빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

교대급수

부호가 번갈아 바뀌는 급수의 수렴을 판정하고 오차를 어림한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

8문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 5.5절 · 37번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 각 명제가 참인지 거짓인지 답하세요. 명제가 거짓이면, 거짓이 되는 예를 하나 제시하세요.

bn≥0{b}_{n}\ge 0 이 감소하고 lim⁡n→∞bn=0\lim_{n\to \infty }{b}_{n}=0 이면, ∑n=1∞(b2n−1−b2n)\sum_{n=1}^{\infty }({b}_{2n-1}-{b}_{2n}) 은 절대수렴한다.

영어 원문 보기

For the following exercises, indicate whether each of the following statements is true or false. If the statement is false, provide an example in which it is false.

If bn≥0{b}_{n}\ge 0 is decreasing and lim⁡n→∞bn=0,\lim_{n\to \infty }{b}_{n}=0, then ∑n=1∞(b2n−1−b2n)\sum_{n=1}^{\infty }({b}_{2n-1}-{b}_{2n}) converges absolutely.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 28번
# 교대급수개념 확인자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.OpenStax 2권 · 5.5절 · 38번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 각 명제가 참인지 거짓인지 답하세요. 명제가 거짓이면, 거짓이 되는 예를 하나 제시하세요.

bn≥0{b}_{n}\ge 0 이 감소하면, ∑n=1∞(b2n−1−b2n)\sum_{n=1}^{\infty }({b}_{2n-1}-{b}_{2n}) 은 절대수렴한다.

영어 원문 보기

For the following exercises, indicate whether each of the following statements is true or false. If the statement is false, provide an example in which it is false.

If bn≥0{b}_{n}\ge 0 is decreasing, then ∑n=1∞(b2n−1−b2n)\sum_{n=1}^{\infty }({b}_{2n-1}-{b}_{2n}) converges absolutely.

정답·풀이 보기

참이다. bn{b}_{n} 이 0으로 수렴할 필요는 없다. cn=bn−lim⁡ bn{c}_{n}={b}_{n}-\lim \,{b}_{n} 이라 하면 c2n−1−c2n=b2n−1−b2n{c}_{2n-1}-{c}_{2n}={b}_{2n-1}-{b}_{2n} 이기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

True. bn{b}_{n} need not tend to zero since if cn=bn−lim⁡ bn,{c}_{n}={b}_{n}-\lim \,{b}_{n}, then c2n−1−c2n=b2n−1−b2n.{c}_{2n-1}-{c}_{2n}={b}_{2n-1}-{b}_{2n}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.5절 · 1번
# 교대급수개념 확인자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.OpenStax 2권 · 5.5절 · 39번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 각 명제가 참인지 거짓인지 답하세요. 명제가 거짓이면, 거짓이 되는 예를 하나 제시하세요.

bn≥0{b}_{n}\ge 0 이고 lim⁡n→∞bn=0\lim_{n\to \infty }{b}_{n}=0 이면, ∑n=1∞(12(b3n−2+b3n−1)−b3n)\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{1}{2}({b}_{3n-2}+{b}_{3n-1})-{b}_{3n}) 은 수렴한다.

영어 원문 보기

For the following exercises, indicate whether each of the following statements is true or false. If the statement is false, provide an example in which it is false.

If bn≥0{b}_{n}\ge 0 and lim⁡n→∞bn=0\lim_{n\to \infty }{b}_{n}=0 then ∑n=1∞(12(b3n−2+b3n−1)−b3n)\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{1}{2}({b}_{3n-2}+{b}_{3n-1})-{b}_{3n}) converges.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 54번
# 교대급수개념 확인자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.OpenStax 2권 · 5.5절 · 40번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 각 명제가 참인지 거짓인지 말하세요. 명제가 거짓이면, 거짓이 되는 예를 제시하세요.

bn≥0{b}_{n}\ge 0 이 감소하고 ∑n=1∞(b3n−2+b3n−1−b3n)\sum_{n=1}^{\infty }({b}_{3n-2}+{b}_{3n-1}-{b}_{3n}) 이 수렴하면 ∑n=1∞b3n−2\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{3n-2} 도 수렴한다.

영어 원문 보기

For the following exercises, indicate whether each of the following statements is true or false. If the statement is false, provide an example in which it is false.

If bn≥0{b}_{n}\ge 0 is decreasing and ∑n=1∞(b3n−2+b3n−1−b3n)\sum_{n=1}^{\infty }({b}_{3n-2}+{b}_{3n-1}-{b}_{3n}) converges then ∑n=1∞b3n−2\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{3n-2} converges.

정답·풀이 보기

참이다. b3n−1−b3n≥0{b}_{3n-1}-{b}_{3n}\ge 0 이므로 ∑b3n−2\sum {b}_{3n-2} 의 수렴은 비교판정법으로부터 나온다.

원본 교재 풀이(영어)

True. b3n−1−b3n≥0,{b}_{3n-1}-{b}_{3n}\ge 0, so convergence of ∑b3n−2\sum {b}_{3n-2} follows from the comparison test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 26번
# 교대급수개념 확인자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.APEX · 8.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

∑n=1∞sin⁡n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \sin n 이 교대급수가 아닌 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Why is ∑n=1∞sin⁡n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \sin n not an alternating series?

정답·풀이 보기

항의 부호가 번갈아 나타나지 않는다. 주어진 급수에서 일부 항은 음수이고 나머지는 양수이지만, 반드시 번갈아 나타나는 것은 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

The signs of the terms do not alternate; in the given series, some terms are negative and the others positive, but they do not necessarily alternate.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.5절 · 3번
# 교대급수개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.APEX · 8.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

급수 ∑n=1∞(−1)nan\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n 은 {an}\{a_n\} 이 , _____ 이고 lim⁡n→∞an=\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n = 일 때 수렴한다.

영어 원문 보기

A series ∑n=1∞(−1)nan\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n converges when {an}\{a_n\} is , _____ and lim⁡n→∞an=\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n = .

정답·풀이 보기

양수, 감소, 0

원본 교재 풀이(영어)

postive, decreasing, 0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 18번
# 교대급수개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.APEX · 8.5절 · 3번대학 수준우리말 번역

급수 ∑n=0∞an\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n 은 수렴하지만 ∑n=0∞∣an∣\displaystyle \sum_{n=0}^\infty |a_n| 은 수렴하지 않는 급수의 예를 하나 드세요.

영어 원문 보기

Give an example of a series where ∑n=0∞an\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n converges but ∑n=0∞∣an∣\displaystyle \sum_{n=0}^\infty |a_n| does not.

정답·풀이 보기

예는 많이 있으며, 흔한 예로 an=(−1)n/na_n = (-1)^n/n 이 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Many examples exist; one common example is an=(−1)n/na_n = (-1)^n/n.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 58번
# 교대급수개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.APEX · 8.5절 · 4번대학 수준우리말 번역

_____ 수렴하는 급수의 합은 항의 순서를 바꾸어 배열하면 달라질 수 있다.

영어 원문 보기

The sum of a _____ convergent series can be changed by rearranging the order of its terms.

정답·풀이 보기

조건부

원본 교재 풀이(영어)

conditionally

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 38번
# 교대급수개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)