함수의 극한과 연속 전체 연습문제

1.OpenStax 1권 · 2.1절 · 13번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 표를 알맞은 값으로 채우세요. $y$ 좌표, 점 $Q(x,y)$ , 그리고 두 점 $P$ , $Q$ 를 지나는 할선의 기울기 $m_{\text{sec}}$ 를 구합니다. 답은 유효숫자 8자리로 반올림하세요.

x	y	$Q(x,y)$	m_sec
−1.05	a.	e.	i.
−1.01	b.	f.	j.
−1.005	c.	g.	k.
−1.001	d.	h.	l.

영어 원문 보기

[T] Complete the following table with the appropriate values: y-coordinate of Q, the point $Q(x,y),$ and the slope of the secant line passing through points P and Q. Round your answer to eight significant digits.

x	y	$Q(x,y)$	m_sec
−1.05	a.	e.	i.
−1.01	b.	f.	j.
−1.005	c.	g.	k.
−1.001	d.	h.	l.

풀이 보기

점 Q 를 점 P 에 가까이 보낼수록 할선의 기울기가 어떤 값에 다가가는지 표로 살펴보는 문제예요.

1
어떤 함수와 점인지 먼저 확인해요. 이 문제에는 함수와 점 $P$ 가 나와 있지 않지만, 원본 정답의 값( $-0.95238095$ 등)을 보면 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 이고 $P(-1,-1)$ 임을 알 수 있어요. (앞 문제에서 주어진 조건으로 보여요.)
2
$y$ 좌표(a~d)를 구해요. 점 $Q$ 는 곡선 위의 점이니까 $y=\dfrac{1}{x}$ 에 $x$ 값을 넣으면 돼요.
- $x=-1.05$ 일 때 $y=\dfrac{1}{-1.05}\approx -0.95238095$
- $x=-1.01$ 일 때 $y\approx -0.99009901$
- $x=-1.005$ 일 때 $y\approx -0.99502488$
- $x=-1.001$ 일 때 $y\approx -0.99900100$
3
점 $Q(x,y)$ (e~h)를 적어요. 위에서 구한 $x$ 와 $y$ 를 짝지으면 돼요.
- $Q(-1.05,\,-0.95238095)$
- $Q(-1.01,\,-0.99009901)$
- $Q(-1.005,\,-0.99502488)$
- $Q(-1.001,\,-0.99900100)$
4
할선의 기울기(i~l)를 구해요. 두 점 $P(-1,-1)$ , $Q(x,y)$ 를 지나는 직선의 기울기는 $m_{\text{sec}}=\dfrac{y-(-1)}{x-(-1)}=\dfrac{y+1}{x+1}$ 이에요.

$x=-1.05$ 이면 $\dfrac{-0.95238095+1}{-1.05+1}=\dfrac{0.04761905}{-0.05}\approx -0.95238095$ 예요.

사실 $y=\dfrac1x$ 를 넣어 정리하면 $m_{\text{sec}}=\dfrac{\frac1x+1}{x+1}=\dfrac{\frac{1+x}{x}}{x+1}=\dfrac1x$ 라서 기울기는 $y$ 값과 똑같아요.
5
표에서 알 수 있는 것을 정리해요. $x$ 가 $-1$ 에 가까워질수록 $m_{\text{sec}}$ 는 $-1$ 에 가까워져요. 이 값이 점 $P$ 에서의 접선의 기울기를 짐작하게 해 줘요.

답

(a) $-0.95238095$ (b) $-0.99009901$ (c) $-0.99502488$ (d) $-0.99900100$ / (e)~(h) $Q$ 는 각각 $(-1.05,-0.95238095)$ , $(-1.01,-0.99009901)$ , $(-1.005,-0.99502488)$ , $(-1.001,-0.99900100)$ / (i)~(l) 기울기는 (a)~(d) 와 같은 값

자주 하는 실수

할선의 기울기를 구할 때 $x$ 값 대신 $x+1$ 이어야 하는 분모에 $x$ 를 그대로 넣거나, 부호를 빠뜨려요.

원본 교재 풀이(영어)

a. −0.95238095; b. −0.99009901; c. −0.99502488; d. −0.99900100; e. (−1;.0500000,−0;.95238095); f. (−1;.0100000,−0;.9909901); g. (−1;.0050000,−0;.99502488); h. (1.0010000,−0;.99900100); i. −0.95238095; j. −0.99009901; k. −0.99502488; l. −0.99900100

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 2번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석보통

2.OpenStax 1권 · 2.2절 · 16번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 문제에서는 값의 표를 만들고 유효숫자 8자리로 반올림하세요. 표를 보고 극한값이 얼마일지 짐작해 보세요. 그다음 계산기로 함수의 그래프를 그려 극한을 확인하세요. 짐작이 맞았나요? 맞지 않았다면 표를 이용한 방법은 왜 실패했을까요?

$\lim_{\alpha \to 0^{+}}\dfrac{1}{\alpha }\cos \left(\dfrac{\pi }{\alpha }\right)$

$\alpha$	$\dfrac{1}{\alpha }\cos \left(\dfrac{\pi }{\alpha }\right)$
0.1	a.
0.01	b.
0.001	c.
0.0001	d.

영어 원문 보기

[T] In the following exercises, set up a table of values and round to eight significant digits. Based on the table of values, make a guess about what the limit is. Then, use a calculator to graph the function and determine the limit. Was the conjecture correct? If not, why does the method of tables fail?

$\lim_{\alpha \to {0}^{+}}\frac{1}{\alpha }\cos \left(\frac{\pi }{\alpha }\right)$

$\alpha$	$\frac{1}{\alpha }\cos \left(\frac{\pi }{\alpha }\right)$
0.1	a.
0.01	b.
0.001	c.
0.0001	d.

풀이 보기

표에 쓴 몇 개의 값만으로는 극한을 단정할 수 없어요. 그래프나 식 전체의 움직임까지 봐야 해요.

1
표를 채워요. 코사인 안의 값 $\dfrac{\pi}{\alpha}$ 를 먼저 구해요.
- $\alpha=0.1$ 이면 $\dfrac{\pi}{0.1}=10\pi$ 이고 $\cos 10\pi=1$ 이므로 값은 $\dfrac{1}{0.1}\cdot 1=10$
- $\alpha=0.01$ 이면 $\cos 100\pi=1$ 이므로 값은 $100$
- $\alpha=0.001$ 이면 값은 $1000$
- $\alpha=0.0001$ 이면 값은 $10000$
2
표를 보고 짐작해요. 값이 $10,100,1000,10000$ 으로 한없이 커지니까 $\alpha\to0^{+}$ 일 때 극한이 $\infty$ 라고 짐작할 수 있어요.
3
그래프를 확인해요. 그래프를 그려 보면 $0$ 에 가까워질수록 위아래로 아주 빠르게 흔들리면서 흔들림의 폭이 점점 커져요. 코사인 값이 $-1$ 과 $1$ 사이를 계속 오가는데 앞에 곱한 $\dfrac1\alpha$ 가 커지기 때문이에요. 그래서 $\infty$ 로만 가지 않고 $-\infty$ 쪽으로도 가요.
4
정말 극한이 있는지 따져 봐요. 같은 $\alpha\to0^{+}$ 인데 점을 다르게 고르면 결과가 달라져요.
- $\alpha=\dfrac1{2n}$ 이면 $\dfrac{\pi}{\alpha}=2n\pi$ 이므로 값은 $2n\cdot 1=2n\to\infty$
- $\alpha=\dfrac1{2n+1}$ 이면 $\dfrac{\pi}{\alpha}=(2n+1)\pi$ 이므로 값은 $-(2n+1)\to-\infty$
한 값에 다가가지 않으므로 극한은 존재하지 않아요.
5
표가 실패한 이유예요. 표에 고른 $\alpha=0.1,0.01,0.001,0.0001$ 은 모두 $\dfrac{1}{(\text{짝수})}$ 꼴이라 코사인이 항상 $1$ 이 되는 점만 골랐어요. 그래서 진동하는 모습을 보지 못하고 $\infty$ 라고 잘못 짐작한 거예요.

답

(a) $10$ (b) $100$ (c) $1000$ (d) $10000$ . 표로 짐작한 극한은 $\infty$ 이지만 실제로는 극한이 존재하지 않아요.

자주 하는 실수

표의 값이 계속 커진다는 것만 보고 극한이 $\infty$ 라고 확신해요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 10.00000; b. 100.00000; c. 1000.0000; d. 10,000.000; Guess: $\lim_{\alpha \to {0}^{+}}\frac{1}{\alpha }\cos \left(\frac{\pi }{\alpha }\right)=\infty ,$ actual: DNE

A graph of the function (1/alpha) * cos (pi / alpha), which oscillates gently until the interval (-.2, .2), where it oscillates rapidly, going to infinity and negative infinity as it approaches the y axis.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.1절 · 13번

# 함수의 극한의 뜻그래프·표 해석보통

3.OpenStax 1권 · 2.2절 · 28번우리말 풀이

다음 문제에서는 여기에 나온 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용해 값을 구하세요. 구할 수 있다면 구하고, 필요하면 어림해 보세요.

$\lim_{x\to 0}f(x)$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the graph of the function $y=f(x)$ shown here to find the values, if possible. Estimate when necessary.

$\lim_{x\to 0}f(x)$

풀이 보기

극한이 있으려면 왼쪽에서 다가갈 때와 오른쪽에서 다가갈 때의 값이 같아야 해요.

1
왼쪽에서 다가가요. $x<0$ 일 때의 그래프는 직선이에요. $x$ 가 $0$ 에 왼쪽에서 가까워지면 점이 빈 원이 있는 $(0,1)$ 쪽으로 다가가므로 $\lim_{x\to0^{-}}f(x)=1$ 이에요. (빈 원이라 $f(0)=1$ 은 아니지만 극한값에는 상관없어요.)
2
오른쪽에서 다가가요. $x\ge 0$ 에서는 포물선의 오른쪽 절반이고 꼭짓점 $(0,-4)$ 에서 시작해요. 오른쪽에서 $0$ 에 가까워지면 $y$ 값이 $-4$ 에 다가가므로 $\lim_{x\to0^{+}}f(x)=-4$ 예요.
3
두 값을 비교해요. 왼쪽 극한 $1$ 과 오른쪽 극한 $-4$ 가 서로 달라요. 따라서 $x\to0$ 일 때의 극한은 존재하지 않아요.

답

극한이 존재하지 않는다 (DNE)

자주 하는 실수

점 $(0,-4)$ 처럼 색칠된 원의 값, 즉 $f(0)=-4$ 를 그대로 극한값이라고 써요.

원본 교재 풀이(영어)

DNE

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 40번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석기본

4.OpenStax 1권 · 2.2절 · 34번우리말 풀이

다음 문제에서 그림에 나온 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용하여 가능하면 값을 구하세요. 필요하면 어림해도 돼요.

세 개의 직선 조각으로 이루어진 함수의 그래프예요. 첫째는 x<-2 에서 기울기 1이며 (-2,0) 에서 속이 빈 점으로 끝나요. 둘째는 -2<x<2 에서 기울기 -1 이고 원점을 지나며, 양 끝 (-2,2), (2,-2) 는 속이 찬 점이에요. 셋째는 x>2 에서 기울기 1이고 (2,2) 의 속이 빈 점에서 시작해요.

$\lim_{x\to 2^{+}}f(x)$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the graph of the function $y=f(x)$ shown here to find the values, if possible. Estimate when necessary.

$\lim_{x\to {2}^{+}}f(x)$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x\to2^+$ 는 오른쪽에서 다가가는 것이니, $x>2$ 인 부분의 그래프가 향하는 높이를 읽어요.

1
$x\to2^+$ 는 $x$ 가 $2$ 보다 큰 쪽에서 $2$ 로 다가간다는 뜻이에요. 그러니 $x=2$ 의 오른쪽 그래프만 봐요.
2
$x>2$ 에서 그래프는 기울기 $1$ 인 직선이고, $(2,2)$ 의 속이 빈 점에서 시작해요. 속이 빈 점은 그 점에서 함숫값이 $2$ 가 아니라는 뜻이지만, 그래프가 향하는 높이는 $2$ 예요.
3
$x$ 가 오른쪽에서 $2$ 로 다가갈수록 $f(x)$ 는 $2$ 에 가까워지므로 $\lim_{x\to2^+}f(x)=2$ 예요. (참고로 $x\to2^-$ 일 때는 $-2$ 로 가서 좌극한과 우극한이 달라요.)

답

$2$

자주 하는 실수

$x=2$ 에서 점이 찍힌 곳( $-2$ )의 높이를 읽어 우극한도 $-2$ 라고 답하기 쉬워요. 우극한은 오른쪽 가지만 봐요.

원본 교재 풀이(영어)

2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 35번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석기본

5.OpenStax 1권 · 2.2절 · 40번우리말 풀이

다음 문제에서는 여기에 나온 함수 $y=h(x)$ 의 그래프를 이용해 값을 구하세요. 구할 수 있다면 구하고, 필요하면 어림해 보세요.

$\lim_{x\to 0^{+}}h(x)$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the graph of the function $y=h(x)$ shown here to find the values, if possible. Estimate when necessary.

$\lim_{x\to {0}^{+}}h(x)$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x\to0^{+}$ 는 $0$ 보다 큰 쪽(오른쪽)에서만 다가간다는 뜻이니 그래프의 오른쪽 조각만 보면 돼요.

1
어느 쪽을 볼지 정해요. $0^{+}$ 는 $x>0$ 인 쪽에서 $0$ 에 다가간다는 뜻이에요. 그래서 $y$ 축 오른쪽, 즉 1사분면의 곡선만 보면 돼요.
2
곡선이 다가가는 값을 읽어요. 1사분면의 곡선은 원점에서 시작해 오른쪽으로 뻗어요. $x$ 가 오른쪽에서 $0$ 에 가까워지면 곡선의 $y$ 값도 $0$ 에 가까워져요.

답

$0$

자주 하는 실수

왼쪽 곡선(3사분면)까지 함께 보고 극한이 없다고 판단해요. 이 문제는 오른쪽에서만 다가가요.

원본 교재 풀이(영어)

0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.4절 · 3번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석기본

6.OpenStax 1권 · 2.3절 · 35번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 문제에서는 계산기로 각 조각 함수의 그래프를 그리고, 그래프를 살펴서 주어진 극한을 구하세요.

$h(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}-2x+1, & x<2 \\ 3-x, & x\ge 2\end{array}\right.$

a. $\lim_{x\to 2^{-}}h(x)$ b. $\lim_{x\to 2^{+}}h(x)$

영어 원문 보기

[T] In the following exercises, use a calculator to draw the graph of each piecewise-defined function and study the graph to evaluate the given limits.

$h(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^{2}-2x+1, & x<2 \\ 3-x, & x\ge 2\end{array}\right.$

a. $\lim_{x\to {2}^{-}}h(x)$ b. $\lim_{x\to {2}^{+}}h(x)$

풀이 보기

$x=2$ 의 왼쪽에서는 첫 번째 식을, 오른쪽에서는 두 번째 식을 써요.

1
어느 식을 쓸지 정해요. $x\to2^{-}$ 는 $x<2$ 이므로 $x^2-2x+1$ 을 써요. $x\to2^{+}$ 는 $x>2$ 이므로 $3-x$ 를 써요.
2
(a) 왼쪽 극한을 구해요. $x^2-2x+1$ 은 다항함수라 그냥 대입하면 돼요. $2^2-2\cdot2+1=1$ 이에요.
3
(b) 오른쪽 극한을 구해요. $3-x$ 에 $x=2$ 를 대입하면 $3-2=1$ 이에요.
4
그래프와 비교해요. 그래프에서 왼쪽 포물선과 오른쪽 직선이 모두 점 $(2,1)$ 에서 만나요. 두 극한이 같으니 $\lim_{x\to2}h(x)=1$ 로 극한이 존재해요.

답

(a) $1$ (b) $1$

자주 하는 실수

조각 함수에서 두 식을 구분하지 않고 한 식에만 대입해요.

원본 교재 풀이(영어)

The graph of a piecewise function with two segments. The first segment is the parabola x^2 – 2x + 1, for x < 2. It opens upward and has a vertex at (1,0). The second segment is the line 3-x for x>= 2. It has a slope of -1 and an x intercept at (3,0).

a. 1; b. 1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 47번

# 좌극한과 우극한그래프·표 해석기본

7.OpenStax 1권 · 2.4절 · 29번우리말 풀이

다음 문제에서 $y=f(x)$ 가 모든 $x$ 에서 정의되어 있다고 해요. 각 설명에 맞는 성질을 가진 그래프를 그리세요.

$x=1$ 에서 불연속이고 $\lim_{x\to -1}f(x)=-1$ , $\lim_{x\to 2}f(x)=4$ 인 함수

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose $y=f(x)$ is defined for all x. For each description, sketch a graph with the indicated property.

Discontinuous at $x=1$ with $\lim_{x\to -1}f(x)=-1$ and $\lim_{x\to 2}f(x)=4$

풀이 보기

$x=1$ 에서만 일부러 끊어 놓고 나머지는 두 극한 조건을 만족하는 선으로 이으면 돼요.

1
조건을 정리해요. 세 가지가 필요해요. ① $x=1$ 에서 끊어질 것, ② $x=-1$ 근처에서 $y$ 가 $-1$ 에 가까울 것, ③ $x=2$ 근처에서 $y$ 가 $4$ 에 가까울 것.
2
쉬운 식을 골라요. $x<1$ 에서는 $f(x)=x$ 로 놓으면 $x\to-1$ 일 때 $-1$ 이에요. $x\ge1$ 에서는 $f(x)=x+2$ 로 놓으면 $x\to2$ 일 때 $4$ 예요.
3
$x=1$ 에서 끊어졌는지 확인해요. 왼쪽 극한은 $1$ , 오른쪽 극한은 $1+2=3$ 이에요. 극한이 서로 달라 $x=1$ 에서 불연속(점프)이에요. 그래프는 점 $(1,1)$ 까지 오는 선과 점 $(1,3)$ 에서 시작하는 선으로 그려요.

답

예시 답: $f(x)=\begin{cases}x,&x<1\\x+2,&x\ge1\end{cases}$ (정답은 여러 가지예요)

자주 하는 실수

그래프를 한 번에 이어서 그려 $x=1$ 에서 끊기지 않게 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary; see the following example:

The graph of a piecewise function with two parts. The first part is an increasing curve that exists for x < 1. It ends at (1,1). The second part is an increasing line that exists for x > 1. It begins at (1,3).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 19번

# 함수의 연속그래프·표 해석보통

함수의 극한과 연속 전체 문제