빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

그린 정리

평면 폐곡선의 선적분을 둘러싼 영역의 이중적분으로 바꾼다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

7문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 3권 · 6.4절 · 18번대학 수준우리말 번역

내사이클로이드 r(t)=cos⁡3(t)i+sin⁡3(t)j\text{r}(t)={\cos }^{3}(t)\text{i}+{\sin }^{3}(t)\text{j} 로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요. 이 곡선은 t∈[0,2π]t\in [0,2\pi ] 로 매개화된다.

영어 원문 보기

Find the area of the region bounded by hypocycloid r(t)=cos⁡3(t)i+sin⁡3(t)j.\text{r}(t)={\cos }^{3}(t)\text{i}+{\sin }^{3}(t)\text{j}. The curve is parameterized by t∈[0,2π].t\in [0,2\pi ].

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A=3π8A=\frac{3\pi }{8}

원본 교재 풀이(영어)

A=3π8A=\frac{3\pi }{8}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.3절 · 2번
# 그린 정리활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.OpenStax 3권 · 6.4절 · 19번대학 수준우리말 번역

꼭짓점이 (0,4),(4,1),(3,0),(−1,−1)(0,4),(4,1),(3,0),(-1,-1), 그리고 (−2,2)(-2,2) 인 오각형의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area of a pentagon with vertices (0,4),(4,1),(3,0),(−1,−1),(0,4),(4,1),(3,0),(-1,-1), and (−2,2).(-2,2).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 30번
# 그린 정리활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.OpenStax 3권 · 6.4절 · 22번대학 수준우리말 번역

그린 정리를 이용하여 네잎 장미 곡선 r=3 sin⁡ 2θr=3\,\sin \,2\theta 의 한 잎의 넓이를 구하세요. (힌트: xdy−ydx=r2dθ).xdy-ydx={r}^{2}d\theta ).

영어 원문 보기

Use Green’s theorem to find the area of one loop of a four-leaf rose r=3 sin⁡ 2θ.r=3\,\sin \,2\theta . (Hint: xdy−ydx=r2dθ).xdy-ydx={r}^{2}d\theta ).

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A=9π8A=\frac{9\pi }{8}

원본 교재 풀이(영어)

A=9π8A=\frac{9\pi }{8}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 48번
# 그린 정리활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.APEX · 14.4절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 영역 RR 을 둘러싸는 닫힌 곡선 CC 가 주어져 있다. 적절한 벡터장 F⃗\vec F 를 택하여 ∮CF⃗⋅dr⃗\oint_C \vec F\cdot d\vec r 를 계산함으로써 RR 의 넓이를 구하세요.

CC 는 0≤t≤2π0\leq t\leq 2\pi 에서 r⃗(t)=⟨4cos⁡t,3sin⁡t⟩\vec r(t) = \langle 4\cos t,3\sin t\rangle 로 매개화된 타원이다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, a closed curve CC enclosing a region RR is given. Find the area of RR by computing ∮CF⃗⋅dr⃗\oint_C \vec F\cdot d\vec r for an appropriate choice of vector field F⃗\vec F.

CC is the ellipse parametrized by r⃗(t)=⟨4cos⁡t,3sin⁡t⟩\vec r(t) = \langle 4\cos t,3\sin t\rangle on 0≤t≤2π0\leq t\leq 2\pi.

정답·풀이 보기

curl⁡F⃗=1\operatorname{curl} \vec F = 1 이기만 하면 어떤 F⃗\vec F 를 택해도 적절하다. F⃗=⟨−y/2,x/2⟩\vec F = \langle -y/2,x/2\rangle 일 때 선적분의 피적분함수는 단순히 6 이다. RR 의 넓이는 12π12\pi 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Any choice of F⃗\vec F is appropriate as long as curl⁡F⃗=1\operatorname{curl} \vec F = 1. When F⃗=⟨−y/2,x/2⟩\vec F = \langle -y/2,x/2\rangle, the integrand of the line integral is simply 6. The area of RR is 12π12\pi.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.4절 · 2번
# 그린 정리활용자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.APEX · 14.4절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 영역 RR 을 둘러싸는 닫힌 곡선 CC 가 주어져 있다. 적절한 벡터장 F⃗\vec F 를 택하여 ∮CF⃗⋅dr⃗\oint_C \vec F\cdot d\vec r 를 계산함으로써 RR 의 넓이를 구하세요.

CC 는 −π/2≤t≤π/2-\pi/2\leq t\leq \pi/2 에서 r⃗(t)=⟨cos⁡t,sin⁡(2t)⟩\vec r(t) = \langle \cos t,\sin (2t)\rangle 로 매개화된 곡선이다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, a closed curve CC enclosing a region RR is given. Find the area of RR by computing ∮CF⃗⋅dr⃗\oint_C \vec F\cdot d\vec r for an appropriate choice of vector field F⃗\vec F.

CC is the curve parametrized by r⃗(t)=⟨cos⁡t,sin⁡(2t)⟩\vec r(t) = \langle \cos t,\sin (2t)\rangle on −π/2≤t≤π/2-\pi/2\leq t\leq \pi/2.

정답·풀이 보기

curl⁡F⃗=1\operatorname{curl} \vec F = 1 이기만 하면 어떤 F⃗\vec F 를 택해도 적절하다. F⃗=⟨−y,0⟩\vec F = \langle -y,0\rangle 와 ⟨0,x⟩\langle 0,x\rangle 를 택하면 각각 계산하기 알맞은 피적분함수가 나온다. RR 의 넓이는 4/34/3 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Any choice of F⃗\vec F is appropriate as long as curl⁡F⃗=1\operatorname{curl} \vec F = 1. The choices of F⃗=⟨−y,0⟩\vec F = \langle -y,0\rangle and ⟨0,x⟩\langle 0,x\rangle each lead to reasonable integrands. The area of RR is 4/34/3.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.3절 · 2번
# 그린 정리활용자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.APEX · 14.4절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 영역 RR 을 둘러싸는 닫힌 곡선 CC 가 주어져 있다. 적절한 벡터장 F⃗\vec F 를 택하여 ∮CF⃗⋅dr⃗\oint_C \vec F\cdot d\vec r 를 계산함으로써 RR 의 넓이를 구하세요.

CC 는 0≤t≤20\leq t\leq 2 에서 r⃗(t)=⟨cos⁡t,sin⁡(2t)⟩\vec r(t) = \langle \cos t,\sin (2t)\rangle 로 매개화된 곡선이다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, a closed curve CC enclosing a region RR is given. Find the area of RR by computing ∮CF⃗⋅dr⃗\oint_C \vec F\cdot d\vec r for an appropriate choice of vector field F⃗\vec F.

CC is the curve parametrized by r⃗(t)=⟨cos⁡t,sin⁡(2t)⟩\vec r(t) = \langle \cos t,\sin (2t)\rangle on 0≤t≤20\leq t\leq 2.

정답·풀이 보기

curl⁡F⃗=1\operatorname{curl} \vec F = 1 이기만 하면 어떤 F⃗\vec F 를 택해도 적절하다. F⃗=⟨−y,0⟩\vec F = \langle -y,0\rangle, ⟨0,x⟩\langle 0,x\rangle, ⟨−y/2,x/2⟩\langle -y/2,x/2\rangle 를 택하면 각각 계산하기 알맞은 피적분함수가 나온다. RR 의 넓이는 16/1516/15 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Any choice of F⃗\vec F is appropriate as long as curl⁡F⃗=1\operatorname{curl} \vec F = 1. The choices of F⃗=⟨−y,0⟩\vec F = \langle -y,0\rangle, ⟨0,x⟩\langle 0,x\rangle and ⟨−y/2,x/2⟩\langle -y/2,x/2\rangle each lead to reasonable integrands. The area of RR is 16/1516/15.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 18번
# 그린 정리활용자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.APEX · 14.4절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서는 영역 RR 을 둘러싸는 닫힌 곡선 CC 가 주어진다. 적절한 벡터장 F⃗\vec F 를 택하여 ∮CF⃗⋅dr⃗\oint_C \vec F\cdot d\vec r 를 계산함으로써 RR 의 넓이를 구하세요.

CC 는 0≤t≤2π0\leq t\leq 2\pi 에서 r⃗(t)=⟨2cos⁡t+110cos⁡(10t),2sin⁡t+110sin⁡(10t)⟩\vec r(t) = \langle 2\cos t+\frac1{10}\cos(10t),2\sin t+\frac1{10}\sin (10t)\rangle 로 매개화된 곡선이다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, a closed curve CC enclosing a region RR is given. Find the area of RR by computing ∮CF⃗⋅dr⃗\oint_C \vec F\cdot d\vec r for an appropriate choice of vector field F⃗\vec F.

CC is the curve parametrized by r⃗(t)=⟨2cos⁡t+110cos⁡(10t),2sin⁡t+110sin⁡(10t)⟩\vec r(t) = \langle 2\cos t+\frac1{10}\cos(10t),2\sin t+\frac1{10}\sin (10t)\rangle on 0≤t≤2π0\leq t\leq 2\pi.

정답·풀이 보기

curl⁡F⃗=1\operatorname{curl} \vec F = 1 이기만 하면 어떤 F⃗\vec F 를 택해도 적절하다. F⃗=⟨−y/2,x/2⟩\vec F = \langle -y/2,x/2\rangle 를 택하면 간단히 한 뒤 피적분함수가 적당한 꼴이 된다. RR 의 넓이는 41π/1041\pi/10 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Any choice of F⃗\vec F is appropriate as long as curl⁡F⃗=1\operatorname{curl} \vec F = 1. The choice of F⃗=⟨−y/2,x/2⟩\vec F = \langle -y/2,x/2\rangle leads to a reasonable integrand after simplification. The area of RR is 41π/1041\pi/10.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 40번
# 그린 정리활용자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)