미분 전체 문제

(a) 필요한 값을 준비해요. $f(1)=1^2+1=2$ 이고 $f(1+h)=(1+h)^2+(1+h)=2+3h+h^2$ 이에요.

차를 구해서 $h$ 로 나눠요.

$$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{3h+h^2}{h}=3+h$$

극한을 취해요. $h\to0$ 이면 $3+h\to3$ 이므로 $f'(1)=3$ 이에요.

(b) 접선을 세워요. 접점은 $(1,2)$, 기울기는 $3$ 이므로 $y-2=3(x-1)$ 이고 정리하면 $y=3x-1$ 이에요.

함숫값을 구해요. $f(-2)=2-3\cdot 4=-10$ 이에요. 그리고 $$f(-2+h)=2-3(4-4h+h^2)=-10+12h-3h^2$$

a: 정의 식을 계산해요. $$\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\frac{12h-3h^2}{h}=12-3h$$ 이제 $h\to 0$ 이면 $12-3h\to 12$ 이므로 $f'(-2)=12$ 예요.

b: 접선의 방정식을 세워요. 접점은 $(-2,-10)$, 기울기는 $12$ 이므로 $$y+10=12(x+2)\ \Rightarrow\ y=12x+14$$

식을 세워요. $f(4)=\sqrt4=2$ 이므로

$$f'(4)=\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$$

대입하면 $\dfrac00$ 꼴이라 식을 바꿔야 해요.

분자를 유리화해요. 분자와 분모에 $\sqrt{x}+2$ 를 곱하면 $(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4$ 가 돼요.

$$\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}$$

약분하고 극한을 구해요. $x\ne4$ 이므로 $x-4$ 를 약분하면 $\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$ 이고, $x\to4$ 이면 $\dfrac{1}{2+2}=\dfrac14$ 이에요.

정의 식에 대입해요. $f(1)=1$ 이므로 $$f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x^3}-1}{x-1}$$

분자를 통분해요. $\dfrac{1}{x^3}-1=\dfrac{1-x^3}{x^3}$ 이므로 $$\frac{1-x^3}{x^3(x-1)}$$ 이 돼요. 그대로 $x=1$ 을 넣으면 $\frac00$ 꼴이라 더 정리해야 해요.

인수분해로 약분해요. $1-x^3=-(x-1)(x^2+x+1)$ 이므로 $$\frac{-(x-1)(x^2+x+1)}{x^3(x-1)}=-\frac{x^2+x+1}{x^3}\quad(x\neq 1)$$

극한값을 구해요. $x\to 1$ 이면 $-\dfrac{1+1+1}{1}=-3$ 이에요. 그러므로 $f'(1)=-3$ 이에요.

평균속도의 식을 세워요. 평균속도는 위치가 얼마나 변했는지를 걸린 시간으로 나눈 값이에요. $t=2$ 에서 $t=2+h$ 까지 걸린 시간은 $h$ 이므로 $$\frac{s(2+h)-s(2)}{h}$$ 를 계산하면 돼요. 먼저 $s(2)=2\cdot 2^3+3=19$ 예요.

$s(2+h)$ 를 전개해요. $(2+h)^3=8+12h+6h^2+h^3$ 이므로 $$s(2+h)=2(8+12h+6h^2+h^3)+3=19+24h+12h^2+2h^3$$ 예요. 그러면 $s(2+h)-s(2)=24h+12h^2+2h^3$ 이에요.

$h$ 로 나누어 간단히 해요. 분자의 모든 항에 $h$ 가 들어 있으니 약분할 수 있어요. $$\frac{24h+12h^2+2h^3}{h}=24+12h+2h^2=2(h^2+6h+12)$$ 이것이 a의 답이에요.

b: $h$ 값을 차례로 넣어요. $2(h^2+6h+12)$ 에 대입하면

• $h=0.1$: $2(0.01+0.6+12)=25.22$ (m/s)
• $h=0.01$: $2(0.0001+0.06+12)=24.1202\approx 24.12$ (m/s)
• $h=0.001$: $24.012\approx 24.01$ (m/s)
• $h=0.0001$: $24.0012\approx 24.00$ (m/s)

c: 값이 어디로 다가가는지 봐요. $h$ 가 작아질수록 평균속도가 $24$ 에 가까워져요. 식으로도 $h\to 0$ 이면 $2(h^2+6h+12)\to 2\cdot 12=24$ 예요. 그러므로 $t=2$ 초의 순간속도는 $24$ m/s 예요.

정의 식을 써요. $x=0$ 에서의 미분계수는 $f(0)=0$ 이므로 $$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{x^{1/3}}{x}$$ 이 극한이 존재하는지 보면 돼요.

식을 정리해요. $\dfrac{x^{1/3}}{x}=x^{1/3-1}=x^{-2/3}=\dfrac{1}{x^{2/3}}$ 예요.

좌극한을 구해요. $x\to 0^-$ 일 때 $x^{2/3}=\left(x^{1/3}\right)^2$ 은 항상 양수이면서 $0$ 에 가까워지므로 $\dfrac{1}{x^{2/3}}\to\infty$ 예요. 우극한도 같은 이유로 $\infty$ 예요.

결론을 내려요. 극한이 유한한 값이 아니라 $\infty$ 로 발산하므로 $f'(0)$ 은 존재하지 않아요. 그래프로 보면 $x=0$ 에서 접선이 $y$ 축과 나란한 수직선이 되어 기울기를 정할 수 없는 거예요.

기울기가 0인 곳을 먼저 찾아요. 도함수의 값은 접선의 기울기예요. 그래프를 보면 $x=0$ 근처(높이 10)에서 평평하게 눌려 있고, $x=3$ 에서 가장 낮아요(극솟점). 따라서 $f'(0)=0$, $f'(3)=0$ 이에요. 즉 $f'$ 의 그래프는 $x=0$ 과 $x=3$ 에서 $x$ 축과 만나요.

부호를 구간별로 살펴요. $x<3$ 에서는 (평평한 $x=0$ 을 제외하고) $f$ 가 계속 내려가므로 기울기가 음수, 즉 $f'(x)<0$ 이에요. $x=0$ 에서는 0이 되지만 앞뒤 모두 음수라서 $x$ 축에 닿기만 하고 통과하지 않아요. $x>3$ 에서는 $f$ 가 올라가므로 $f'(x)>0$ 이에요.

크기를 어림해요. 왼쪽 끝 $x=-1.5$ 근처에서는 내려가는 정도가 아주 가팔라서 $f'$ 는 큰 음수예요. 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 기울기가 완만해져 $x=0$ 에서 0이 돼요. 그 뒤 다시 가팔라져서 $x=2$ 근처에서 가장 가파르게 내려가므로 $f'$ 는 여기서 가장 작은 값(약 $-16$)을 가져요. 이후 기울기가 완만해져 $x=3$ 에서 0이 되고, 그 뒤로는 양수로 빠르게 커져요.

그래프를 이어요. 위 점들을 매끄럽게 이으면 $f'$ 의 그래프는 '왼쪽 위에서 음수로 내려오다가 $x=0$ 에서 $x$ 축에 닿고, $x=2$ 근처에서 최저가 되었다가 $x=3$ 에서 $x$ 축을 통과해 위로 올라가는' 삼차함수 모양이에요.

접점의 좌표를 구해요. $x=-1$ 일 때 $$f(-1)=2(-1)^3+4(-1)^2-5(-1)-3=-2+4+5-3=4$$ 이므로 접점은 $(-1,\,4)$ 예요.

기울기를 구해요. 접선의 기울기는 미분계수 $f'(-1)$ 이에요. 먼저 도함수는 $$f'(x)=6x^2+8x-5$$ 이고, $x=-1$ 을 넣으면 $f'(-1)=6-8-5=-7$ 이에요.

직선의 방정식을 세워요. 점 $(-1,4)$ 를 지나고 기울기가 $-7$ 인 직선은 $$y-4=-7(x+1)\ \Rightarrow\ y=-7x-3$$

구하려는 함수를 $f(x)=ax^2+bx+c$ 로 놓아요. 미분하면

$$f'(x)=2ax+b,\qquad f''(x)=2a$$

가장 간단한 조건인 $f''(1)=-6$ 부터 써요. $f''$ 는 상수 $2a$ 이므로 $2a=-6$, 즉 $a=-3$ 이에요.

$f'(1)=2a+b=3$ 이고 $a=-3$ 이므로 $-6+b=3$, 즉 $b=9$ 예요.

$f(1)=a+b+c=5$ 에서 $-3+9+c=5$ 이므로 $c=-1$ 이에요.

$$f(x)=-3x^2+9x-1$$

(a) 문제의 자료 표를 계산기에 입력해 일차 회귀(최소제곱 직선)를 구해요. 결과는 $P(t)=0.03983t+0.4280$이에요.

(b) 일차함수 $at+b$를 미분하면 상수 $a$예요. $P'(t)=0.03983$이고, 이 값은 양수이므로 인구가 시간에 따라 증가하고 있다는 뜻이에요. 증가 속도는 단위 시간당 약 $0.03983$이에요.

(c) 상수를 미분하면 $0$이므로 $P''(t)=0$이에요. 인구가 증가하는 속도가 변하지 않고 일정하다는 뜻이에요.

극값 후보를 정리해요. 미분가능한 함수에서 극값이 생기면 그 점에서 $f'(x)=0$ 이에요. 하지만 이것은 '미분가능할 때'만 성립하는 이야기예요. 미분이 안 되는 점은 이 방법으로 걸러 낼 수 없어요.

예를 들어 볼게요. $f(x)=|x|$ 의 그래프는 $x=0$ 에서 뾰족한 V자 모양이에요. $x=0$ 에서 좌미분계수는 $-1$, 우미분계수는 $1$ 이라 $f'(0)$ 이 존재하지 않아요. 그런데 $f(0)=0$ 은 모든 $x$ 에서의 값 중 가장 작은 값, 즉 극솟값(최솟값)이에요.

결론을 말해요. 만약 $f'(x)=0$ 인 점만 조사하면 $y=|x|$ 의 극솟점 $x=0$ 을 놓쳐요(그 점에서 $f'(x)=0$ 이 되는 곳은 없으니까요). 그래서 $f'(x)=0$ 인 점뿐 아니라 $f'(x)$ 가 정의되지 않는 점까지 모두 임계점 후보로 확인해야 해요.

분모를 살펴요. $0<x<1$ 에서 $x-x^2=x(1-x)>0$ 이라서 $y>0$ 이에요. 분모를 완전제곱 꼴로 바꾸면 $$x-x^2=-\left(x-\tfrac12\right)^2+\tfrac14$$ 이므로 $x=\tfrac12$ 일 때 분모가 최대 $\tfrac14$ 예요.

함수의 값을 구해요. 분모가 가장 클 때 $y$ 가 가장 작으므로 $x=\tfrac12$ 에서 $y=\dfrac{1}{1/4}=4$ 가 최솟값이에요. (도함수로도 확인해요. $y'=-\dfrac{1-2x}{(x-x^2)^2}$ 이고 $x<\tfrac12$ 에서 음수, $x>\tfrac12$ 에서 양수라서 $x=\tfrac12$ 에서 극소예요.)

최댓값이 있는지 봐요. $x\to0^+$ 또는 $x\to1^-$ 이면 분모가 $0$ 에 가까워져 $y\to\infty$ 예요. 값이 한없이 커지므로 최댓값은 없어요.

평균변화율을 구해요. $f(1)=3+2+1=6$, $f(-1)=-3-2+1=-4$ 이므로 $$\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=\frac{6-(-4)}{2}=5$$ 즉 양 끝점을 잇는 할선의 기울기는 $5$ 예요.

도함수가 5가 되는 곳을 찾아요. $f'(x)=9x^2+2$ 이므로 $f'(c)=5$ 를 풀면 $$9c^2+2=5\ \Rightarrow\ c^2=\tfrac13\ \Rightarrow\ c=\pm\frac{1}{\sqrt3}\approx\pm0.577$$

구간 안에 있는지 확인해요. 두 값 모두 $-1<c<1$ 이므로 조건에 맞아요. 따라서 점 $c$ 는 모두 2개예요. 그래프로 보면 할선과 나란한 접선을 곡선의 왼쪽과 오른쪽에서 각각 한 번씩 그을 수 있다는 뜻이에요.

평균변화율을 구해요. $f(1)=\tfrac12$, $f(-1)=\tfrac32$ 이므로 $$f(1)-f(-1)=-1\ \Rightarrow\ f'(c)\cdot 2=-1\ \Rightarrow\ f'(c)=-\tfrac12$$ 이 되는 $c$ 가 있는지 보면 돼요.

도함수의 값을 살펴요. $x>\tfrac12$ 에서는 $f(x)=x-\tfrac12$ 이므로 $f'(x)=1$, $x<\tfrac12$ 에서는 $f(x)=-x+\tfrac12$ 이므로 $f'(x)=-1$ 이에요. 도함수가 가질 수 있는 값은 $1$ 과 $-1$ 뿐이라서 $-\tfrac12$ 은 될 수 없어요. 그러므로 조건을 만족하는 $c$ 가 없어요.

왜 평균값 정리가 안 되는지 말해요. $x=\tfrac12$ 은 구간 $(-1,1)$ 안에 있는데, 이곳에서 좌미분계수는 $-1$, 우미분계수는 $1$ 로 서로 달라 미분가능하지 않아요(그래프가 뾰족한 점). 따라서 열린 구간에서 미분가능하다는 조건이 깨져 평균값 정리를 쓸 수 없어요.

조건을 떠올려요. 평균값 정리는 $[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 미분가능한 함수에만 쓸 수 있어요. 그래서 연속인지 먼저 점검해요.

연속인지 살펴요. 분모가 $0$ 이 되는 $x=0$ 에서 함수가 정의되지 않아요. $x=0$ 은 구간 $[-1,1]$ 안에 있으므로 이 함수는 $x=0$ 에서 불연속이에요. (분자 $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$ 는 $x=0$ 에서 $2$ 라서 약분되지도 않아요. $x\to 0$ 이면 값이 무한히 커져요.)

결론을 내려요. 구간 안에 불연속인 점이 있으므로 연속 조건이 깨져서 평균값 정리를 적용할 수 없어요.

도함수를 살펴요. $f'(x)=3x^2$ 이므로 $f'(0)=0$ 이에요. 하지만 $x<0$ 과 $x>0$ 모두에서 $f'(x)>0$ 이라 $f'$ 의 부호가 바뀌지 않아요. 함수가 계속 증가하고 있으므로 $x=0$ 은 극값이 아니에요.

이계도함수를 살펴요. $f''(x)=6x$ 는 $x<0$ 에서 음수(위로 볼록), $x>0$ 에서 양수(아래로 볼록)로 부호가 바뀌어요. 그러므로 $x=0$ 은 변곡점이에요.

결론을 내려요. $x=0$ 은 변곡점이지만 극댓값·극솟값을 주는 점은 아니에요. 그래서 질문의 답은 '아니요'예요.