+1∣−2ln⁡∣x∣+C9 \ln |x+1|-2 \ln |x|+C

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 20번
# 삼각치환계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)