다변수 미분 전체 문제

(a) 극좌표에서 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ 이므로

$$\begin{aligned} \frac{x^8+y^8}{x^4+y^4} &=\frac{r^8\cos^8\theta+r^8\sin^8\theta}{r^4\cos^4\theta+r^4\sin^4\theta} =r^4\frac{\cos^8\theta+\sin^8\theta}{\cos^4\theta+\sin^4\theta} \end{aligned}$$

이때

$$\begin{aligned} \frac{\cos^8\theta+\sin^8\theta}{\cos^4\theta+\sin^4\theta} &\le \frac{\cos^8\theta+2\cos^4\theta\sin^4\theta+\sin^8\theta} {\cos^4\theta+\sin^4\theta} =\frac{\big(\cos^4\theta+\sin^4\theta\big)^2}{\cos^4\theta+\sin^4\theta} \\ &=\cos^4\theta+\sin^4\theta \le 2 \end{aligned}$$

이므로

$$0\le \frac{x^8+y^8}{x^4+y^4}\le 2r^4$$

이다. $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}2r^4=0$ 이므로 조임 정리에 의해 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^8+y^8}{x^4+y^4}=0$ 이다.

(b) 극좌표에서

$$\begin{aligned} \frac{xy^5}{x^8+y^{10}} &=\frac{r^6\cos\theta\,\sin^5\theta}{r^8\cos^8\theta+r^{10}\sin^{10}\theta} =\frac{1}{r^2}\frac{\cos\theta\,\sin^5\theta}{\cos^8\theta+r^2\sin^{10}\theta} \end{aligned}$$

이다. $(x,y)\to (0,0)$ 일 때 첫째 분수 $\frac{1}{r^2}\to\infty$ 이지만, 둘째 인수는 여러 가지 다른 값을 가질 수 있다. 예를 들어 $(x,y)$ 를 $y$축을 따라, 즉 $\theta=\pm\frac{\pi}{2}$ 로 원점에 가까이 보내면

$$\begin{aligned} \lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{(x,y)\to(0,0)}{x=0}}\frac{xy^5}{x^8+y^{10}} =\lim_{y\to 0} \frac{0}{y^{10}}=0 \end{aligned}$$

이다. 그러나 $(x,y)$ 를 직선 $y=x$ 를 따라, 즉 $\theta=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$ 로 원점에 가까이 보내면

$$\begin{aligned} \lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{(x,y)\to(0,0)}{y=x} }\frac{xy^5}{x^8+y^{10}} =\lim_{x\to 0} \frac{x^6}{x^8+x^{10}} =\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\frac{1}{1+x^2} =+\infty \end{aligned}$$

이고, $(x,y)$ 를 직선 $y=-x$ 를 따라, 즉 $\theta=-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}$ 로 원점에 가까이 보내면

$$\begin{aligned} \lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{(x,y)\to(0,0)}{y=-x} }\frac{xy^5}{x^8+y^{10}} =\lim_{x\to 0} \frac{-x^6}{x^8+x^{10}} =\lim_{x\to 0}- \frac{1}{x^2}\frac{1}{1+x^2} =-\infty \end{aligned}$$

이다. 따라서 $(x,y)\to(0,0)$ 일 때 $\frac{xy^5}{x^8+y^{10}}$ 은 하나의 값에 가까워지지 않으므로 극한은 존재하지 않는다.

(a) 극좌표로 나타내면

$$\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}=\frac{r^3\cos^3\theta-r^3\sin^3\theta}{r^2} =r\cos^3\theta-r\sin^3\theta$$

이다.

$$\big|r\cos^3\theta-r\sin^3\theta\big|\le 2r$$

이고 $r\rightarrow 0$ 일 때 $2r\rightarrow 0$ 이므로, 극한이 존재하고 그 값은 $0$ 이다.

(b) $x$축을 따라 $(0,0)$ 에 접근할 때의 극한은

$$\begin{aligned} \lim_{t\rightarrow 0}\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4}\bigg|_{(x,y)=(t,0)} =\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2-0^4}{t^2+0^4} =1 \end{aligned}$$

이다. 한편 $y$축을 따라 $(0,0)$ 에 접근할 때의 극한은

$$\begin{aligned} \lim_{t\rightarrow 0}\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4}\bigg|_{(x,y)=(0,t)} =\lim_{t\rightarrow 0}\frac{0^2-t^4}{0^2+t^4} =-1 \end{aligned}$$

이다. 두 값이 서로 다르므로 $(x,y)\rightarrow 0$ 일 때의 극한은 존재하지 않는다.

극좌표로 바꾸면 원점 근처에서 $\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4}$ 의 거동을 더 자세히 이해할 수 있다.

$$\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4} =\frac{r^2\cos^2\theta-r^4\sin^4\theta}{r^2\cos^2\theta+r^4\sin^4\theta} =\frac{\cos^2\theta-r^2\sin^4\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta}$$

이제 $\theta$ 를 임의로 고정하고 $r\rightarrow 0$ 이라 하자(즉 양의 $x$축과 이루는 각이 $\theta$ 인 반직선을 따라 원점에 접근한다). $\cos\theta\ne 0$ 이면(즉 그 반직선이 $y$축의 일부가 아니면)

$$\begin{aligned} \lim_{r\rightarrow 0} \frac{\cos^2\theta-r^2\sin^4\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta} =\frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} =1 \end{aligned}$$

이다. 그러나 $\cos\theta= 0$ 이면(즉 그 반직선이 $y$축의 일부이면)

$$\begin{aligned} \lim_{r\rightarrow 0} \frac{\cos^2\theta-r^2\sin^4\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta} =\lim_{r\rightarrow 0} \frac{-r^2\sin^4\theta}{r^2\sin^4\theta} =\frac{-\sin^4\theta}{\sin^4\theta} =-1 \end{aligned}$$

이다.

몫의 미분법에 의해

$$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) &=\frac{(1)(x-y)-(x+y)(1)}{(x-y)^2} &&=\frac{-2y}{(x-y)^2}\\ \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) &=\frac{(1)(x-y)-(x+y)(-1)}{(x-y)^2} &&=\frac{2x}{(x-y)^2} \end{aligned}$$

따라서

$$x\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) =\frac{-2xy+2yx}{(x-y)^2} =0$$

연쇄 법칙에 의해,

$$\begin{aligned} \frac{\partial g}{\partial s}(s,t) &=\frac{\partial }{\partial s} f (s - t, s + t) \\ &= \frac{\partial f}{\partial x}\big(s-t\,,\,s+t\big)\frac{\partial }{\partial s}\big(s-t\big) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(s-t\,,\,s+t\big)\frac{\partial }{\partial s}\big(s+t\big) \\ &= \frac{\partial f}{\partial x}\big(s-t\,,\,s+t\big) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(s-t\,,\,s+t\big) \\ \frac{\partial^2 g}{\partial s^2}(s,t) &= \frac{\partial }{\partial s}\left[\frac{\partial f}{\partial x}\big(s-t\,,\,s+t\big)\right] + \frac{\partial }{\partial s}\left[\frac{\partial f}{\partial y}\big(s-t\,,\,s+t\big)\right] \\ &= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(s-t\,,\,s+t\big) +\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\big(s-t\,,\,s+t\big) \\ & + \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\big(s-t\,,\,s+t\big) +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(s-t\,,\,s+t\big) \\ &=\left\{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(s-t\,,\,s+t\big) + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\big(s-t\,,\,s+t\big) +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(s-t\,,\,s+t\big)\right\} \end{aligned}$$

이고

$$\begin{aligned} \frac{\partial g}{\partial t}(s,t)&=\frac{\partial }{\partial t} f (s - t, s + t) \\ &= \frac{\partial f}{\partial x}\big(s-t\,,\,s+t\big)\frac{\partial }{\partial t}\big(s-t\big) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(s-t\,,\,s+t\big)\frac{\partial }{\partial t}\big(s+t\big) \\ &= -\frac{\partial f}{\partial x}\big(s-t\,,\,s+t\big) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(s-t\,,\,s+t\big) \\ \frac{\partial^2 g}{\partial t^2}(s,t) &=- \frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial f}{\partial x}\big(s-t\,,\,s+t\big)\right] + \frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial f}{\partial y}\big(s-t\,,\,s+t\big)\right] \\ &= - \Big[-\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \big(s-t\,,\,s+t\big) +\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\big(s-t\,,\,s+t\big)\Big] \\ & + \Big[-\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \big(s-t\,,\,s+t\big) +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(s-t\,,\,s+t\big) \Big] \\ &=\left\{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(s-t\,,\,s+t\big) - 2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\big(s-t\,,\,s+t\big) +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(s-t\,,\,s+t\big)\right\} \end{aligned}$$

이다. 인수를 생략하면

$$\begin{aligned} \frac{\partial^2 g}{\partial s^2} + \frac{\partial^2 g}{\partial t^2} &=\left\{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right\} +\left\{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} - 2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right\} \\ &=2\left[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right] \\ &=0 \end{aligned}$$

이므로 원하는 결과가 얻어진다.

임의의 (미분가능한) 함수 $F$ 에 대해, 연쇄법칙과 곱의 미분법에 의해 다음이 성립한다.

$$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x}(x,y)&= \frac{\partial }{\partial x}\Big[e^y\,F\big(xe^{-y^2}\big)\Big] =e^y\,\frac{\partial }{\partial x}\Big[F\big(xe^{-y^2}\big)\Big] \\ &=e^y\,F'\big(xe^{-y^2}\big)\frac{\partial }{\partial x}\Big(xe^{-y^2}\Big) \\ &= e^y\, F'\big(xe^{-y^2}\big)\ e^{-y^2} \\ \frac{\partial u}{\partial y}(x,y)&= \frac{\partial }{\partial y}\Big[e^y\,F\big(xe^{-y^2}\big)\Big]\\ &=e^y\,F\big(xe^{-y^2}\big) +e^y\,\frac{\partial }{\partial y}\Big[F\big(xe^{-y^2}\big)\Big] \\ &= e^y\, F\big(xe^{-y^2}\big) + e^y\,F'\big(xe^{-y^2}\big)\ \frac{\partial }{\partial y}\Big(xe^{-y^2}\Big) \\ &= e^y\, F\big(xe^{-y^2}\big) + e^y\, F'\big(xe^{-y^2}\big)\ (-2xy)e^{-y^2} \end{aligned}$$

(a) 특히 $F(z)=\ln(z)$ 일 때 $F'(z)=\frac{1}{z}$ 이므로

$$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x}(x,y)&= e^y\, \frac{1}{xe^{-y^2}}\ e^{-y^2} = \frac{e^y}{x}\\ \frac{\partial u}{\partial y}(x,y)&= e^y\, \ln\big(xe^{-y^2}\big) + e^y\, \frac{1}{xe^{-y^2}}\ (-2xy)e^{-y^2} = e^y\, \ln\big(xe^{-y^2}\big) -2y e^y \\ &= e^y\,\ln (x) -y^2\,e^y -2y e^y \end{aligned}$$

(b) 일반적으로

$$\begin{aligned} 2xy\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} &=2xy\ e^y\, F'\big(xe^{-y^2}\big)\ e^{-y^2} +e^y\, F\big(xe^{-y^2}\big) + e^y\, F'\big(xe^{-y^2}\big)\ (-2xy)e^{-y^2} \\ &=e^y\, F\big(xe^{-y^2}\big) \\ &=u \end{aligned}$$