문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

함수의 그래프 그리기

증가·감소와 극값, 대칭, 점근선을 모아 함수의 그래프 개형을 그린다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.5절 · 56번우리말 풀이

$f(x)$ 가 세 개의 근을 가지면 변곡점이 $1$ 개 있다.

영어 원문 보기

If $f(x)$ has three roots, then it has $1$ inflection point.

풀이 보기

근이 3개이면 롤의 정리를 두 번 써서 $f''$ 의 근이 있음을 알 수 있지만, 변곡점의 개수까지는 함수의 종류에 따라 달라요.

1
롤의 정리를 두 번 써 봐요. 근이 $a<b<c$ 이면 $f(a)=f(b)=0$ 이므로 $(a,b)$ 에서 $f'$ 의 근이 하나, $(b,c)$ 에서도 하나 있어요. 이 두 근 사이에 다시 롤의 정리를 쓰면 $f''$ 의 근이 적어도 하나 있어요.
2
삼차함수라면 맞아요. $f$ 가 삼차함수이면 $f''$ 는 일차식이라 근이 정확히 하나이고 그 앞뒤에서 부호가 바뀌어요. 그러므로 변곡점이 정확히 $1$ 개예요. 원본 답의 '참, 도함수를 살펴보세요'는 이 경우를 말해요.
3
일반 함수에서는 틀려요. $f(x)=x^4-x^2=x^2(x-1)(x+1)$ 은 근이 $0,\pm1$ 의 3개지만 $f''(x)=12x^2-2$ 의 부호가 $x=\pm\frac{1}{\sqrt6}$ 에서 바뀌어 변곡점이 $2$ 개예요. 또 $\sin x$ 처럼 근이 많은 함수도 있어요. 그래서 함수에 대한 조건 없이는 '변곡점이 정확히 1개'라고 할 수 없어요.

답

일반적으로는 거짓(반례 $y=x^4-x^2$ : 근 3개, 변곡점 2개). 삼차함수라면 참이다

자주 하는 실수

근의 개수와 변곡점의 개수가 늘 같다고 생각하는 실수가 있어요. 변곡점은 $f''$ 의 부호 변화로 정해져요.

참고: 원본 교재의 답과 다르게 풀었어요 — 원본은 '참'인데, 함수의 종류(삼차함수 등)가 문제에 적혀 있지 않아 일반 함수로는 반례가 있어요. 원문에 '삼차함수'라는 전제가 있었는지 확인이 필요해요.

원본 교재 풀이(영어)

True, examine derivative

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.4절 · 8번

# 함수의 그래프 그리기증명·논술도전

2.APEX · 3.5절 · 31번우리말 번역

$x^2+y^2=1$ 이 주어졌을 때, 음함수 미분을 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 와 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 을 구하세요. 이 결과를 이용하여 단위원의 그래프 개형이 타당함을 설명하세요.

영어 원문 보기

Given $x^2+y^2=1$ , use implicit differentiation to find $\frac{dy}{dx}$ and $\frac{d^2y}{dx^2}$ . Use this information to justify the sketch of the unit circle.

정답·풀이 보기

$\frac{dy}{dx} = -x/y$ 이므로 함수는 제2사분면과 제4사분면에서 증가하고, 제1사분면과 제3사분면에서 감소한다.

$\frac{d^2y}{dx^2} = -1/y - x^2/y^3$ 이고, 이 값은 $y<0$ 일 때 양수이고 $y>0$ 일 때 음수이다. 따라서 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 위로 볼록하고, 제3사분면과 제4사분면에서 아래로 볼록하다.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dy}{dx} = -x/y$ , so the function is increasing in second and fourth quadrants, decreasing in the first and third quadrants.

$\frac{d^2y}{dx^2} = -1/y - x^2/y^3$ , which is positive when $y<0$ and is negative when $y>0$ . Hence the function is concave down in the first and second quadrants and concave up in the third and fourth quadrants.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 13번

# 함수의 그래프 그리기증명·논술자동 분류

3.CLP-1 · 3.6절 · 5번우리말 번역

$f(x)=\frac{x^4-x^6}{e^{x^2}}$ $f(x)$ 가 우함수임을 보이세요.

영어 원문 보기

$f(x)=\frac{x^4-x^6}{e^{x^2}}$ Show that $f(x)$ is even.

정답·풀이 보기

함수가 우함수이려면 $f(-x)=f(x)$ 이어야 한다.

$\begin{aligned} f(-x)&=\frac{(-x)^4-(-x)^6}{e^{(-x)^2}}\\ &=\frac{x^4-x^6}{e^{x^2}}\\ &=f(x) \end{aligned}$

따라서 $f(x)$ 는 우함수이다.

원본 교재 풀이(영어)

A function is even if $f(-x)=f(x)$ .

$\begin{aligned} f(-x)&=\frac{(-x)^4-(-x)^6}{e^{(-x)^2}}\\ &=\frac{x^4-x^6}{e^{x^2}}\\ &=f(x) \end{aligned}$

So, $f(x)$ is even.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 4번

# 함수의 그래프 그리기증명·논술보통자동 분류

4.CLP-1 · 3.6절 · 6번우리말 번역

$f(x)=\sin(x)+\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ $f(x)$ 가 주기함수임을 보이세요.

영어 원문 보기

$f(x)=\sin(x)+\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ Show that $f(x)$ is periodic.

정답·풀이 보기

임의의 실수 $x$ 에 대해 $f(x)=f(x+4\pi)$ 임을 보이겠다.

$\begin{aligned} f(x+4\pi)&=\sin(x+4\pi)+\cos\left(\frac{x+4\pi}{2}\right)\\ &=\sin(x+4\pi)+\cos\left(\frac{x}{2}+2\pi\right)\\ &=\sin(x)+\cos\left(\frac{x}{2}\right)\\ &=f(x) \end{aligned}$

따라서 $f(x)$ 는 주기함수이다.

원본 교재 풀이(영어)

For any real number $x$ , we will show that $f(x)=f(x+4\pi)$ .

$\begin{aligned} f(x+4\pi)&=\sin(x+4\pi)+\cos\left(\frac{x+4\pi}{2}\right)\\ &=\sin(x+4\pi)+\cos\left(\frac{x}{2}+2\pi\right)\\ &=\sin(x)+\cos\left(\frac{x}{2}\right)\\ &=f(x) \end{aligned}$

So, $f(x)$ is periodic.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 5번

# 함수의 그래프 그리기증명·논술보통자동 분류