문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

미분 전체 문제

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유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.3절 · 4번우리말 풀이

임계점을 찾을 때 $f'(x)$ 가 정의되지 않는 점도 함께 살펴야 하는 이유를 설명하세요. 그래프를 그려 설명을 뒷받침하세요.

영어 원문 보기

When you are checking for critical points, explain why you also need to determine points where $f'(x)$ is undefined. Draw a graph to support your explanation.

풀이 보기

극값은 접선이 수평인 곳에서만 생기는 것이 아니에요. 그래프가 뾰족하게 꺾여 미분이 안 되는 점에서도 극값이 생길 수 있어요.

1
극값 후보를 정리해요. 미분가능한 함수에서 극값이 생기면 그 점에서 $f'(x)=0$ 이에요. 하지만 이것은 '미분가능할 때'만 성립하는 이야기예요. 미분이 안 되는 점은 이 방법으로 걸러 낼 수 없어요.
2
예를 들어 볼게요. $f(x)=|x|$ 의 그래프는 $x=0$ 에서 뾰족한 V자 모양이에요. $x=0$ 에서 좌미분계수는 $-1$ , 우미분계수는 $1$ 이라 $f'(0)$ 이 존재하지 않아요. 그런데 $f(0)=0$ 은 모든 $x$ 에서의 값 중 가장 작은 값, 즉 극솟값(최솟값)이에요.
3
결론을 말해요. 만약 $f'(x)=0$ 인 점만 조사하면 $y=|x|$ 의 극솟점 $x=0$ 을 놓쳐요(그 점에서 $f'(x)=0$ 이 되는 곳은 없으니까요). 그래서 $f'(x)=0$ 인 점뿐 아니라 $f'(x)$ 가 정의되지 않는 점까지 모두 임계점 후보로 확인해야 해요.

답

예시 답: $f'(x)$ 가 정의되지 않는 점에서도 극값이 생길 수 있다. 예를 들어 $f(x)=|x|$ 는 $x=0$ 에서 미분불가능하지만 극솟값 $0$ 을 갖는다. 그러므로 $f'(x)=0$ 인 점뿐 아니라 $f'$ 가 정의되지 않는 점도 조사해야 한다.

자주 하는 실수

극값은 항상 $f'(x)=0$ 인 점에서만 생긴다고 외우는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 8번

# 극대와 극소개념 확인보통

2.OpenStax 1권 · 4.4절 · 30번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하고, 이유를 쓰세요.

$y=\dfrac{x^2+3x+2}{x}$ , 구간 $[-1,1]$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval $[a,b].$ Justify your answer.

$y=\frac{{x}^{2}+3x+2}{x}$ over $[-1,1]$

풀이 보기

평균값 정리를 쓰려면 먼저 닫힌 구간에서 연속인지 확인해요.

1
조건을 떠올려요. 평균값 정리는 $[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 미분가능한 함수에만 쓸 수 있어요. 그래서 연속인지 먼저 점검해요.
2
연속인지 살펴요. 분모가 $0$ 이 되는 $x=0$ 에서 함수가 정의되지 않아요. $x=0$ 은 구간 $[-1,1]$ 안에 있으므로 이 함수는 $x=0$ 에서 불연속이에요. (분자 $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$ 는 $x=0$ 에서 $2$ 라서 약분되지도 않아요. $x\to 0$ 이면 값이 무한히 커져요.)
3
결론을 내려요. 구간 안에 불연속인 점이 있으므로 연속 조건이 깨져서 평균값 정리를 적용할 수 없어요.

답

적용할 수 없다 ( $x=0$ 에서 불연속)

자주 하는 실수

끝점 $\pm1$ 에서만 연속 여부를 확인하고 구간 안쪽의 불연속점을 놓치는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

The Mean Value Theorem does not apply; discontinuous at $x=0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 40번

# 롤의 정리와 평균값 정리개념 확인보통

3.OpenStax 1권 · 4.5절 · 2번우리말 풀이

함수 $y=x^3$ 에서 $x=0$ 은 변곡점이면서 동시에 극댓값 또는 극솟값을 주는 점인가요?

영어 원문 보기

For the function $y={x}^{3},$ is $x=0$ both an inflection point and a local maximum/minimum?

풀이 보기

극값은 $f'$ 의 부호가 바뀔 때, 변곡점은 $f''$ 의 부호가 바뀔 때 생겨요. 둘은 서로 다른 조건이에요.

1
도함수를 살펴요. $f'(x)=3x^2$ 이므로 $f'(0)=0$ 이에요. 하지만 $x<0$ 과 $x>0$ 모두에서 $f'(x)>0$ 이라 $f'$ 의 부호가 바뀌지 않아요. 함수가 계속 증가하고 있으므로 $x=0$ 은 극값이 아니에요.
2
이계도함수를 살펴요. $f''(x)=6x$ 는 $x<0$ 에서 음수(위로 볼록), $x>0$ 에서 양수(아래로 볼록)로 부호가 바뀌어요. 그러므로 $x=0$ 은 변곡점이에요.
3
결론을 내려요. $x=0$ 은 변곡점이지만 극댓값·극솟값을 주는 점은 아니에요. 그래서 질문의 답은 '아니요'예요.

답

아니요. $x=0$ 은 변곡점이지만 $f'$ 의 부호가 바뀌지 않으므로 극값은 아니다

자주 하는 실수

$f'(0)=0$ 이면 무조건 극값이라고 생각하는 실수가 많아요. 부호가 바뀌는지 꼭 확인해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

It is not a local maximum/minimum because ${f}^{'}$ does not change sign

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 56번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인보통

4.OpenStax 1권 · 4.5절 · 6번우리말 풀이

위로 볼록한 함수는 어떤 $x$ 값에서 반드시 $y=0$ 을 지나야 하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain whether a concave-down function has to cross $y=0$ for some value of $x.$

풀이 보기

'반드시 ~이다'를 부정하려면 그렇지 않은 예(반례) 하나만 찾으면 돼요.

1
위로 볼록의 뜻을 떠올려요. 위로 볼록은 $f''<0$ 이라는 뜻이에요. 그래프가 모양만 위로 볼록할 뿐, 높이가 어디에 있는지는 정해 주지 않아요.
2
반례를 찾아요. $y=-x^2-1$ 을 보세요. $y''=-2<0$ 이라 어디서나 위로 볼록이지만, $-x^2-1\le -1<0$ 이라 $x$ 축 아래에만 있어서 $y=0$ 을 지나지 않아요. 또 $y=\sqrt{x}$ 도 $x>0$ 에서 $y''<0$ 으로 위로 볼록이지만 $x>0$ 인 부분에서는 $y>0$ 이라 $y=0$ 을 지나지 않아요.
3
결론을 내려요. 반례가 있으므로 위로 볼록한 함수가 반드시 $y=0$ 을 지나는 것은 아니에요.

답

거짓. 예를 들어 $y=-x^2-1$ (또는 $y=\sqrt{x}$ 의 $x>0$ 부분)은 위로 볼록하지만 $y=0$ 을 지나지 않는다

자주 하는 실수

볼록한 모양이면 언젠가 $x$ 축과 만난다고 생각하는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

False; for example, $y=\sqrt{x}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 2번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인보통