곡면의 넓이 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.APEX · 13.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–19에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = 3x-7y+2$ ; $R$ 은 마주 보는 꼭짓점이 $(-1,0)$ 과 $(1,3)$ 인 직사각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = 3x-7y+2$ ; $R$ is the rectangle with opposite corners $(-1,0)$ and $(1,3)$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle SA = \int_{0}^{3}\int_{-1}^{1} \sqrt{1+ 9+49}\ dx\ dy = 6\sqrt{59} \approx 46.09$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle SA = \int_{0}^{3}\int_{-1}^{1} \sqrt{1+ 9+49}\ dx\ dy = 6\sqrt{59} \approx 46.09$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 1번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

2.APEX · 13.5절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–19에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = 2x+2y+2$ ; $R$ 은 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(0,1)$ 인 삼각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = 2x+2y+2$ ; $R$ is the triangle with corners $(0,0)$ , $(1,0)$ and $(0,1)$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle SA = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} \sqrt{1+ 4+4}\ dy\ dx = 18$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle SA = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} \sqrt{1+ 4+4}\ dy\ dx = 18$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 5번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

3.APEX · 13.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–19에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = x^2+y^2+10$ ; $R$ 은 원 $x^2+y^2=16$ 으로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = x^2+y^2+10$ ; $R$ is bounded by the circle $x^2+y^2=16$ .

정답·풀이 보기

극좌표로 하면 더 쉽다:

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4} r\sqrt{1+ 4r^2\cos^2t+4r^2\sin^2t}\ dr\ d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^4r\sqrt{1+4r^2}\ dr\ d\theta \\ &= \frac{\pi}{6}\big(65\sqrt{65}-1\big) \approx 273.87 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

This is easier in polar:

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4} r\sqrt{1+ 4r^2\cos^2t+4r^2\sin^2t}\ dr\ d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^4r\sqrt{1+4r^2}\ dr\ d\theta \\ &= \frac{\pi}{6}\big(65\sqrt{65}-1\big) \approx 273.87 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 2번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

4.APEX · 13.5절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–19에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = -2x+4y^2+7$ , $R$ 은 $y=-x$ , $y=x$ , $0\leq y\leq 1$ 로 둘러싸인 삼각형 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = -2x+4y^2+7$ over $R$ , the triangle bounded by $y=-x$ , $y=x$ , $0\leq y\leq 1$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{1}\int_{-y}^{y} \sqrt{1+ 4+64y^2}\ dx\ dy\\ &= \int_0^{1}\big(2y\sqrt{5+64y^2}\big)\ dy \\ &= \frac1{96}\big(69\sqrt{69}-5\sqrt{5}\big)\approx 5.85 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{1}\int_{-y}^{y} \sqrt{1+ 4+64y^2}\ dx\ dy\\ &= \int_0^{1}\big(2y\sqrt{5+64y^2}\big)\ dy \\ &= \frac1{96}\big(69\sqrt{69}-5\sqrt{5}\big)\approx 5.85 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.4절 · 10번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

5.APEX · 13.5절 · 15번대학 수준우리말 번역

11–19번 문제에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = x^2+y$ , $R$ 은 $y=2x$ , $y=0$ , $x=2$ 로 둘러싸인 삼각형 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = x^2+y$ over $R$ , the triangle bounded by $y=2x$ , $y=0$ and $x=2$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2}\int_{0}^{2x} \sqrt{1+ 1+4x^2}\ dy\ dx\\ &= \int_0^{2}\big(2x\sqrt{2+4x^2}\big)\ dx \\ &= \frac{26}{3}\sqrt{2}\approx 12.26 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2}\int_{0}^{2x} \sqrt{1+ 1+4x^2}\ dy\ dx\\ &= \int_0^{2}\big(2x\sqrt{2+4x^2}\big)\ dx \\ &= \frac{26}{3}\sqrt{2}\approx 12.26 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 3번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

6.APEX · 13.5절 · 16번대학 수준우리말 번역

11–19번 문제에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = \frac23x^{3/2}+2y^{3/2}$ , $R$ 은 서로 마주 보는 꼭짓점이 $(0,0)$ 과 $(1,1)$ 인 직사각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = \frac23x^{3/2}+2y^{3/2}$ over $R$ , the rectangle with opposite corners $(0,0)$ and $(1,1)$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \sqrt{1+ x+9y}\ dx\ dy\\ &= \int_0^{1}\frac23\Big((9y+2)^{3/2}-(9y+1)^{3/2}\Big)\ dy \\ &= \frac{4}{135}\big(121\sqrt{11}-100\sqrt{10}-4\sqrt{2}+1\big)\approx 2.383 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \sqrt{1+ x+9y}\ dx\ dy\\ &= \int_0^{1}\frac23\Big((9y+2)^{3/2}-(9y+1)^{3/2}\Big)\ dy \\ &= \frac{4}{135}\big(121\sqrt{11}-100\sqrt{10}-4\sqrt{2}+1\big)\approx 2.383 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 1번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

7.APEX · 13.5절 · 17번대학 수준우리말 번역

11–19번 문제에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = 10-2\sqrt{x^2+y^2}$ , $R$ 은 원 $x^2+y^2=25$ 로 둘러싸인 영역이다. (이것은 높이가 10이고 밑면의 반지름이 5인 원뿔이다. 구한 결과를 알려진 공식과 반드시 비교하세요.)

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = 10-2\sqrt{x^2+y^2}$ over $R$ , bounded by the circle $x^2+y^2=25$ . (This is the cone with height 10 and base radius 5; be sure to compare your result with the known formula.)

정답·풀이 보기

극좌표로 계산하는 것이 더 쉽다:

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5} r\sqrt{1+ \frac{4r^2\cos^2\theta+4r^2\sin^2\theta}{r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta}}\ dr\ d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^5r\sqrt{5}\ dr\ d\theta \\ &= 25\pi\sqrt{5}\approx 175.62 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

This is easier in polar:

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5} r\sqrt{1+ \frac{4r^2\cos^2\theta+4r^2\sin^2\theta}{r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta}}\ dr\ d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^5r\sqrt{5}\ dr\ d\theta \\ &= 25\pi\sqrt{5}\approx 175.62 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 3번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

8.APEX · 13.5절 · 18번대학 수준우리말 번역

11–19번 문제에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

반지름이 5인 구의 겉넓이를, 원 $x^2+y^2=25$ 로 둘러싸인 영역 $R$ 위에 놓인 $f(x,y) = \sqrt{25-x^2-y^2}$ 의 겉넓이를 두 배 하여 구하세요. (구한 결과를 알려진 공식과 반드시 비교하세요.)

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

Find the surface area of the sphere with radius 5 by doubling the surface area of $f(x,y) = \sqrt{25-x^2-y^2}$ over $R$ , bounded by the circle $x^2+y^2=25$ . (Be sure to compare your result with the known formula.)

정답·풀이 보기

극좌표로 계산하는 것이 더 쉽다:

$\begin{aligned}SA &= 2\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5} r\sqrt{1+ \frac{r^2\cos^2t+r^2\sin^2t}{25-r^2\sin^2t-r^2\cos^2t}}\ dr\ d\theta\\ &= 2\int_0^{2\pi}\int_0^5r\sqrt{\frac{1}{25-r^2}}\ dr\ d\theta \\ &= 100\pi\approx 314.16 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

This is easier in polar:

$\begin{aligned}SA &= 2\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5} r\sqrt{1+ \frac{r^2\cos^2t+r^2\sin^2t}{25-r^2\sin^2t-r^2\cos^2t}}\ dr\ d\theta\\ &= 2\int_0^{2\pi}\int_0^5r\sqrt{\frac{1}{25-r^2}}\ dr\ d\theta \\ &= 100\pi\approx 314.16 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 4번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

9.APEX · 13.5절 · 19번대학 수준우리말 번역

11–19번 문제에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

평면 $f(x,y) = cx+dy+h$ 를 원 $x^2+y^2=1$ 로 둘러싸인 영역 $R$ 로 제한하여 만들어지는 타원의 겉넓이를 구하세요. 여기서 $c$ , $d$ , $h$ 는 상수이다. 답은 $c$ 와 $d$ 로 나타내야 합니다. $h$ 의 값은 왜 상관이 없는지 설명하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

Find the surface area of the ellipse formed by restricting the plane $f(x,y) = cx+dy+h$ to the region $R$ , bounded by the circle $x^2+y^2=1$ , where $c$ , $d$ and $h$ are some constants. Your answer should be given in terms of $c$ and $d$ ; why does the value of $h$ not matter?

정답·풀이 보기

$R$ 을 생각하면 극좌표로 적분하는 것이 가장 쉽다:

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\sqrt{1+ c^2+d^2}\ dr\ d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}\frac12\Big(\sqrt{1+c^2+d^2}\Big)\ d\theta \\ &= \pi\sqrt{1+c^2+d^2}. \end{aligned}$

$h$ 의 값은 평면을 수직으로(즉, $z$ 축에 평행하게) 이동시킬 뿐이므로 상관이 없다. $h$ 의 값이 달라져도 평면 위에 서로 다른 타원이 만들어지지는 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

Integrating in polar is easiest considering $R$ :

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\sqrt{1+ c^2+d^2}\ dr\ d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}\frac12\Big(\sqrt{1+c^2+d^2}\Big)\ d\theta \\ &= \pi\sqrt{1+c^2+d^2}. \end{aligned}$

The value of $h$ does not matter as it only shifts the plane vertically (i.e., parallel to the $z$ -axis). Different values of $h$ do not create different ellipses in the plane.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 6번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

10.CLP-3 · 3.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

반구 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 중에서 원기둥 $\big(x-\frac{a}{2}\big)^2+y^2=\big(\frac{a}{2}\big)^2$ 의 내부에 있는 부분의 겉넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the surface area of that part of the hemisphere $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ which lies within the cylinder $\big(x-\frac{a}{2}\big)^2+y^2=\big(\frac{a}{2}\big)^2$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

반구의 일부분의 겉넓이를 구해야 한다. 반구 위에서

$\begin{aligned} z=f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\qquad f_x(x,y)=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\qquad f_y(x,y)=-\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \end{aligned}$

이므로

$\begin{aligned} \mathrm{d}S&=\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}+\frac{y^2}{a^2-x^2-y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &=\sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

이다. 극좌표로 나타내면 $\mathrm{d}S=\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 이다. 원기둥 $x^2-ax+y^2=0$ 의 내부에 있는 반구 부분의 겉넓이를 구해야 하는데, 이 식을 극좌표로 나타내면 $r^2-ar\cos\theta=0$ , 즉 $r=a\cos\theta$ 가 된다. 적분 영역의 위쪽 절반은 아래 그림과 같다.

따라서

$\begin{aligned} {\rm Surface\ Area} &= 2\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^{a\cos\theta}\mathrm{d}r\ r \frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}} = 2a\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \Big[-\sqrt{a^2-r^2}\,\Big]_0^{a\cos\theta} \\ &= 2a\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \big[a-a\sin\theta\big] \\ &= 2a^2\Big[\theta+\cos\theta\Big]_0^{\pi/2} =a^2[\pi-2] \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

We are to find the surface area of part of a hemisphere. On the hemisphere

$\begin{aligned} z=f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\qquad f_x(x,y)=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\qquad f_y(x,y)=-\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \end{aligned}$

so that

$\begin{aligned} \mathrm{d}S&=\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}+\frac{y^2}{a^2-x^2-y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &=\sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}$

In polar coordinates, this is $\mathrm{d}S=\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ . We are to find the surface area of the part of the hemisphere that is inside the cylinder, $x^2-ax+y^2=0$ , which is polar coordinates is becomes $r^2-ar\cos\theta=0$ or $r=a\cos\theta$ . The top half of the domain of integration is sketched below.

So the

$\begin{aligned} {\rm Surface\ Area} &= 2\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^{a\cos\theta}\mathrm{d}r\ r \frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}} = 2a\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \Big[-\sqrt{a^2-r^2}\,\Big]_0^{a\cos\theta} \\ &= 2a\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \big[a-a\sin\theta\big] \\ &= 2a^2\Big[\theta+\cos\theta\Big]_0^{\pi/2} =a^2[\pi-2] \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 5번

# 곡면의 넓이활용보통자동 분류