발산 판정법과 적분 판정법 연습문제

81.APEX · 8.3절 · 34번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–40에서 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 사용한 판정법을 밝히세요. 둘 이상의 판정법이 적절할 수도 있습니다.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+5)^3}$

영어 원문 보기

In Exercises 33–40, determine the convergence of the given series. State the test used; more than one test may be appropriate.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+5)^3}$

정답·풀이 보기

수렴한다; 적분판정법, $p$ -급수 판정법, 직접 비교판정법과 극한비교판정법을 모두 사용할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; Integral Test, $p$ -Series Test, Direct & Limit Comparison Tests can all be used.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 10번

# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류

82.APEX · 8.3절 · 35번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–40에서 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 사용한 판정법을 밝히세요. 두 가지 이상의 판정법이 적절할 수도 있습니다.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{10^n}$

영어 원문 보기

In Exercises 33–40, determine the convergence of the given series. State the test used; more than one test may be appropriate.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{10^n}$

정답·풀이 보기

발산한다. $n^\text{th}$ 항 판정법과 비교판정법을 사용할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; the $n^\text{th}$ Term Test and Direct Comparison Test can be used.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 2번

# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류

83.APEX · 8.3절 · 36번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–40에서 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 사용한 판정법을 밝히세요. 둘 이상의 판정법이 적절할 수도 있습니다.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n!}$

영어 원문 보기

In Exercises 33–40, determine the convergence of the given series. State the test used; more than one test may be appropriate.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n!}$

정답·풀이 보기

수렴한다; 수열 $1/(n-1)!$ 과 직접 비교판정법을 사용할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; the Direct Comparison Test can be used with sequence $1/(n-1)!$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 50번

# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류

84.APEX · 8.3절 · 37번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–40에서 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 사용한 판정법을 밝히세요. 둘 이상의 판정법이 적절할 수도 있습니다.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n+n}$

영어 원문 보기

In Exercises 33–40, determine the convergence of the given series. State the test used; more than one test may be appropriate.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n+n}$

정답·풀이 보기

수렴한다; 수열 $1/3^n$ 과 직접 비교판정법을 사용할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; the Direct Comparison Test can be used with sequence $1/3^n$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 44번

# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류

85.APEX · 8.3절 · 38번대학 수준우리말 번역

연습문제 33~40번에서 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 사용한 판정법을 쓰세요. 둘 이상의 판정법을 쓸 수도 있습니다.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n-2}{10n+5}$

영어 원문 보기

In Exercises 33–40, determine the convergence of the given series. State the test used; more than one test may be appropriate.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n-2}{10n+5}$

정답·풀이 보기

발산한다. $n^\text{th}$ 항 판정법을 쓸 수 있고, 극한비교판정법(1/10과 비교)도 쓸 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; the $n^\text{th}$ Term Test can be used, along with the Limit Comparison Test (compare with 1/10).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.3절 · 4번

# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류

86.APEX · 8.3절 · 39번대학 수준우리말 번역

연습문제 33~40번에서 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 사용한 판정법을 쓰세요. 둘 이상의 판정법을 쓸 수도 있습니다.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^3}$

영어 원문 보기

In Exercises 33–40, determine the convergence of the given series. State the test used; more than one test may be appropriate.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^3}$

정답·풀이 보기

발산한다. $n^\text{th}$ 항 판정법을 쓸 수 있고, 적분판정법도 쓸 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; the $n^\text{th}$ Term Test can be used, along with the Integral Test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 38번

# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류

87.APEX · 8.3절 · 40번대학 수준우리말 번역

연습문제 33~40번에서 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 사용한 판정법을 쓰세요. 둘 이상의 판정법을 쓸 수도 있습니다.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos (1/n)}{\sqrt{n}}$

영어 원문 보기

In Exercises 33–40, determine the convergence of the given series. State the test used; more than one test may be appropriate.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos (1/n)}{\sqrt{n}}$

정답·풀이 보기

발산한다. 수열 $1/\sqrt{n}$ 과 극한비교판정법을 쓸 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; the Limit Comparison Test can be used with sequence $1/\sqrt{n}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 32번

# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류

88.APEX · 8.3절 · 41번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 수렴한다고 할 때, 다음 급수 중 어느 것이 수렴하는지, 수렴할 수도 있는지, 수렴하지 않는지 말하세요.

(a) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}n$ (b) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_na_{n+1}$ (c) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (a_n)^2$ (d) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty na_n$ (e) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n}$

영어 원문 보기

Given that $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ converges, state which of the following series converges, may converge, or does not converge.

(a) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}n$ (b) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_na_{n+1}$ (c) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (a_n)^2$ (d) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty na_n$ (e) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n}$

정답·풀이 보기

(a) 수렴한다. $\frac{a_n}{n}<a_n$ 이므로 비교판정법을 쓴다. (b) 수렴한다. 원래 급수가 수렴하므로 $\lim_{n\to\infty}a_n = 0$ 임을 안다. 따라서 충분히 큰 $n$ 에 대해 $a_na_{n+1} < a_n$ 이다. (c) 수렴한다. (b)와 비슷한 논리로 $(a_n)^2<a_n$ 이다. (d) 수렴할 수도 있다. 분명히 $na_n > a_n$ 이지만, 그렇다고 해서 수렴하지 않는다는 뜻은 아니다. (e) 수렴하지 않는다. (b)의 논리와 $n^{th}$ 항 판정법을 이용한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Converges; use Direct Comparison Test as $\frac{a_n}{n}<a_n$ . (b) Converges; since original series converges, we know $\lim_{n\to\infty}a_n = 0$ . Thus for large $n$ , $a_na_{n+1} < a_n$ . (c) Converges; similar logic to part (b) so $(a_n)^2<a_n$ . (d) May converge; certainly $na_n > a_n$ but that does not mean it does not converge. (e) Does not converge, using logic from (b) and $n^{th}$ Term Test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 30번

# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류