거듭제곱근과 지수의 확장 연습문제 (대수)

361.OpenStax Intermediate Algebra · 8.3절 · 6번우리말 번역

간단히 하세요: ⓐ ${125}^{\frac{2}{3}}$ ⓑ ${16}^{-\frac{3}{2}}$ ⓒ ${32}^{-\frac{2}{5}}.$

영어 원문 보기

Simplify: ⓐ ${125}^{\frac{2}{3}}$ ⓑ ${16}^{-\frac{3}{2}}$ ⓒ ${32}^{-\frac{2}{5}}.$

정답·풀이 보기

먼저 정의 ${a}^{\frac{m}{n}}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^{m}$ 을 이용하여 식을 근호로 나타낸다. 이 꼴은 먼저 거듭제곱근을 구할 수 있게 해 주므로, 다른 꼴을 쓸 때보다 근호 안의 수가 더 작게 유지된다.

ⓐ


	$\quad {125}^{\frac{2}{3}}$
근호의 거듭제곱은 지수의 분자인 2이다. 근호의 지수는 지수의 분모인 3이다.	$\quad {\left(\sqrt[3]{125}\right)}^{2}$
간단히 한다.	$\quad {(5)}^{2}$
	$\quad 25$

ⓑ 먼저 ${a}^{-n}=\frac{1}{{a}^{n}}$ 을 이용하여 각 식을 고쳐 쓴 다음 근호 꼴로 바꾼다.


	$\quad {16}^{-\frac{3}{2}}$
${a}^{-n}=\frac{1}{{a}^{n}}$ 을 이용하여 고쳐 쓴다.	$\quad \frac{1}{{16}^{\frac{3}{2}}}$
근호 꼴로 바꾼다. 근호의 거듭제곱은 지수의 분자인 3이다. 근호의 지수는 지수의 분모인 2이다.	$\quad \frac{1}{{\left(\sqrt{16}\right)}^{3}}$
간단히 한다.	$\quad \frac{1}{{4}^{3}}$
	$\quad \frac{1}{64}$

ⓒ


	$\quad {32}^{-\frac{2}{5}}$
${a}^{-n}=\frac{1}{{a}^{n}}$ 을 이용하여 고쳐 쓴다.	$\quad \frac{1}{{32}^{\frac{2}{5}}}$
근호 꼴로 바꾼다.	$\quad \frac{1}{{\left(\sqrt[5]{32}\right)}^{2}}$
근호 안의 수를 거듭제곱으로 고쳐 쓴다.	$\quad \frac{1}{{\left(\sqrt[5]{{2}^{5}}\right)}^{2}}$
간단히 한다.	$\quad \frac{1}{{2}^{2}}$
	$\quad \frac{1}{4}$

원본 교재 풀이(영어)

We will rewrite the expression as a radical first using the defintion, ${a}^{\frac{m}{n}}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^{m}.$ This form lets us take the root first and so we keep the numbers in the radicand smaller than if we used the other form.

ⓐ


	$\quad {125}^{\frac{2}{3}}$
The power of the radical is the numerator of the exponent, 2. The index of the radical is the denominator of the exponent, 3.	$\quad {\left(\sqrt[3]{125}\right)}^{2}$
Simplify.	$\quad {(5)}^{2}$
	$\quad 25$

ⓑ We will rewrite each expression first using ${a}^{-n}=\frac{1}{{a}^{n}}$ and then change to radical form.


	$\quad {16}^{-\frac{3}{2}}$
Rewrite using ${a}^{-n}=\frac{1}{{a}^{n}}$	$\quad \frac{1}{{16}^{\frac{3}{2}}}$
Change to radical form. The power of the radical is the numerator of the exponent, 3. The index is the denominator of the exponent, 2.	$\quad \frac{1}{{\left(\sqrt{16}\right)}^{3}}$
Simplify.	$\quad \frac{1}{{4}^{3}}$
	$\quad \frac{1}{64}$

ⓒ


	$\quad {32}^{-\frac{2}{5}}$
Rewrite using ${a}^{-n}=\frac{1}{{a}^{n}}.$	$\quad \frac{1}{{32}^{\frac{2}{5}}}$
Change to radical form.	$\quad \frac{1}{{\left(\sqrt[5]{32}\right)}^{2}}$
Rewrite the radicand as a power.	$\quad \frac{1}{{\left(\sqrt[5]{{2}^{5}}\right)}^{2}}$
Simplify.	$\quad \frac{1}{{2}^{2}}$
	$\quad \frac{1}{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 8.3절 · 7번


	$\quad -{25}^{\frac{3}{2}}$
근호 꼴로 고쳐 쓴다.	$\quad -{\left(\sqrt{25}\right)}^{3}$
근호를 간단히 한다.	$\quad -{(5)}^{3}$
간단히 한다.	$\quad -125$


	$\quad -{25}^{-\frac{3}{2}}$
${a}^{-n}=\frac{1}{{a}^{n}}$ 을 이용하여 고쳐 쓴다.	$\quad -\left(\frac{1}{{25}^{\frac{3}{2}}}\right)$
근호 꼴로 고쳐 쓴다.	$\quad -\left(\frac{1}{{\left(\sqrt{25}\right)}^{3}}\right)$
근호를 간단히 한다.	$\quad -\left(\frac{1}{{(5)}^{3}}\right)$
간단히 한다.	$\quad -\frac{1}{125}$


	$\quad {(-25)}^{\frac{3}{2}}$
근호 꼴로 고쳐 쓴다.	$\quad {\left(\sqrt{-25}\right)}^{3}$
제곱근 $\text{이}\,-25$ 인 실수는 없다.	$\quad \text{실수가 아니다.}$


	$\quad -{25}^{\frac{3}{2}}$
Rewrite in radical form.	$\quad -{\left(\sqrt{25}\right)}^{3}$
Simplify the radical.	$\quad -{(5)}^{3}$
Simplify.	$\quad -125$


	$\quad {x}^{\frac{1}{2}}\cdot {x}^{\frac{5}{6}}$
밑이 같으므로 지수를 더한다.	$\quad {x}^{\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}$
분수를 더한다.	$\quad {x}^{\frac{8}{6}}$
지수를 간단히 한다.	$\quad {x}^{\frac{4}{3}}$


	$\quad {({z}^{9})}^{\frac{2}{3}}$
거듭제곱을 다시 거듭제곱할 때는 지수를 곱한다.	$\quad {z}^{9\cdot \frac{2}{3}}$
간단히 한다.	$\quad {z}^{6}$


	$\quad \frac{{x}^{\frac{1}{3}}}{{x}^{\frac{5}{3}}}$
	$\quad \frac{{x}^{\frac{1}{3}}}{{x}^{\frac{5}{3}}}$
밑이 같은 수끼리 나눌 때는 지수를 뺀다.	$\quad \frac{1}{{x}^{\frac{5}{3}-\frac{1}{3}}}$
간단히 한다.	$\quad \frac{1}{{x}^{\frac{4}{3}}}$


	$\quad {x}^{\frac{1}{2}}\cdot {x}^{\frac{5}{6}}$
The bases are the same, so we add the exponents.	$\quad {x}^{\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}$
Add the fractions.	$\quad {x}^{\frac{8}{6}}$
Simplify the exponent.	$\quad {x}^{\frac{4}{3}}$


	$\quad {({z}^{9})}^{\frac{2}{3}}$
To raise a power to a power, we multiply the exponents.	$\quad {z}^{9\cdot \frac{2}{3}}$
Simplify.	$\quad {z}^{6}$


	$\quad \frac{{x}^{\frac{1}{3}}}{{x}^{\frac{5}{3}}}$
	$\quad \frac{{x}^{\frac{1}{3}}}{{x}^{\frac{5}{3}}}$
To divide with the same base, we subtract the exponents.	$\quad \frac{1}{{x}^{\frac{5}{3}-\frac{1}{3}}}$
Simplify.	$\quad \frac{1}{{x}^{\frac{4}{3}}}$


	$\quad {(-25)}^{\frac{3}{2}}$
Rewrite in radical form.	$\quad {\left(\sqrt{-25}\right)}^{3}$
There is no real number whose square root $\text{is}\,-25.$	$\quad \text{Not a real number.}$


	$\quad {\left(27{u}^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{2}{3}}$
먼저 곱의 거듭제곱 성질을 이용한다.	$\quad {(27)}^{\frac{2}{3}}{\left({u}^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{2}{3}}$
27을 3의 거듭제곱으로 나타낸다.	$\quad {({3}^{3})}^{\frac{2}{3}}{\left({u}^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{2}{3}}$
거듭제곱의 거듭제곱은 지수끼리 곱한다.	$\quad ({3}^{2})\left({u}^{\frac{1}{3}}\right)$
간단히 한다.	$\quad 9{u}^{\frac{1}{3}}$


	$\quad {\left({m}^{\frac{2}{3}}{n}^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{3}{2}}$
먼저 곱의 거듭제곱 성질을 이용한다.	$\quad {\left({m}^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{3}{2}}{\left({n}^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{3}{2}}$
거듭제곱의 거듭제곱은 지수끼리 곱한다.	$\quad m{n}^{\frac{3}{4}}$


	$\quad \frac{{x}^{\frac{3}{4}}\cdot {x}^{-\frac{1}{4}}}{{x}^{-\frac{6}{4}}}$
분자에서 곱셈 성질을 이용하여 지수끼리 더한다.	$\quad \frac{{x}^{\frac{2}{4}}}{{x}^{-\frac{6}{4}}}$
나눗셈 성질을 이용하여 지수끼리 뺀다.	$\quad {x}^{\frac{8}{4}}$
간단히 한다.	$\quad {x}^{2}$


	$\quad {\left(27{u}^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{2}{3}}$
First we use the Product to a Power Property.	$\quad {(27)}^{\frac{2}{3}}{\left({u}^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{2}{3}}$
Rewrite 27 as a power of 3.	$\quad {({3}^{3})}^{\frac{2}{3}}{\left({u}^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{2}{3}}$
To raise a power to a power, we multiply the exponents.	$\quad ({3}^{2})\left({u}^{\frac{1}{3}}\right)$
Simplify.	$\quad 9{u}^{\frac{1}{3}}$


	$\quad {\left(\frac{16\,{x}^{\frac{4}{3}}{y}^{-\frac{5}{6}}}{{x}^{-\frac{2}{3}}{y}^{\frac{1}{6}}}\right)}^{\frac{1}{2}}$
나눗셈 성질을 이용하여 지수끼리 뺀다.	$\quad {\left(\frac{16{x}^{\frac{6}{3}}}{{y}^{\frac{6}{6}}}\right)}^{\frac{1}{2}}$
간단히 한다.	$\quad {\left(\frac{16{x}^{2}}{y}\right)}^{\frac{1}{2}}$
곱의 거듭제곱 성질을 이용하여 지수끼리 곱한다.	$\quad \frac{4x}{{y}^{\frac{1}{2}}}$


	$\quad \frac{{x}^{\frac{3}{4}}\cdot {x}^{-\frac{1}{4}}}{{x}^{-\frac{6}{4}}}$
Use the Product Property in the numerator, add the exponents.	$\quad \frac{{x}^{\frac{2}{4}}}{{x}^{-\frac{6}{4}}}$
Use the Quotient Property, subtract the exponents.	$\quad {x}^{\frac{8}{4}}$
Simplify.	$\quad {x}^{2}$