함수의 극한과 연속 전체 연습문제

1.OpenStax 1권 · 2.2절 · 28번우리말 풀이

다음 문제에서는 여기에 나온 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용해 값을 구하세요. 구할 수 있다면 구하고, 필요하면 어림해 보세요.

$\lim_{x\to 0}f(x)$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the graph of the function $y=f(x)$ shown here to find the values, if possible. Estimate when necessary.

$\lim_{x\to 0}f(x)$

풀이 보기

극한이 있으려면 왼쪽에서 다가갈 때와 오른쪽에서 다가갈 때의 값이 같아야 해요.

1
왼쪽에서 다가가요. $x<0$ 일 때의 그래프는 직선이에요. $x$ 가 $0$ 에 왼쪽에서 가까워지면 점이 빈 원이 있는 $(0,1)$ 쪽으로 다가가므로 $\lim_{x\to0^{-}}f(x)=1$ 이에요. (빈 원이라 $f(0)=1$ 은 아니지만 극한값에는 상관없어요.)
2
오른쪽에서 다가가요. $x\ge 0$ 에서는 포물선의 오른쪽 절반이고 꼭짓점 $(0,-4)$ 에서 시작해요. 오른쪽에서 $0$ 에 가까워지면 $y$ 값이 $-4$ 에 다가가므로 $\lim_{x\to0^{+}}f(x)=-4$ 예요.
3
두 값을 비교해요. 왼쪽 극한 $1$ 과 오른쪽 극한 $-4$ 가 서로 달라요. 따라서 $x\to0$ 일 때의 극한은 존재하지 않아요.

답

극한이 존재하지 않는다 (DNE)

자주 하는 실수

점 $(0,-4)$ 처럼 색칠된 원의 값, 즉 $f(0)=-4$ 를 그대로 극한값이라고 써요.

원본 교재 풀이(영어)

DNE

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 40번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석기본

2.OpenStax 1권 · 2.2절 · 34번우리말 풀이

다음 문제에서 그림에 나온 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용하여 가능하면 값을 구하세요. 필요하면 어림해도 돼요.

세 개의 직선 조각으로 이루어진 함수의 그래프예요. 첫째는 x<-2 에서 기울기 1이며 (-2,0) 에서 속이 빈 점으로 끝나요. 둘째는 -2<x<2 에서 기울기 -1 이고 원점을 지나며, 양 끝 (-2,2), (2,-2) 는 속이 찬 점이에요. 셋째는 x>2 에서 기울기 1이고 (2,2) 의 속이 빈 점에서 시작해요.

$\lim_{x\to 2^{+}}f(x)$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the graph of the function $y=f(x)$ shown here to find the values, if possible. Estimate when necessary.

$\lim_{x\to {2}^{+}}f(x)$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x\to2^+$ 는 오른쪽에서 다가가는 것이니, $x>2$ 인 부분의 그래프가 향하는 높이를 읽어요.

1
$x\to2^+$ 는 $x$ 가 $2$ 보다 큰 쪽에서 $2$ 로 다가간다는 뜻이에요. 그러니 $x=2$ 의 오른쪽 그래프만 봐요.
2
$x>2$ 에서 그래프는 기울기 $1$ 인 직선이고, $(2,2)$ 의 속이 빈 점에서 시작해요. 속이 빈 점은 그 점에서 함숫값이 $2$ 가 아니라는 뜻이지만, 그래프가 향하는 높이는 $2$ 예요.
3
$x$ 가 오른쪽에서 $2$ 로 다가갈수록 $f(x)$ 는 $2$ 에 가까워지므로 $\lim_{x\to2^+}f(x)=2$ 예요. (참고로 $x\to2^-$ 일 때는 $-2$ 로 가서 좌극한과 우극한이 달라요.)

답

$2$

자주 하는 실수

$x=2$ 에서 점이 찍힌 곳( $-2$ )의 높이를 읽어 우극한도 $-2$ 라고 답하기 쉬워요. 우극한은 오른쪽 가지만 봐요.

원본 교재 풀이(영어)

2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 35번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석기본

3.OpenStax 1권 · 2.2절 · 40번우리말 풀이

다음 문제에서는 여기에 나온 함수 $y=h(x)$ 의 그래프를 이용해 값을 구하세요. 구할 수 있다면 구하고, 필요하면 어림해 보세요.

$\lim_{x\to 0^{+}}h(x)$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the graph of the function $y=h(x)$ shown here to find the values, if possible. Estimate when necessary.

$\lim_{x\to {0}^{+}}h(x)$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x\to0^{+}$ 는 $0$ 보다 큰 쪽(오른쪽)에서만 다가간다는 뜻이니 그래프의 오른쪽 조각만 보면 돼요.

1
어느 쪽을 볼지 정해요. $0^{+}$ 는 $x>0$ 인 쪽에서 $0$ 에 다가간다는 뜻이에요. 그래서 $y$ 축 오른쪽, 즉 1사분면의 곡선만 보면 돼요.
2
곡선이 다가가는 값을 읽어요. 1사분면의 곡선은 원점에서 시작해 오른쪽으로 뻗어요. $x$ 가 오른쪽에서 $0$ 에 가까워지면 곡선의 $y$ 값도 $0$ 에 가까워져요.

답

$0$

자주 하는 실수

왼쪽 곡선(3사분면)까지 함께 보고 극한이 없다고 판단해요. 이 문제는 오른쪽에서만 다가가요.

원본 교재 풀이(영어)

0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.4절 · 3번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석기본

4.OpenStax 1권 · 2.3절 · 11번우리말 풀이

다음 문제에서는 직접 대입하면 각 극한이 부정형 $0/0$ 이 됨을 보이세요. 그런 다음 극한값을 구하세요.

$\lim_{x\to 4}\dfrac{x^{2}-16}{x-4}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to show that each limit leads to the indeterminate form $0/0.$ Then, evaluate the limit.

$\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}$

풀이 보기

$0/0$ 꼴이면 분자를 인수분해해서 분모와 같은 인수를 약분해요.

1
먼저 $x=4$ 를 대입해 봐요. 분자는 $4^2-16=0$ , 분모는 $4-4=0$ 이라서 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이 돼요. 이 꼴은 값이 정해지지 않아서 식을 바꿔야 해요.
2
분자를 인수분해해요. $x^2-16=(x+4)(x-4)$ 이므로

$\frac{x^2-16}{x-4}=\frac{(x+4)(x-4)}{x-4}$
3
약분해요. $x\to4$ 일 때 $x\ne4$ 이므로 $x-4\ne0$ 이라서 약분해도 돼요. 식은 $x+4$ 가 돼요.
4
극한값을 구해요. $\lim_{x\to4}(x+4)=4+4=8$

답

$8$

자주 하는 실수

$0/0$ 이 나오면 극한이 $0$ 이라고 하거나 존재하지 않는다고 단정해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}=\frac{16-16}{4-4}=\frac{0}{0};$ then, $\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}=\lim_{x\to 4}\frac{(x+4)(x-4)}{x-4}=8$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 23번

# 극한의 성질과 계산계산기본

5.OpenStax 1권 · 2.3절 · 35번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 문제에서는 계산기로 각 조각 함수의 그래프를 그리고, 그래프를 살펴서 주어진 극한을 구하세요.

$h(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}-2x+1, & x<2 \\ 3-x, & x\ge 2\end{array}\right.$

a. $\lim_{x\to 2^{-}}h(x)$ b. $\lim_{x\to 2^{+}}h(x)$

영어 원문 보기

[T] In the following exercises, use a calculator to draw the graph of each piecewise-defined function and study the graph to evaluate the given limits.

$h(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^{2}-2x+1, & x<2 \\ 3-x, & x\ge 2\end{array}\right.$

a. $\lim_{x\to {2}^{-}}h(x)$ b. $\lim_{x\to {2}^{+}}h(x)$

풀이 보기

$x=2$ 의 왼쪽에서는 첫 번째 식을, 오른쪽에서는 두 번째 식을 써요.

1
어느 식을 쓸지 정해요. $x\to2^{-}$ 는 $x<2$ 이므로 $x^2-2x+1$ 을 써요. $x\to2^{+}$ 는 $x>2$ 이므로 $3-x$ 를 써요.
2
(a) 왼쪽 극한을 구해요. $x^2-2x+1$ 은 다항함수라 그냥 대입하면 돼요. $2^2-2\cdot2+1=1$ 이에요.
3
(b) 오른쪽 극한을 구해요. $3-x$ 에 $x=2$ 를 대입하면 $3-2=1$ 이에요.
4
그래프와 비교해요. 그래프에서 왼쪽 포물선과 오른쪽 직선이 모두 점 $(2,1)$ 에서 만나요. 두 극한이 같으니 $\lim_{x\to2}h(x)=1$ 로 극한이 존재해요.

답

(a) $1$ (b) $1$

자주 하는 실수

조각 함수에서 두 식을 구분하지 않고 한 식에만 대입해요.

원본 교재 풀이(영어)

The graph of a piecewise function with two segments. The first segment is the parabola x^2 – 2x + 1, for x < 2. It opens upward and has a vertex at (1,0). The second segment is the line 3-x for x>= 2. It has a slope of -1 and an x intercept at (3,0).

a. 1; b. 1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 47번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석기본

6.OpenStax 1권 · 2.4절 · 9번우리말 풀이

다음 문제에서는 주어진 점에서 함수가 연속인지 판단하세요. 불연속이라면 어떤 종류의 불연속인가요?

$f(x)=\dfrac{2x^{2}-5x+3}{x-1}$ , $x=1$ 에서

영어 원문 보기

For the following exercises, decide if the function continuous at the given point. If it is discontinuous, what type of discontinuity is it?

$f(x)=\frac{2{x}^{2}-5x+3}{x-1}$ at $x=1$

풀이 보기

연속이 되려면 그 점에서 함숫값이 정의되고, 극한값이 있고, 둘이 같아야 해요.

1
함숫값이 있는지 확인해요. $x=1$ 을 넣으면 분모가 $0$ 이라서 $f(1)$ 이 정의되지 않아요. 연속의 첫 조건부터 어긋나므로 연속이 아니에요.
2
극한을 구해서 불연속의 종류를 판단해요. 분자를 인수분해하면 $2x^2-5x+3=(2x-3)(x-1)$ 이에요.

$\lim_{x\to1}\frac{(2x-3)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(2x-3)=-1$
3
결론을 내려요. 극한값 $-1$ 은 존재하는데 함숫값이 없을 뿐이에요. $f(1)=-1$ 로 정의하면 이어 붙일 수 있는 불연속이니 제거 가능한 불연속이에요.

답

연속이 아니다. 제거 가능한 불연속이다.

자주 하는 실수

함숫값이 없으면 항상 점근선이 생기는 불연속이라고 생각해요. 극한값이 있으면 제거 가능한 불연속이에요.

원본 교재 풀이(영어)

No. It is a removable discontinuity.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 39번

# 함수의 연속개념 확인기본

7.OpenStax 1권 · 4.6절 · 11번우리말 풀이

다음 문제에서 극한을 구하세요.

$\lim_{x\to \infty }\dfrac{1}{3x+6}$

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the limit.

$\lim_{x\to \infty }\frac{1}{3x+6}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

분자는 일정한데 분모가 한없이 커지면 분수는 $0$ 에 가까워져요.

1
분모가 어떻게 되는지 봐요. $x\to\infty$ 이면 $3x+6$ 도 한없이 커져요.
2
분수의 값을 판단해요. $1$ 을 한없이 큰 수로 나누면 $0$ 에 가까워지므로

$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{3x+6}=0$

답

$0$

자주 하는 실수

$\dfrac{1}{\infty}$ 를 정의되지 않는 꼴로 착각해요. 분자가 상수이고 분모가 한없이 커지면 $0$ 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 25번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산기본

8.OpenStax 1권 · 4.6절 · 39번우리말 풀이

다음 문제에서는 그래픽 계산기에서 창을 $x=[-5,5]$ 로 놓고 함수의 그래프를 그려 수평점근선이나 극한을 어림해 보세요. 그런 다음 실제 수평점근선이나 극한을 계산하세요.

[계산기 사용] $f(x)=\dfrac{1}{x+10}$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the function on a graphing calculator on the window $x=[-5,5]$ and estimate the horizontal asymptote or limit. Then, calculate the actual horizontal asymptote or limit.

[T] $f(x)=\frac{1}{x+10}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x\to\infty$ 일 때 분모가 한없이 커지므로 $f(x)\to0$ 이고, 수평점근선은 $y=0$ 이에요.

1
창 안에서 어림해요. $-5\le x\le5$ 에서 $f(x)$ 는 $\dfrac{1}{5}$ 에서 $\dfrac{1}{15}$ 사이의 양수 값이에요. $0$ 에 가까워지는 듯하지만 이 작은 창만으로는 점근선을 확신하기 어려워요.
2
실제 극한을 계산해요. $x\to\infty$ 이면 $x+10\to\infty$ 이므로 $\dfrac{1}{x+10}\to0$ 이에요. $x\to-\infty$ 일 때도 분모의 절댓값이 한없이 커져서 $0$ 에 가까워져요.
3
점근선을 말해요. 극한이 $0$ 이므로 수평점근선은 $y=0$ 이에요. (참고로 $x=-10$ 에서는 분모가 $0$ 이라 수직점근선이 생기지만, 이 창 밖에 있어요.)

답

$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ 이므로 수평점근선은 $y=0$

자주 하는 실수

주어진 창 안의 그래프만 보고 점근선이 없다고 하거나 $x=-10$ 의 수직점근선을 놓쳐요.

원본 교재 풀이(영어)

$y=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.5절 · 26번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산기본

함수의 극한과 연속 전체 문제