문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

곡면의 넓이

z=f(x,y) 곡면의 넓이를 이중적분으로 구한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

6문제 · 1 / 1쪽

1.APEX · 13.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

"겉넓이"는 앞서 배운 어떤 개념과 비슷한가?

영어 원문 보기

“Surface area” is analogous to what previously studied concept?

정답·풀이 보기

곡선의 길이

원본 교재 풀이(영어)

arc length

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 3번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

2.APEX · 13.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

곡면의 작은 부분의 넓이를 어림하기 위해, 그 부분의 _____ 평면의 넓이를 계산하였다.

영어 원문 보기

To approximate the area of a small portion of a surface, we computed the area of its _____ plane.

정답·풀이 보기

접하는

원본 교재 풀이(영어)

tangent

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.4절 · 10번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

3.APEX · 13.5절 · 3번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \iint_R\ dS$ 를 "작은 _____ _____를 많이 더한 것"으로 해석한다.

영어 원문 보기

We interpret $\displaystyle \iint_R\ dS$ as “sum up lots of little _____ _____.”

정답·풀이 보기

겉넓이

원본 교재 풀이(영어)

surface areas

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 2번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

4.APEX · 13.5절 · 4번대학 수준우리말 번역

결과로 얻은 적분을 계산하기 어렵더라도, 겉넓이를 구하는 이중적분을 세우는 방법을 아는 것이 중요한 이유는 무엇인가?

영어 원문 보기

Why is it important to know how to set up a double integral to compute surface area, even if the resulting integral is hard to evaluate?

정답·풀이 보기

정확한 답은 아니더라도, 기술(계산 도구)을 이용하면 좋은 근삿값을 얻을 수 있기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

Technology makes good approximations accessible, if not exact answers.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 1번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

5.APEX · 13.5절 · 5번대학 수준우리말 번역

어떤 실수 $h$ 에 대해 $z=f(x,y)$ 와 $z=g(x,y)=f(x,y)+h$ 가 영역 $R$ 위에서 같은 겉넓이를 갖는 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Why do $z=f(x,y)$ and $z=g(x,y)=f(x,y)+h$ , for some real number $h$ , have the same surface area over a region $R$ ?

정답·풀이 보기

직관적으로, $f$ 에 $h$ 를 더하면 $f$ 가 위로(즉, $z$ 축에 평행하게) 이동할 뿐 모양은 변하지 않는다. 따라서 $R$ 위에서의 겉넓이도 변하지 않는다.

해석적으로, $f_x = g_x$ 이고 $f_y=g_y$ 이므로 두 곡면의 겉넓이는 서로 똑같은 이중적분으로 계산된다.

원본 교재 풀이(영어)

Intuitively, adding $h$ to $f$ only shifts $f$ up (i.e., parallel to the $z$ -axis) and does not change its shape. Therefore it will not change the surface area over $R$ .

Analytically, $f_x = g_x$ and $f_y=g_y$ ; therefore, the surface area of each is computed with identical double integrals.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 6번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

6.APEX · 13.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

$z=f(x,y)$ 와 $z=g(x,y)=2f(x,y)$ 가 있다고 하자. 영역 $R$ 위에서 $g$ 의 겉넓이가 $R$ 위에서 $f$ 의 겉넓이의 두 배가 아닌 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Let $z=f(x,y)$ and $z=g(x,y)=2f(x,y)$ . Why is the surface area of $g$ over a region $R$ not twice the surface area of $f$ over $R$ ?

정답·풀이 보기

해석적으로, $g_x = 2f_x$ 이고 $g_y=2f_y$ 이다. $R$ 위에서 $f$ 의 겉넓이를 계산하는 이중적분은 $\displaystyle \iint_R \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\ dA$ 이고, $R$ 위에서 $g$ 의 겉넓이를 계산하는 이중적분은 $\displaystyle \iint_R\sqrt{1+4f_x^2+4f_y^2}\ dA$ 이며, 이는 $f$ 의 겉넓이를 계산하는 데 쓰인 이중적분의 두 배가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

Analytically, $g_x = 2f_x$ and $g_y=2f_y$ . The double integral to compute the surface area of $f$ over $R$ is $\displaystyle \iint_R \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\ dA$ ; the double integral to compute the surface area of $g$ over $R$ is $\displaystyle \iint_R\sqrt{1+4f_x^2+4f_y^2}\ dA$ , which is not twice the double integral used to calculate the surface area of $f$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 4번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류