문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

극대와 극소

도함수가 0인 점 주변의 부호 변화로 극댓값·극솟값을 구한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-1 · 3.5절 · 1번우리말 번역

아래 그래프에 나타난 $f(x)$ 의 임계점과 특이점을 모두 찾으세요.

이 중 극값에 해당하는 것은 어느 것인가요?

영어 원문 보기

Identify every critical point and every singular point of $f(x)$ shown on the graph below.

Which correspond to local extrema?

정답·풀이 보기

$x=0$ 일 때 곡선 $y=f(x)$ 의 접선이 수평인 것으로 보이므로 $x=0$ 은 임계점이다. 그러나 이 점은 극값이 아니다. $0$ 근처의 모든 $x$ 에 대해 $f(0) \geq f(x)$ 인 것도 아니고, $0$ 근처의 모든 $x$ 에 대해 $f(0) \leq f(x)$ 인 것도 아니기 때문이다.

$x$ 축의 오른쪽에는 $f(x)$ 의 도함수가 존재하지 않는 뾰족한 점이 있다. 이 뾰족한 점에 해당하는 $x$ 값(이를 $a$ 라 하자)은 특이점이며, $f(x)$ 는 $x=a$ 에서 극댓값을 가진다.

원본 교재 풀이(영어)

When $x=0$ , the curve $y=f(x)$ appears to have a flat tangent line, so the $x=0$ is a critical point. However, it is not a local extremum: it is not true that $f(0) \geq f(x)$ for all $x$ near 0, and it is not true that $f(0) \leq f(x)$ for all $x$ near 0.

To the right of the $x$ -axis, there is a spike where the derivative of $f(x)$ does not exist. The $x$ -value corresponding to this spike (call it $a$ ) is a singular point, and $f(x)$ has a local maximum at $x=a$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 38번

# 극대와 극소그래프·표 해석기본자동 분류

2.CLP-1 · 3.5절 · 2번우리말 번역

아래 그래프에 나타난 $f(x)$ 의 임계점과 특이점을 모두 찾으세요. 이 중 극값에 해당하는 것은 어느 것인가요? 나타난 구간에서 최댓값·최솟값에 해당하는 것은 어느 것인가요?

영어 원문 보기

Identify every critical point and every singular point of $f(x)$ on the graph below. Which correspond to local extrema? Which correspond to global extrema over the interval shown?

정답·풀이 보기

파란 점에 해당하는 $x$ 좌표(이를 $a$ 라 하자)는 $x=a$ 에서 $f(x)$ 의 접선이 수평이므로 임계점이다. 그 근처에 더 낮은 점이 없고, 실제로 나타난 구간 전체에서도 더 낮은 점이 없으므로 $f(x)$ 는 $x=a$ 에서 극솟값과 최솟값을 모두 가진다.

함수가 어떤 점에서 연속이 아니면 그 점에서 미분가능하지 않다. 따라서 불연속인 곳에 해당하는 $x$ 좌표(이를 $b$ 라 하자)는 특이점이다. $b$ 의 바로 오른쪽에서는 $f(x)$ 의 값이 더 낮고 $b$ 의 바로 왼쪽에서는 더 높으므로, $f(x)$ 는 $x=b$ 에서 극값도 (최댓값이나 최솟값도) 가지지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

The $x$ -coordinate corresponding to the blue dot (let's call it $a$ ) is a critical point, because the tangent line to $f(x)$ at $x=a$ is horizontal. There is no lower point nearby, and actually no lower point on the whole interval shown, so $f(x)$ has both a local minimum and a global minimum at $x=a$ .

If a function is not continuous at a point, then it is not differentiable at that point. So, the $x$ -coordinate corresponding to the discontinuity (let's call it $b$ ) is a singular point. Values of $f(x)$ immediately to the right of $b$ are lower, and values immediately to the left of $b$ are higher, so $f(x)$ has no local (or global) extremum at $x=b$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 10번

# 극대와 극소그래프·표 해석기본자동 분류

3.CLP-1 · 3.5절 · 3번우리말 번역

$f(2)$ 가 극댓값이지만 최댓값은 아닌 그래프 $y=f(x)$ 를 그리세요.

영어 원문 보기

Draw a graph $y=f(x)$ where $f(2)$ is a local maximum, but it is not a global maximum.

정답·풀이 보기

가능한 답 중 하나가 아래에 나와 있다.

아래에 나타낸 빨간 구간의 모든 $x$ 에 대해 $f(2) \geq f(x)$ 이므로 $f(2)$ 는 극댓값이다. 그러나 파란 점은 어떤 $x$ 에 대해 $f(x)>f(2)$ 임을 보여 주므로 $f(2)$ 는 최댓값이 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

One possible answer is shown below.

For every $x$ in the red interval shown below, $f(2) \geq f(x)$ , so $f(2)$ is a local maximum. However, the point marked with a blue dot shows that $f(x)>f(2)$ for some $x$ , so $f(2)$ is not a global maximum.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 16번

# 극대와 극소그래프·표 해석기본자동 분류