미분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 4.3절 · 4번우리말 풀이

임계점을 찾을 때 $f'(x)$ 가 정의되지 않는 점도 함께 살펴야 하는 이유를 설명하세요. 그래프를 그려 설명을 뒷받침하세요.

영어 원문 보기

When you are checking for critical points, explain why you also need to determine points where $f'(x)$ is undefined. Draw a graph to support your explanation.

풀이 보기

극값은 접선이 수평인 곳에서만 생기는 것이 아니에요. 그래프가 뾰족하게 꺾여 미분이 안 되는 점에서도 극값이 생길 수 있어요.

1
극값 후보를 정리해요. 미분가능한 함수에서 극값이 생기면 그 점에서 $f'(x)=0$ 이에요. 하지만 이것은 '미분가능할 때'만 성립하는 이야기예요. 미분이 안 되는 점은 이 방법으로 걸러 낼 수 없어요.
2
예를 들어 볼게요. $f(x)=|x|$ 의 그래프는 $x=0$ 에서 뾰족한 V자 모양이에요. $x=0$ 에서 좌미분계수는 $-1$ , 우미분계수는 $1$ 이라 $f'(0)$ 이 존재하지 않아요. 그런데 $f(0)=0$ 은 모든 $x$ 에서의 값 중 가장 작은 값, 즉 극솟값(최솟값)이에요.
3
결론을 말해요. 만약 $f'(x)=0$ 인 점만 조사하면 $y=|x|$ 의 극솟점 $x=0$ 을 놓쳐요(그 점에서 $f'(x)=0$ 이 되는 곳은 없으니까요). 그래서 $f'(x)=0$ 인 점뿐 아니라 $f'(x)$ 가 정의되지 않는 점까지 모두 임계점 후보로 확인해야 해요.

답

예시 답: $f'(x)$ 가 정의되지 않는 점에서도 극값이 생길 수 있다. 예를 들어 $f(x)=|x|$ 는 $x=0$ 에서 미분불가능하지만 극솟값 $0$ 을 갖는다. 그러므로 $f'(x)=0$ 인 점뿐 아니라 $f'$ 가 정의되지 않는 점도 조사해야 한다.

자주 하는 실수

극값은 항상 $f'(x)=0$ 인 점에서만 생긴다고 외우는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 8번

# 극대와 극소개념 확인보통

2.OpenStax 1권 · 4.4절 · 30번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하고, 이유를 쓰세요.

$y=\dfrac{x^2+3x+2}{x}$ , 구간 $[-1,1]$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval $[a,b].$ Justify your answer.

$y=\frac{{x}^{2}+3x+2}{x}$ over $[-1,1]$

풀이 보기

평균값 정리를 쓰려면 먼저 닫힌 구간에서 연속인지 확인해요.

1
조건을 떠올려요. 평균값 정리는 $[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 미분가능한 함수에만 쓸 수 있어요. 그래서 연속인지 먼저 점검해요.
2
연속인지 살펴요. 분모가 $0$ 이 되는 $x=0$ 에서 함수가 정의되지 않아요. $x=0$ 은 구간 $[-1,1]$ 안에 있으므로 이 함수는 $x=0$ 에서 불연속이에요. (분자 $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$ 는 $x=0$ 에서 $2$ 라서 약분되지도 않아요. $x\to 0$ 이면 값이 무한히 커져요.)
3
결론을 내려요. 구간 안에 불연속인 점이 있으므로 연속 조건이 깨져서 평균값 정리를 적용할 수 없어요.

답

적용할 수 없다 ( $x=0$ 에서 불연속)

자주 하는 실수

끝점 $\pm1$ 에서만 연속 여부를 확인하고 구간 안쪽의 불연속점을 놓치는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

The Mean Value Theorem does not apply; discontinuous at $x=0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 40번

# 롤의 정리와 평균값 정리개념 확인보통

3.OpenStax 1권 · 4.4절 · 40번우리말 풀이

다음 문제에서 계산기로 구간 $[a,b]$ 에서의 함수의 그래프와 $a$ 에서 $b$ 까지의 할선을 그리세요. 평균값 정리가 보장하는 모든 $c$ 의 값을 계산기로 어림하세요. 그런 다음 가능하면 $c$ 의 정확한 값을 구하고, 아니면 최종 방정식을 쓰고 계산기로 소수 넷째 자리까지 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $[-4,0]$ 에서 $y=\left|x^2+2x-4\right|$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function over the interval $[a,b]$ and graph the secant line from $a$ to $b.$ Use the calculator to estimate all values of $c$ as guaranteed by the Mean Value Theorem. Then, find the exact value of $c,$ if possible, or write the final equation and use a calculator to estimate to four digits.

[T] $y=|{x}^{2}+2x-4|$ over $[-4,0]$

풀이 보기

평균값 정리를 쓰기 전에 연속·미분가능 조건부터 확인해요. 절댓값이 있으면 안쪽 식이 0이 되는 곳에서 그래프가 꺾일 수 있어요.

1
안쪽 식이 0이 되는 곳을 찾아요. $x^2+2x-4=0$ 을 풀면 $x=-1\pm\sqrt5$ , 즉 $x\approx-3.236$ 과 $x\approx1.236$ 이에요. 이 중 $x=-1-\sqrt5\approx-3.236$ 이 구간 $[-4,0]$ 안에 있어요.
2
그곳에서 미분가능한지 봐요. 이 점의 왼쪽에서는 안쪽 식이 양수이고 오른쪽에서는 음수예요. 그래서 $f(x)=|g(x)|$ 의 기울기가 왼쪽에서는 $g'(x)=2x+2\approx-4.47$ , 오른쪽에서는 $-g'(x)\approx+4.47$ 이 되어 서로 달라요. 그래프가 뾰족하게 꺾이는 점이라 이 점에서 미분가능하지 않아요.
3
결론을 내려요. 열린 구간 $(-4,0)$ 안에 미분불가능한 점이 있으므로 평균값 정리의 조건을 만족하지 않아요. 따라서 평균값 정리는 적용되지 않아요.
4
참고로 확인해 봐요. $f(-4)=4$ , $f(0)=4$ 이므로 평균변화율은 $0$ 이에요. 실제로 $-3.236<x<1.236$ 에서 $f(x)=-(x^2+2x-4)$ 이므로 $f'(-1)=0$ 인 $c=-1$ 이 있긴 해요. 하지만 이것은 정리가 보장해 준 것이 아니라 우연히 성립하는 것이에요.

답

평균값 정리를 적용할 수 없다 ( $x=-1-\sqrt5$ 에서 미분불가능)

자주 하는 실수

결론이 우연히 성립해도 평균값 정리가 적용된다고 말하면 안 돼요. 조건을 만족하는지가 핵심이에요.

원본 교재 풀이(영어)

The Mean Value Theorem does not apply.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 10번

# 롤의 정리와 평균값 정리개념 확인도전

4.OpenStax 1권 · 4.5절 · 2번우리말 풀이

함수 $y=x^3$ 에서 $x=0$ 은 변곡점이면서 동시에 극댓값 또는 극솟값을 주는 점인가요?

영어 원문 보기

For the function $y={x}^{3},$ is $x=0$ both an inflection point and a local maximum/minimum?

풀이 보기

극값은 $f'$ 의 부호가 바뀔 때, 변곡점은 $f''$ 의 부호가 바뀔 때 생겨요. 둘은 서로 다른 조건이에요.

1
도함수를 살펴요. $f'(x)=3x^2$ 이므로 $f'(0)=0$ 이에요. 하지만 $x<0$ 과 $x>0$ 모두에서 $f'(x)>0$ 이라 $f'$ 의 부호가 바뀌지 않아요. 함수가 계속 증가하고 있으므로 $x=0$ 은 극값이 아니에요.
2
이계도함수를 살펴요. $f''(x)=6x$ 는 $x<0$ 에서 음수(위로 볼록), $x>0$ 에서 양수(아래로 볼록)로 부호가 바뀌어요. 그러므로 $x=0$ 은 변곡점이에요.
3
결론을 내려요. $x=0$ 은 변곡점이지만 극댓값·극솟값을 주는 점은 아니에요. 그래서 질문의 답은 '아니요'예요.

답

아니요. $x=0$ 은 변곡점이지만 $f'$ 의 부호가 바뀌지 않으므로 극값은 아니다

자주 하는 실수

$f'(0)=0$ 이면 무조건 극값이라고 생각하는 실수가 많아요. 부호가 바뀌는지 꼭 확인해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

It is not a local maximum/minimum because ${f}^{'}$ does not change sign

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 56번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인보통

5.OpenStax 1권 · 4.5절 · 6번우리말 풀이

위로 볼록한 함수는 어떤 $x$ 값에서 반드시 $y=0$ 을 지나야 하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain whether a concave-down function has to cross $y=0$ for some value of $x.$

풀이 보기

'반드시 ~이다'를 부정하려면 그렇지 않은 예(반례) 하나만 찾으면 돼요.

1
위로 볼록의 뜻을 떠올려요. 위로 볼록은 $f''<0$ 이라는 뜻이에요. 그래프가 모양만 위로 볼록할 뿐, 높이가 어디에 있는지는 정해 주지 않아요.
2
반례를 찾아요. $y=-x^2-1$ 을 보세요. $y''=-2<0$ 이라 어디서나 위로 볼록이지만, $-x^2-1\le -1<0$ 이라 $x$ 축 아래에만 있어서 $y=0$ 을 지나지 않아요. 또 $y=\sqrt{x}$ 도 $x>0$ 에서 $y''<0$ 으로 위로 볼록이지만 $x>0$ 인 부분에서는 $y>0$ 이라 $y=0$ 을 지나지 않아요.
3
결론을 내려요. 반례가 있으므로 위로 볼록한 함수가 반드시 $y=0$ 을 지나는 것은 아니에요.

답

거짓. 예를 들어 $y=-x^2-1$ (또는 $y=\sqrt{x}$ 의 $x>0$ 부분)은 위로 볼록하지만 $y=0$ 을 지나지 않는다

자주 하는 실수

볼록한 모양이면 언젠가 $x$ 축과 만난다고 생각하는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

False; for example, $y=\sqrt{x}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 2번

# 함수의 그래프 그리기개념 확인보통

6.OpenStax 1권 · 3장 복습 · 1번우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 정당화하세요.

모든 함수는 도함수를 가진다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify the answer with a proof or a counterexample.

Every function has a derivative.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

거짓이다.

원본 교재 풀이(영어)

False.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3장 복습 · 3번

# 다항함수의 미분법개념 확인자동 분류

7.OpenStax 1권 · 3장 복습 · 2번우리말 번역

단원 복습 문제

참인지 거짓인지 판단하고, 증명이나 반례로 그 이유를 설명하세요.

연속함수는 연속인 도함수를 가진다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify the answer with a proof or a counterexample.

A continuous function has a continuous derivative.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 24번

# 다항함수의 미분법개념 확인자동 분류

8.OpenStax 1권 · 3장 복습 · 3번우리말 번역

단원 복습 문제

참인지 거짓인지 판단하고, 증명이나 반례로 그 이유를 설명하세요.

연속함수는 도함수를 가진다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify the answer with a proof or a counterexample.

A continuous function has a derivative.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

거짓

원본 교재 풀이(영어)

False

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3장 복습 · 5번

# 다항함수의 미분법개념 확인자동 분류

9.OpenStax 1권 · 3장 복습 · 4번우리말 번역

단원 복습 문제

참인지 거짓인지 판단하고, 증명이나 반례로 그 이유를 설명하세요.

함수가 미분가능하면 그 함수는 연속이다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify the answer with a proof or a counterexample.

If a function is differentiable, it is continuous.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 12번

# 다항함수의 미분법개념 확인자동 분류

10.OpenStax 1권 · 4.3절 · 5번우리말 번역

$y=a{x}^{2}+bx+c$ 가 $(-\infty ,\infty )$ 에서 유한한 최댓값을 가질 수 있나요? 그래프를 이용한 논증으로 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Can you have a finite absolute maximum for $y=a{x}^{2}+bx+c$ over $(-\infty ,\infty )?$ Explain why or why not using graphical arguments.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 14번

# 극대와 극소개념 확인자동 분류

11.OpenStax 1권 · 4.3절 · 6번우리말 번역

$a$ 가 0이 아니라고 할 때, $y=a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+d$ 가 $(-\infty ,\infty )$ 에서 유한한 최댓값을 가질 수 있나요? 그래프를 이용한 논증으로 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Can you have a finite absolute maximum for $y=a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+d$ over $(-\infty ,\infty )$ assuming a is non-zero? Explain why or why not using graphical arguments.

정답·풀이 보기

아니요; 답은 다양할 수 있다

원본 교재 풀이(영어)

No; answers will vary

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 2번

# 극대와 극소개념 확인자동 분류

12.OpenStax 1권 · 4.5절 · 53번우리말 번역

다음 연습문제에서는 ${f}^{'}(1)=0,{f}^{'}(3)=0$ 이라는 성질을 갖는 삼차 다항식 $f(x)$ 를 생각합니다(연습문제 249번과 250번에는 적용되지 않습니다). 다음 명제가 참인지 거짓인지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$1\le x\le 3$ 인 어떤 $x$ 에 대해 $f(x)=0$ 이다.

영어 원문 보기

For the following exercises, consider a third-degree polynomial $f(x),$ which has the properties ${f}^{'}(1)=0,{f}^{'}(3)=0$ (not applicable to Exercises 249 and 250). Determine whether the following statements are true or false. Justify your answer.

$f(x)=0$ for some $1\le x\le 3$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 6번

# 함수의 증가와 감소개념 확인자동 분류

13.OpenStax 1권 · 4.5절 · 54번우리말 번역

다음 연습문제에서, 성질 ${f}^{'}(1)=0,{f}^{'}(3)=0$ 을 갖는 삼차 다항식 $f(x)$ 를 생각하세요 (연습문제 249와 250에는 적용되지 않음). 다음 명제가 참인지 거짓인지 판단하고, 그 이유를 설명하세요.

어떤 $1\le x\le 3$ 에 대해 ${f}^{''}(x)=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, consider a third-degree polynomial $f(x),$ which has the properties ${f}^{'}(1)=0,{f}^{'}(3)=0$ (not applicable to Exercises 249 and 250). Determine whether the following statements are true or false. Justify your answer.

${f}^{''}(x)=0$ for some $1\le x\le 3$

정답·풀이 보기

참, 평균값 정리에 의해

원본 교재 풀이(영어)

True, by the Mean Value Theorem

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 38번

# 함수의 증가와 감소개념 확인자동 분류

14.OpenStax 1권 · 4.5절 · 55번우리말 번역

다음 연습문제에서, 성질 ${f}^{'}(1)=0,{f}^{'}(3)=0$ 을 갖는 삼차 다항식 $f(x)$ 를 생각하세요 (연습문제 249와 250에는 적용되지 않음). 다음 명제가 참인지 거짓인지 판단하고, 그 이유를 설명하세요.

$x=3$ 에서 최댓값을 갖지 않는다

영어 원문 보기

For the following exercises, consider a third-degree polynomial $f(x),$ which has the properties ${f}^{'}(1)=0,{f}^{'}(3)=0$ (not applicable to Exercises 249 and 250). Determine whether the following statements are true or false. Justify your answer.

There is no absolute maximum at $x=3$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 1번

# 함수의 증가와 감소개념 확인자동 분류

15.OpenStax 1권 · 4.7절 · 3번우리말 번역

참 또는 거짓. 모든 연속인 비선형 함수에 대해, 그 함수를 최대로 만드는 값 $x$ 를 찾을 수 있다.

영어 원문 보기

True or False. For every continuous nonlinear function, you can find the value $x$ that maximizes the function.

정답·풀이 보기

거짓이다; $y={x}^{2}$ 은 최솟값만 가진다

원본 교재 풀이(영어)

False; $y={x}^{2}$ has a minimum only

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 35번

# 최댓값·최솟값과 최적화개념 확인자동 분류

16.OpenStax 1권 · 4.7절 · 4번우리말 번역

참 또는 거짓. 닫힌 유한한 정의역에서 연속인 상수가 아닌 모든 함수에 대해, 그 함수를 최소 또는 최대로 만드는 $x$ 가 적어도 하나 존재한다.

영어 원문 보기

True or False. For every continuous nonconstant function on a closed, finite domain, there exists at least one $x$ that minimizes or maximizes the function.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 3번

# 최댓값·최솟값과 최적화개념 확인자동 분류

17.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 2번우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 뒷받침하세요. 달리 언급하지 않는 한 $f(x)$ 는 연속이고 미분가능하다고 가정하세요.

${f}^{'}(c)=0$ 이면, $x=c$ 에서 최댓값 또는 최솟값을 갖는다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample. Assume that $f(x)$ is continuous and differentiable unless stated otherwise.

If ${f}^{'}(c)=0,$ there is a maximum or minimum at $x=c.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.5절 · 5번

# 최댓값·최솟값과 최적화개념 확인자동 분류

18.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 6번우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명 또는 반례로 답을 정당화하세요. 달리 언급하지 않는 한 $f(x)$ 는 연속이고 미분가능하다고 가정하세요.

아래에 $f$ 의 그래프가 주어져 있습니다. ${f}^{'}$ 의 그래프를 그리세요.

함수는 급격히 감소하여 −2에서 극솟값에 이르고, 이후 증가하여 0에서 극댓값에 이른다. 그 지점에서 처음에는 천천히 감소하다가 1 근처에서 감소가 멈추고, 다시 계속 감소하여 3에서 극솟값에 이르며, 그 뒤 급격히 증가한다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample. Assume that $f(x)$ is continuous and differentiable unless stated otherwise.

The graph of $f$ is given below. Draw ${f}^{'}.$

The function decreases rapidly and reaches a local minimum at −2, then it increases to reach a local maximum at 0, at which point it decreases slowly at first, then stops decreasing near 1, then continues decreasing to reach a minimum at 3, and then increases rapidly.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 4번

# 최댓값·최솟값과 최적화개념 확인자동 분류

19.OpenStax 1권 · 4장 복습 · 7번우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명 또는 반례로 답을 정당화하세요. 달리 언급하지 않는 한 $f(x)$ 는 연속이고 미분가능하다고 가정하세요.

$x=\frac{1}{4}$ 근처에서 $y={x}^{2}+\tan (\pi x)$ 의 선형 근사 $L(x)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample. Assume that $f(x)$ is continuous and differentiable unless stated otherwise.