문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

교대급수

부호가 번갈아 바뀌는 급수의 수렴을 판정하고 오차를 어림한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 5.5절 · 49번대학 수준우리말 번역

교대급수 $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\cdots$ 이

수렴하지 않음을 보이세요. 교대급수판정법의 어떤 조건이 만족되지 않는지 말하세요.

영어 원문 보기

Show that the alternating series $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\cdots$ does

not converge. What hypothesis of the alternating series test is not met?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 28번

# 교대급수증명·논술자동 분류

2.OpenStax 2권 · 5.5절 · 50번대학 수준우리말 번역

$\sum {a}_{n}$ 이 절대수렴한다고 하자. 양의 항 ${a}_{n}$ 으로 이루어진 급수도 수렴함을 보이세요.

영어 원문 보기

Suppose that $\sum {a}_{n}$ converges absolutely. Show that the series consisting of the positive terms ${a}_{n}$ also converges.

정답·풀이 보기

${a}_{n}\ge 0$ 이면 ${a}^{+}{}_{n}={a}_{n}$ 으로, ${a}_{n}<0$ 이면 ${a}^{+}{}_{n}=0$ 으로 정의하자. 그러면 모든 $n$ 에 대해 ${a}^{+}{}_{n}\le |{a}_{n}|$ 이므로, ${a}^{+}{}_{n}$ 의 부분합으로 이루어진 수열은 증가하고, 수렴하는 $|{a}_{n}|$ 의 부분합으로 이루어진 수열에 의해 위로 유계이다. 따라서 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{+}{}_{n}$ 은 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Let ${a}^{+}{}_{n}={a}_{n}$ if ${a}_{n}\ge 0$ and ${a}^{+}{}_{n}=0$ if ${a}_{n}<0.$ Then ${a}^{+}{}_{n}\le |{a}_{n}|$ for all $n$ so the sequence of partial sums of ${a}^{+}{}_{n}$ is increasing and bounded above by the sequence of partial sums of $|{a}_{n}|,$ which converges; hence, $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{+}{}_{n}$ converges.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 48번

# 교대급수증명·논술자동 분류

3.OpenStax 2권 · 5.5절 · 51번대학 수준우리말 번역

교대급수 $\frac{2}{3}-\frac{3}{5}+\frac{4}{7}-\frac{5}{9}+\cdots$ 가 수렴하지 않음을 보이세요. 교대급수 판정법의 가정 중 어느 것이 충족되지 않습니까?

영어 원문 보기

Show that the alternating series $\frac{2}{3}-\frac{3}{5}+\frac{4}{7}-\frac{5}{9}+\cdots$ does not converge. What hypothesis of the alternating series test is not met?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 26번

# 교대급수증명·논술자동 분류

4.OpenStax 2권 · 5.5절 · 59번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 급수 $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\sin (x+\pi n)}{x+\pi n}$ 은 신호 처리에서 중요한 역할을 한다. $0<x<\pi$ 인 모든 $x$ 에 대해 $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\sin (x+\pi n)}{x+\pi n}$ 이 수렴함을 보이세요. (힌트: 각의 합에 대한 사인 공식을 이용하세요.)

영어 원문 보기

[T] The series $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\sin (x+\pi n)}{x+\pi n}$ plays an important role in signal processing. Show that $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\sin (x+\pi n)}{x+\pi n}$ converges whenever $0<x<\pi .$ (Hint: Use the formula for the sine of a sum of angles.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 52번

# 교대급수증명·논술자동 분류