여러 가지 방정식 연습문제 (공통수학1)

121.OpenStax Intermediate Algebra · 9.4절 · 1번우리말 번역

푸세요: $6{x}^{4}-7{x}^{2}+2=0$

영어 원문 보기

Solve: $6{x}^{4}-7{x}^{2}+2=0$

정답·풀이 보기

1단계는 방정식을 이차방정식 꼴로 만들 수 있는 치환을 찾는 것이다. 방정식 6 x의 네제곱 빼기 7 x의 제곱 더하기 2는 0이다를 보자. x의 제곱의 제곱은 x의 네제곱과 같으므로 u는 x의 제곱이라고 놓는다.

2단계는 치환을 이용하여 방정식을 이차방정식 꼴로 다시 쓰는 것이다. 치환을 준비하기 위해 방정식을 6 곱하기 x의 제곱의 제곱 빼기 7 곱하기 x의 제곱 더하기 2는 0이다로 다시 쓴다. u는 x의 제곱이라고 치환하면 새로운 방정식 6 곱하기 u의 제곱 빼기 7 u 더하기 2는 0이다를 얻는다.

3단계는 u에 대한 이차방정식을 푸는 것이다. 인수분해로 풀 수 있으므로 방정식을 2 u 빼기 1과 3 u 빼기 2의 곱이 0이다로 다시 쓴다. 영인자 성질을 이용하여 방정식 2개를 만든다. 2 u 빼기 1이 0이면 2u는 1이므로 u는 2분의 1이다. 3 u 빼기 2가 0이면 3 u는 2이므로 u는 3분의 2이다.

4단계는 처음의 변수를 결과에 다시 대입하는 것이다. 이 경우 u를 x의 제곱으로 바꾼다. 따라서 u는 2분의 1이라는 식은 x의 제곱은 2분의 1이다가 되고, u는 3분의 2라는 식은 x의 제곱은 3분의 2이다가 된다.

5단계는 처음의 변수에 대해 푸는 것이므로 제곱근의 성질을 이용하여 x를 구한다. x의 제곱이 2분의 1이면 x는 2분의 1의 제곱근의 플러스 마이너스이다. 분모를 유리화하면 x는 2분의 루트 2의 플러스 마이너스임을 알 수 있다. x의 제곱이 3분의 2이면 x는 3분의 2의 제곱근의 플러스 마이너스이다. 분모를 유리화하면 x는 3분의 루트 6의 플러스 마이너스임을 알 수 있다.

6단계는 구한 해를 검산하는 것이다. 여기에서는 x가 2분의 루트 2인 경우 하나만 검산해 보인다. 이 값을 처음 방정식에 대입한다. 6 곱하기 2분의 루트 2의 네제곱 빼기 7 곱하기 2분의 루트 2의 제곱 더하기 2. 이 식은 0과 같은가? 거듭제곱을 간단히 하면 6 곱하기 16분의 4 빼기 7 곱하기 4분의 2 더하기 2가 된다. 항을 간단히 하면 2분의 3 빼기 2분의 7 더하기 2분의 4는 0이다. 2분의 루트 2는 해이다. 나머지 검산은 여러분에게 맡긴다!

원본 교재 풀이(영어)

Step 1 is to identify a substitution that will put the equation in quadratic form. Look at the equation 6 x to the fourth power minus 7 x squared plus 2 equals 0. Since the square of x squared equals x to the fourth, let u equals x squared.

Step 2 is to rewrite the equation with the substitution to put it in quadratic form. Rewrite the equation to prepare for the substitution to show 6 times the square of x squared minus 7 times x squared plus 2 equals 0. Substitute u equals x squared to get the new equation 6 times u squared minus 7 u plus 2 equals 0.

Step 3 is to solve the quadratic equation for u. We can solve by factoring, so rewrite the equation as the product of 2 u minus 1 and 3 u minus 2 equals 0. Use the Zero Product Property to create 2 equations. If 2 u minus 1 equals 0, then 2u equals one, so u equals one half. If 3 u minus 2 equals 0, then 3 u equals 2 and u equals two thirds.

In step 4, substitute the original variable back into the results. In this case replace u with x squared. So u equals one half becomes x squared equals one half and u equals two thirds becomes x squared equals two thirds.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 6.5절 · 9번



치환을 준비한다.
$u=x-2$ 로 놓고 대입한다.
인수분해하여 푼다.
$u$ 를 $x-2$ 로 바꾼다.
$x$ 에 대해 푼다.
확인:



Prepare for the substitution.
Let $u=x-2$ and substitute.
Solve by factoring.
Replace $u$ with $x-2.$
Solve for $x.$
Check:



치환을 준비하기 위해 삼항식을 다시 쓴다.
$u=\sqrt{x}$ 로 놓고 치환한다.
인수분해하여 푼다.
u 를 $\sqrt{x}$ 로 되돌린다.
양변을 제곱하여 x 에 대해 푼다.
확인:



Rewrite the trinomial to prepare for the substitution.
Let $u=\sqrt{x}$ and substitute.
Solve by factoring.
Replace u with $\sqrt{x}.$
Solve for x, by squaring both sides.
Check:



치환할 수 있도록 삼항식을 다시 쓴다.
$u={x}^{\frac{1}{3}}$ 로 놓고 치환한다.
인수분해하여 푼다.
u 를 ${x}^{\frac{1}{3}}$ 로 되돌린다.
양변을 세제곱하여 $x$ 에 대해 푼다.
검산:



Rewrite the trinomial to prepare for the substitution.
Let $u={x}^{\frac{1}{3}}$ and substitute.
Solve by factoring.
Replace u with ${x}^{\frac{1}{3}}.$
Solve for $x$ by cubing both sides.
Check:



치환을 준비하기 위해 삼항식을 다시 쓴다.
$u={x}^{-1}$ 로 놓고 치환한다.
인수분해하여 푼다.


u 를 ${x}^{-1}$ 로 바꾼다.
${x}^{-1}=\frac{1}{x}$ 이므로 역수를 취하여 $x$ 에 대해 푼다.
확인:



Rewrite the trinomial to prepare for the substitution.
Let $u={x}^{-1}$ and substitute.
Solve by factoring.


Replace u with ${x}^{-1}.$		$Two mathematical equations are displayed: x^-1 = 1/3, and x^-1 = 2. Both equations show an inverse power of x set equal to a constant value, with the first constant being a fraction and the second an integer.$
Solve for $x$ by taking the reciprocal since ${x}^{-1}=\frac{1}{x}.$
Check: