문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

그린 정리

평면 폐곡선의 선적분을 둘러싼 영역의 이중적분으로 바꾼다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

8문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 3권 · 6.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

${\int }_{C}^{}2xydx+(x+y)dy$ 의 값을 구하세요. 단, C 는 (0, 0)에서 (1, 1)까지 $y={x}^{3}$ 의 그래프를 따라가고 (1, 1)에서 (0, 0)까지 $y=x$ 의 그래프를 따라가는 경로이며 반시계 방향으로 주어진 경로입니다.

영어 원문 보기

${\int }_{C}^{}2xydx+(x+y)dy,$ where C is the path from (0, 0) to (1, 1) along the graph of $y={x}^{3}$ and from (1, 1) to (0, 0) along the graph of $y=x$ oriented in the counterclockwise direction

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 14번

# 그린 정리그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 3권 · 6.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

제1사분면에서 곡선 $y={x}^{2}$ 과 $y=x$ 로 둘러싸인 영역의 경계를 따라 반시계 방향으로 향할 때, 벡터장 $\text{F}(x,y)=xy\text{i}+{y}^{2}\text{j}$ 의 반시계 방향 순환을 구하세요.

제1사분면을 중심으로 나타낸 벡터장이다. 함수 y=x 에 따라 (0,0)에서 (1,1)까지 직선이 그려져 있고, 함수 y=x^2 에 따라 곡선도 그려져 있다. 두 함수 사이에 둘러싸인 영역에 색이 칠해져 있다. 원점에 가까운 화살표는 멀리 있는 화살표보다 훨씬 작으며, 특히 세로 방향으로 그렇다. 제1사분면의 보이는 부분에서 화살표는 원점에서 멀어지는 오른쪽 위 방향을 향한다.

영어 원문 보기

Find the counterclockwise circulation of field $\text{F}(x,y)=xy\text{i}+{y}^{2}\text{j}$ around and over the boundary of the region enclosed by curves $y={x}^{2}$ and $y=x$ in the first quadrant and oriented in the counterclockwise direction.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.3절 · 25번

# 그린 정리그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 3권 · 6.4절 · 11번대학 수준우리말 번역

${\int }_{C}{y}^{3}dx-{x}^{3}dy$ 의 값을 구하세요. 여기서 C 는 원점을 중심으로 하는 반지름이 2인 원과 반지름이 1인 원 두 개를 포함하며, 둘 다 양의 방향이다.

2차원 벡터장이다. 화살표들이 원점을 둘러싸고 시계 방향으로 원을 그리며 돌고 있다. 원점에 가까운 화살표는 멀리 있는 화살표보다 훨씬 작다. 중심이 원점인 반지름 2인 원과 반지름이 있는 원이 그려져 있고, 두 원 사이의 영역에 색이 칠해져 있다.

영어 원문 보기

Evaluate ${\int }_{C}{y}^{3}dx-{x}^{3}dy,$ where C includes the two circles of radius 2 and radius 1 centered at the origin, both with positive orientation.

A vector field in two dimensions. The arrows surround the origin in a clockwise circular motion. Those close to the origin are much smaller than those further away. A circle of radius 2 and a circle of radius with centers at the origin is drawn in, and the region between the two is shaded.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 26번

# 그린 정리그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 3권 · 6.4절 · 14번대학 수준우리말 번역

적분 ${\int }_{C}({x}^{2}+{y}^{2})dx+2xydy$ 의 값을 구하세요. 여기서 C는 포물선 $y={x}^{2}\,\text{을}\,(0,0)\text{ 에서 }(2,4)$ 까지 따라가고, 그다음 (2, 4)에서 (2, 0)까지 직선을 따라가며, 마지막으로 (2, 0)에서 (0, 0)까지 직선을 따라가는 곡선입니다.

1사분면에 그려진 벡터장이다. 화살표는 원점에 가까울수록 훨씬 작다. 화살표는 원점에서 멀어지는 위쪽 방향을 향하며, 오른쪽으로 갈수록 기울기가 커진다. 곡선은 원점에서 (2,4)까지 포물선 y=x^2을 따라가고, (2,4)에서 (2,0)까지 직선을 따라가며, (2,0)에서 (0,0)까지 직선을 따라간다. y=x^2의 아래쪽이면서 포물선 아래에 있는 영역이 색칠되어 있다.

영어 원문 보기

Evaluate integral ${\int }_{C}({x}^{2}+{y}^{2})dx+2xydy,$ where C is the curve that follows parabola $y={x}^{2}\,\text{from}\,(0,0)\text{ to }(2,4),$ then the line from (2, 4) to (2, 0), and finally the line from (2, 0) to (0, 0).

A vector field in quadrant 1. The arrows are much smaller closer to the origin. They point up and away from the origin, with increasing slope the further they are to the right. The curve follows the parabola y=x^2 from the origin to (2,4), the line from (2,4) to (2,0), and the line from (2,0) to (0,0). The area under y=x^2 and below the parabola is shaded.

정답·풀이 보기

${\int }_{C}({x}^{2}+{y}^{2})dx+2xydy=0$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{C}({x}^{2}+{y}^{2})dx+2xydy=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 16번

# 그린 정리그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 3권 · 6.4절 · 15번대학 수준우리말 번역

선적분 ${\int }_{C}(y-\sin (y)\cos (y))dx+2x\,{\sin }^{2}(y)dy$ 의 값을 구하세요. 여기서 C는 $x=-1,x=2,y=4-{x}^{2}$ , 그리고 $y=x-2$ 로 둘러싸인 영역을 반시계 방향으로 도는 경로입니다.

2차원 벡터장이다. 화살표는 원점에 가까울수록 작아지며, 특히 수직 방향으로 그렇다. 곡선 C는 x=-1, x=2, y = 4-x^2, y = x-2로 둘러싸인 영역을 반시계 방향으로 도는 경로를 따라간다. 이 영역은 색칠되어 있다.

영어 원문 보기

Evaluate line integral ${\int }_{C}(y-\sin (y)\cos (y))dx+2x\,{\sin }^{2}(y)dy,$ where C is oriented in a counterclockwise path around the region bounded by $x=-1,x=2,y=4-{x}^{2},$ and $y=x-2.$

A vector field in two dimensions. The arrows are smaller the closer they are to the origin, particular vertically. Curve C follows a counterclockwise path around the region bounded by x=-1, x=2, y = 4-x^2, and y = x-2. The region is shaded.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 48번

# 그린 정리그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 3권 · 6.4절 · 17번대학 수준우리말 번역

매개변수 방정식

$p(\theta )=(\cos (\theta )-{\cos }^{2}(\theta ))\text{i}+(\sin (\theta )-\cos (\theta )\sin (\theta ))\text{j}\,\text{단,}\,0\le \theta \le 2\pi .$

으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요.

원점에서 시작하여 (0,1), (-2,0), (0,-1)을 지나 다시 원점으로 돌아오는 심장형 곡선(카디오이드)이다.

영어 원문 보기

Find the area of the region enclosed by parametric equation

$p(\theta )=(\cos (\theta )-{\cos }^{2}(\theta ))\text{i}+(\sin (\theta )-\cos (\theta )\sin (\theta ))\text{j}\,\text{for}\,0\le \theta \le 2\pi .$

A cardioid beginning at the origin, going through (0,1), (-2,0), (0,-1), and back to the origin.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 20번

# 그린 정리그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 3권 · 6.4절 · 24번대학 수준우리말 번역

그린 정리를 이용하여 곡선

$\text{r}(t)={t}^{2}\text{i}+\left(\frac{{t}^{3}}{3}-t\right)\text{j},\,-\sqrt{3}\le t\le \sqrt{3}.$

로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요.

x축에 대칭인 가로 방향의 물방울 모양 영역이다. a절편은 원점과 (3,0)이다. 더 크고 둥근 끝은 원점에 있고, 뾰족한 끝은 (3,0)에 있다.

영어 원문 보기

Use Green’s theorem to find the area of the region enclosed by curve

$\text{r}(t)={t}^{2}\text{i}+\left(\frac{{t}^{3}}{3}-t\right)\text{j},\,-\sqrt{3}\le t\le \sqrt{3}.$

A horizontal teardrop-shaped region symmetric about the x axis and a-intercepts at the origin and (3,0). The larger, curved end is at the origin, and the pointed end is at (3,0).

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$A=\frac{8\sqrt{3}}{5}$

원본 교재 풀이(영어)

$A=\frac{8\sqrt{3}}{5}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 58번

# 그린 정리그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 3권 · 6.4절 · 41번대학 수준우리말 번역

그린 정리를 이용하여 선적분 ${\int }_{C}^{}(3x-5y)dx+(x-6y)dy$ 의 값을 구하세요. 단, C 는 타원 $\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$ 이며 반시계 방향으로 향한다.

반시계 방향으로 향하는 가로로 놓인 타원으로, 꼭짓점이 (-2,0), (0,-1), (2,0), (0,1) 이다. 타원으로 둘러싸인 영역에 색이 칠해져 있다.

영어 원문 보기

Use Green’s theorem to evaluate line integral ${\int }_{C}^{}(3x-5y)dx+(x-6y)dy,$ where C is ellipse $\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$ and is oriented in the counterclockwise direction.

A horizontal oval oriented counterclockwise with vertices at (-2,0), (0,-1), (2,0), and (0,1). The region enclosed is shaded.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.4절 · 3번

# 그린 정리그래프·표 해석자동 분류